1、第6章 抽樣分布,從本章起,我們轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計學(xué).概率論和數(shù)理統(tǒng)計都是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科,但是它們在研究問題的方法上又有其自身的特點.,在概率論中,所研究的隨機變量,它的分布通常是已知的或者是假設(shè)為已知的,在這一前提下,我們?nèi)パ芯克男再|(zhì),特點和規(guī)律性.例如求出它的數(shù)字特征,討論隨機變量函數(shù)的分布等.,在數(shù)理統(tǒng)計中,所研究的隨機變量,它的分布是未知的,或者是分布已知,但當(dāng)中的參數(shù)未知.我們是通過對所研究的隨機變量進(jìn)行重復(fù)獨立的觀察,得到許多觀察值,對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,從而對所研究的隨機變量的分布做出種種的推斷.,數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容十分豐富,大體上可分為收集數(shù)據(jù)和統(tǒng)計推斷兩個方

2、面:,(1) 收集數(shù)據(jù) 研究如何對隨機現(xiàn)象進(jìn)行觀察或試驗,以便獲得能夠很好地反映整體情況的局部數(shù)據(jù).其內(nèi)容包括抽樣技術(shù)、試驗設(shè)計等.,(2) 統(tǒng)計推斷 研究如何對收集到的局部數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析,并對所考察的對象的整體特性做出盡可能準(zhǔn)確可信的推測和判斷.其內(nèi)容包括參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析和回歸分析等.統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計的主體.,數(shù)理統(tǒng)計具有“部分推斷整體”的特征 .,一、總體,在統(tǒng)計學(xué)中,我們將問題所涉及的研究對象的全體稱為總體(或母體),而把組成總體的每個研究對象稱為個體.,例如,在研究某批燈泡的平均使用壽命時,該批燈泡的全體就組成了總體,而其中每只燈泡就是個體.,總體,個體,6.1 總體

3、與樣本,但是在統(tǒng)計學(xué)里,我們關(guān)心的不是個體的種種具體特征,而僅僅是它的某一項(或某幾項)數(shù)量指標(biāo)X以及X的分布情況. 例如上述例子中研究的是燈泡的壽命.此時,總體X是全體燈泡的使用壽命,個體是每個燈泡的使用壽命.,這樣,若拋開實際背景,總體X就是一些數(shù).由于個體的抽取是隨機的,所以總體X中有大有小,有的出現(xiàn)的機會多,有的出現(xiàn)的機會少,因此用一個概率分布去描述和歸納總體是恰當(dāng)?shù)?從這個意義上看,總體就是一個分布,而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個分布的隨機變量.因此在理論上可以把總體與隨機變量的概率分布等同起來.,某批燈泡的壽命,例如:研究某批燈泡的壽命時,關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命,那么,此總體就可以用隨機

4、變量X表示,或用其分布函數(shù)F(x)表示.,壽命 X 可用一概率(指數(shù))分布來刻劃.,統(tǒng)計中,總體這個概念 的要旨是:總體就是一個概 率分布.,類似地,在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時, 若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重, 我們用X 和Y 分別表示身高和體重,那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)來表示.,二、樣本,總體分布一般是未知,或只知道是包含未知參數(shù)的分布.為推斷總體分布及各種特征,一般情況下,對總體的每一個個體都進(jìn)行觀察或試驗是不可能的,這是因為經(jīng)濟上、時間上不允許(如個體的數(shù)量很大),或觀察試驗是帶破壞性的(如燈泡的壽命、炮彈的射程).因此,必須對總體進(jìn)行抽樣

5、觀察.,按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗,以獲得有關(guān)總體的信息,這一抽取過程稱為 “抽樣”，所抽取的部分個體稱為樣本. 樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量n.,2. 獨立性: X1,X2,Xn是相互獨立的隨機變量.,由于抽樣的目的是為了對總體的分布進(jìn)行統(tǒng)計推斷,為了使抽取的樣本能很好地反映總體的信息,必須考慮抽樣方法.,最常用的一種抽樣方法叫作“簡單隨機抽樣”,它要求抽取的樣本滿足下面兩點:,1. 代表性: 樣本具有隨機性,即要求總體中每一個體都有同等機會被選入樣本,因此 X1,X2,Xn中的每一個與所考察的總體有相同的分布.,由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本.,今后如不加聲

6、明,均指簡單隨機樣本.,簡單隨機樣本可以用與總體同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,Xn表示.,=F(x1) F(x2) F(xn),若總體的概率密度函數(shù)為f(x)、分布函數(shù)為F(x),則其簡單隨機樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,=f(x1) f(x2) f(xn),其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為,統(tǒng)計是從手中已有的資料樣本值，去推斷總體的情況總體分布F(x)的性質(zhì).,總體、樣本、樣本值的關(guān)系,6.2 統(tǒng)計量與抽樣分布,一、統(tǒng)計量,樣本是總體的代表和反映,但我們在抽取樣本后,并不直接利用樣本進(jìn)行推斷,而需要對樣本進(jìn)行一番“加工”和“提煉”,把樣本中所包含的關(guān)于我們所關(guān)心的事物的信息集中起來,這

7、便是針對不同的問題構(gòu)造樣本的某個函數(shù),稱之為統(tǒng)計量.,樣本均值,樣本方差,推導(dǎo):,下面列出一些常用的統(tǒng)計量,樣本k階原點矩,樣本k階中心矩,k=1,2,k=1,2,比較:,順序統(tǒng)計量,最小順序統(tǒng)計量:,最大順序統(tǒng)計量:,以上定義的各個統(tǒng)計量的觀察值分別為:,證,所以,n 次隨機取值的平均值的期望不變,而,但偏差比任一次取值的偏差縮小了n 倍,這是取多次測量均值的理論依據(jù).,作為樣本的函數(shù),統(tǒng)計量是隨機變量,因此它有自己的分布.稱統(tǒng)計量的分布為抽樣分布.,二、統(tǒng)計三大分布,定義,記為,分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.,分布的密度函數(shù)為,分布具有可加性,證,定理,(1) 可加性：,(2),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點:,查表，,分布的分位點:,例如，,記為Tt(n).,2、t 分布,定義,獨立,則稱隨機變量,服從自由度為n的t分布，,偶函數(shù),關(guān)于x=0對稱.,當(dāng)較大時,t分布接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,t分布的分位點:,查表，,3.上 分位點,若,則有,可查書后附表4,由對稱性知,有,t分布性質(zhì)與正態(tài)分布類似.,記為FF(m, n).,3、F 分布,定義,獨立,則稱隨機變量,服從自由度為(m,n)的F分布，,F(n1,n2) 的