1、第二章 復(fù)變函數(shù)的積分,21 復(fù)變函數(shù)的積分,一、定義,L,二、計(jì)算,1、復(fù)變函數(shù)積分歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)線積分,3、實(shí)變函數(shù)線積分的性質(zhì)對(duì)路積分也成立,4、長(zhǎng)大不等式,故，對(duì)上面不等式兩邊取極限即得。,估值定理,例1,被積函數(shù)相同、起終點(diǎn)相同,積分路徑不同，結(jié)果不同。,例2,例3,是以a(x0,y0)點(diǎn)為中心,R為半徑的圓,在圓周上:,單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域,定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B ，如果B內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱 B為單通區(qū)域；非單通區(qū)域稱為復(fù)通區(qū)域。,單通區(qū)域：如果在區(qū)域B中作任一簡(jiǎn)單閉合 曲線，該閉合曲線內(nèi)的每一點(diǎn)都屬于B，則 該區(qū)域?yàn)閱瓮▍^(qū)域。,一、單通區(qū)域中的柯西定理

2、,22 柯西定理,復(fù)通區(qū)域：在區(qū)域B中，如果有一簡(jiǎn)單閉合 曲線，該閉合曲線內(nèi)有不屬于區(qū)域B的點(diǎn)， 則該區(qū)域?yàn)閺?fù)通區(qū)域。,例如 |z|0）是單通區(qū)域； 0r|z|R是復(fù)通區(qū)域。,復(fù)通區(qū)域,單通區(qū)域,單通區(qū)域中的柯西定理,定理 若函數(shù) 在閉單通區(qū)域 上解析, 則沿 上任一分段光滑閉合曲線 (也可以 是 的邊界)有:,證明,應(yīng)用格林公式:,柯西-黎曼方程成立,推論 若函數(shù) 在單通區(qū)域 上解析, 在閉單通區(qū)域 上連續(xù)，則沿 上任一分 段光滑閉合曲線 (也可以是 的邊界)有:,推論 若函數(shù) 在單通區(qū)域 上解析, 是 上任一閉合曲線 (也可以是非簡(jiǎn)單閉 合曲線)則有:,推論 若函數(shù) 在單通區(qū)域 上解析,

3、是 上任一起始于 點(diǎn)，終止于 點(diǎn)的簡(jiǎn)單 曲線 ，則積分 的值不依賴于積分路 徑 ，而只由始點(diǎn) 和終點(diǎn) 的位置決定。,證明,二、復(fù)通區(qū)域中的柯西定理,境界線正方向：沿曲線進(jìn)行時(shí) 區(qū)域總在行者左側(cè)。,外境界線正方向：逆時(shí)針?lè)较?內(nèi)境界線正方向：順時(shí)針?lè)较?證明,作割線連接內(nèi)外境界線將復(fù)通區(qū)域變 成單通區(qū)域,推論 閉復(fù)通區(qū)域 上的單值解析函數(shù)，沿 外境界線逆時(shí)針?lè)较虻姆e分等于沿所有內(nèi) 境界線逆時(shí)針?lè)较虻姆e分之和。,若 是以a點(diǎn)為中心的圓,解,則：,在 內(nèi)以a點(diǎn)為中心作圓 ，構(gòu)成以 為外境 界線， 為內(nèi)境界線的復(fù)通區(qū)域。,23 原函數(shù)和不定積分,一、原函數(shù)（定義）,二、不定積分,若 在單通區(qū)域B內(nèi)解析

4、，依柯西定理 其沿B內(nèi)任一路徑的積分只與起點(diǎn)、終點(diǎn) 有關(guān)。當(dāng)起點(diǎn) 固定，不同終點(diǎn)的變上 限不定積分定義了一個(gè)單值函數(shù),三、定理,推論 若 在單通區(qū)域B內(nèi)解析，則,路積分的值等于原函數(shù)的改變量 （牛頓-萊布尼茲公式）,例,解,24 柯西公式,證明,所以只要證明：,是被積函數(shù)奇點(diǎn)。,以 為圓心， 為半徑作小圓 ，構(gòu)成以 為外境界線， 為內(nèi)境界線的復(fù)通區(qū)域。在該區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)解析。,？,由柯西定理：,由長(zhǎng)大不等式：,柯西公式將解析函數(shù)在閉單通區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)上的函數(shù)值用沿境界線的回路積分表示出來(lái)。,此時(shí),對(duì)所有內(nèi)、外境界線正向積分,注意：此時(shí)積分回路沿順時(shí)針,推論3 解析函數(shù)在一個(gè)圓周上的平均值等 于它

5、在該圓周圓心上的值。,證明,！,！,柯西公式的應(yīng)用,例,解,例,閉合曲線 為：,解,（1）封閉曲線為圓,例,閉合曲線 為：,解,（2）封閉曲線為圓,例,閉合曲線 為：,解,（3）封閉曲線為圓,第三章 復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi),31 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性,推論 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則一定收斂。,注意：條件收斂的級(jí)數(shù)未必絕對(duì)收斂； 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。,可將級(jí)數(shù)斂散性判斷轉(zhuǎn)化成對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂 散性判斷。,例 判別級(jí)數(shù) 的斂散性。,解,發(fā)散,發(fā)散,二、復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性,復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性與復(fù)變數(shù) 的取值有關(guān),定義（收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)）,定義（收斂域）,復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)和 是收斂域上的一個(gè)復(fù) 變

6、函數(shù)，稱為和函數(shù)。,定理（收斂判據(jù)）,一致收斂的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)性質(zhì),絕對(duì)且一致收斂判定定理,32 冪級(jí)數(shù),（各項(xiàng)都是冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)）,二、冪級(jí)數(shù)的斂散性定理,證明,冪級(jí)數(shù)在 z1 點(diǎn)收斂,一定存在常數(shù)M，使,即：冪級(jí)數(shù)絕對(duì)一致收斂。,則有,定理1指出：冪級(jí)數(shù)存在一個(gè)收斂半徑 R,推論 如果冪級(jí)數(shù)收斂半徑為 R ，則：,證明,絕對(duì)收斂，由達(dá)朗貝爾判別法,冪級(jí)數(shù)發(fā)散！,是其收斂半徑。,又,絕對(duì)收斂，由科西判別法,冪級(jí)數(shù)發(fā)散！,是其收斂半徑。,解,解,它們收斂半徑相同,存在,三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),1冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)一致收斂。,2冪級(jí)數(shù)可進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算。,設(shè),（收斂半徑R1）,（收斂半徑R2）

7、,（2）,（3）,3冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意多階而 不改變所得新級(jí)數(shù)的收斂半徑。,設(shè),4冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分而不改變 所得新級(jí)數(shù)的收斂半徑。,設(shè),驗(yàn)證,證明,取,取,取,證明,設(shè),由柯西公式得,33 解析函數(shù)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開(kāi),證明,在圓 內(nèi)作包含 z 且與 同心的小圓,由柯西公式：,推論 函數(shù) 以它任一解析點(diǎn) z0 為中 心的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)是唯一的。,推論 函數(shù) 在區(qū)域B內(nèi)解析的充要條件 是: 在區(qū)域B內(nèi)任一點(diǎn) z0 處可以展 開(kāi)成以 z0 為中心的泰勒級(jí)數(shù)。,顯然,若,則:,是唯一的。,例1 在 z0=0 鄰域上展開(kāi),解,例2 在 z0=0 鄰域上展開(kāi),解,例3 在

8、z0=0 鄰域上展開(kāi) 和,解,解,例4 在 z0=1 鄰域上展開(kāi),解,z0=1不是支點(diǎn) ，按單值函數(shù)展開(kāi),例5 在 z0=0 鄰域上展開(kāi),解,z0=0不是支點(diǎn)（-1），按單值函數(shù)展開(kāi),泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)基本方法：,定理 若 在 內(nèi)解析，且在實(shí)軸 （-R，R）上取實(shí)值；則 在 z0=0點(diǎn) 的冪級(jí)數(shù)的系數(shù)一定是實(shí)數(shù)。,證明,當(dāng) ak（z）中 z 沿實(shí)軸方向趨于0時(shí)：ak=bk,基本初等函數(shù) 均滿足條件（在實(shí)軸上取實(shí)值）。,泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的其它方法：可以通過(guò)已知冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)得到f（z）的泰勒級(jí)數(shù)。,例6 在 z0=i 鄰域上展開(kāi),解,解,34 解析延拓,一、解析函數(shù)四個(gè)等價(jià)條件,若函數(shù)f（z）在區(qū)域B

9、內(nèi)滿足下面條件之一，函數(shù)f（z）就是區(qū)域B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)。,（1）f（z）在區(qū)域B內(nèi)確定，且處處可導(dǎo)。,（2）f（z）= u + iv 在區(qū)域B內(nèi)連續(xù)，u，v 對(duì)x、y 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足C-R方程：,（3）f（z）在區(qū)域B內(nèi)連續(xù)，且對(duì)B內(nèi)任一 逐段光滑閉合曲線C都有,（4）對(duì)區(qū)域B內(nèi)任一點(diǎn)，都存在一個(gè)鄰域， 在此鄰域內(nèi)f（z）可展為泰勒級(jí)數(shù)。,二、解析延拓（定義）,設(shè)復(fù)變函數(shù)f（z）是區(qū)域 b 上的解析函 數(shù)，而復(fù)變函數(shù)F（z）在區(qū)域 B上解析。 若（1）b 是被B所包含的B的子區(qū)域， （2）在子區(qū)域 b 內(nèi)f（z）= F（z）； 則稱F（z）是f（z）的解析延拓。,例,F（z）是 f（

10、z）的解析延拓,在,三、解析延拓的唯一性定理,定理 設(shè) f(z)是區(qū)域 b 上的解析函數(shù)，則 用任何一種方法將f(z)延拓到含有b的較大 區(qū)域 B上所得到的解析函數(shù)F(z)是唯一的 。,35 洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)展開(kāi),函數(shù) f(z) 在區(qū)域 B上有奇點(diǎn)時(shí),不能展為泰勒 級(jí)數(shù);可在除去奇點(diǎn)的環(huán)域上展為洛朗級(jí)數(shù)。,一、洛朗級(jí)數(shù),二、洛朗級(jí)數(shù)的收斂域、收斂環(huán),洛朗級(jí)數(shù)處處發(fā)散,收斂:,收斂域:,三、洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi),證明,對(duì)C1：,對(duì)C2：,代入積分,令：,第二項(xiàng) 變?yōu)椋?根據(jù)柯西定理,說(shuō)明,（1）f（z）在 z0 點(diǎn)可以展成洛朗級(jí)數(shù)的條件是 在以z0 為中心的環(huán)域 中單值解析。 z0 可以是f（

11、z）的奇點(diǎn)，也可以不是f（z）的奇點(diǎn)。,（2）展開(kāi)系數(shù),四、在孤立奇點(diǎn)上的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi),定義（孤立奇點(diǎn)） 若 f（z）在點(diǎn) z0 的去 心鄰域 內(nèi)解析，但在z0點(diǎn)不解析， 則稱z0為 f（z）的孤立奇點(diǎn)。,五、洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)方法（舉例）,例1 在 z = 0 的鄰域展開(kāi),解,解,例2 求 （1）在 z = 1鄰域；,（2）在 環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)。,有二個(gè)孤立奇點(diǎn)：,（1）在 z = 1鄰域,（2）在 環(huán)域內(nèi)：,函數(shù)無(wú)奇點(diǎn),解,例3 求 （1）在 z = 1鄰域；,（2）在 環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)。,有二個(gè)孤立奇點(diǎn)：,（1）在 z = 1鄰域,（2）在 環(huán)域內(nèi),函數(shù)無(wú)奇點(diǎn),例4 在 z = 0 鄰

12、域展開(kāi),解,將,例5 在 z = 1 鄰域展開(kāi),解,例6 設(shè) x 是實(shí)參數(shù)， 在 z = 0 鄰域展開(kāi),解,改寫求和指標(biāo),m階貝塞爾函數(shù),36 孤立奇點(diǎn)的分類,一、有限孤立奇點(diǎn)的分類,根據(jù)主要部分可能出現(xiàn)的情況，將孤 立奇點(diǎn)分成三類：,（1）可去奇點(diǎn)：沒(méi)有主要部分,例,z=0 為f（z）的可去奇點(diǎn)。,就可去掉奇點(diǎn)。,只要重新定義f（z）,對(duì)可去奇點(diǎn)有：,（2）極點(diǎn)：主要部分中只有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),例,z0=1 是f（z）的一階極點(diǎn)（單極點(diǎn)）,（3）本性奇點(diǎn)：主要部分有無(wú)限多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),z0 稱為f（z）的本性奇點(diǎn)。,例,z0=0 是f（z）的本性奇點(diǎn)。,二、各類奇點(diǎn)的判定,（1）可去奇點(diǎn)的判定,定理 f（z）的孤立奇點(diǎn) z0是可去奇點(diǎn)的充 要條件是：,z0是f（z）的可去奇點(diǎn),例,z=0 為f（z）的可去奇點(diǎn),（2）極點(diǎn)的判定,定理 f（z）的孤立奇點(diǎn) z0是極點(diǎn)的充要 條件是：,z0是f（z）的極點(diǎn),z0是f（z）的m階極點(diǎn),在z0點(diǎn)解析,z0是f（z）的m階極點(diǎn),推論 f（z）的孤立奇點(diǎn) z0是m階極點(diǎn)的 充要條件是：,定理 f（z）的孤立奇點(diǎn) z0是本性奇點(diǎn)的 充要條件是： 不存在。,（3）本性奇點(diǎn)的判定,例,不存在,z0=0是 的本性奇點(diǎn),解,是f（z）的奇點(diǎn),解,無(wú)限多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),三、