數(shù)學物理方法課件：5_1 奇點零點_第1頁
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1、第五章 留 數(shù),孤立奇點 零點與極點的關系 無窮遠點領域的討論 留數(shù) 在無窮遠點處的留數(shù) 留數(shù)在定積分計算上的應用,留數(shù)是復變函數(shù)的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了復變函數(shù)微分學、積分學的主要理論； 奇點是留數(shù)的基礎； 要求：理解奇點的概念；掌握奇點的分類,孤立奇點 零點與極點的關系 無窮遠點領域的討論,奇點分類：孤立和非孤立奇點,例1：討論下列函數(shù)在0點及其附近的解析性以及奇點的類型。,奇點z=0是孤立奇點； 存在0，當0|z|時，函數(shù)解析,奇點z=0是非孤立奇點； 對任意的0，在0|z|圓環(huán)內(nèi)，總存在奇點,孤立奇點的分類,將下列函數(shù)在環(huán)域0|z|內(nèi)展開為羅朗級數(shù),觀察z的負冪項,孤立奇點的類型是通過羅

2、朗級數(shù)的負冪項來定義的！,思考：為什么采用這個分類標準？ 一個前提是，在孤立奇點的去心圓域，函數(shù)總可以展開為羅朗級數(shù)。,孤立奇點的分類,討論：函數(shù)在三類孤立奇點處的極限分別取什么值？,結(jié)論：可去奇點（常數(shù)），極點（無窮大），本性奇點（無極限）,無窮遠點,R可以任意大,無窮遠孤立奇點的分類,注意：對于任意函數(shù)，無窮遠點都被認為是奇點！,判斷：無窮遠點是否為孤立奇點？,無窮遠孤立奇點的分類標準是函數(shù)在無窮遠點的極限。,例：判斷下列函數(shù)奇點（包括無窮遠點）的類型： 孤立奇點（可去、極點、本性奇點），非孤立奇點,方法一：根據(jù)羅朗級數(shù)判斷,方法二：根據(jù)極限判斷,奇點,非孤立奇點,孤立奇點,可去奇點,極點,本性奇點,判斷孤立奇點類型的方法,零 點,例：函數(shù)f(z)=z(z-1)3的零點有哪些？,例：函數(shù)f(z)=sin(z)+cos(z)的零點有哪些？并判斷它們是幾級零點。,零點和極點的關系,簡而言之：f(z)的m級極點是1/f(z)的m級零點。,例：指出下列函數(shù)的極點，說明它們是幾級的？,小結(jié): 奇點的分類與判別,方法三：f(z)的m級極點是1/f(z)的m級零點。,方法一：根據(jù)羅朗級數(shù)判斷,方法二：根據(jù)極限判斷,奇點,非孤立奇點,孤立奇點,可去奇點,極點,本性奇點,孤立奇點,孤立奇點的分類方

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