1、一、直線一級倒立擺建模根據(jù)自控原理實(shí)驗(yàn)書上相關(guān)資料，直線一級倒立擺在建模時(shí),一般忽略掉系統(tǒng)中的一些次要因素.例如空氣阻力、伺服電機(jī)的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度等，之后可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示：倒立擺系統(tǒng)是典型的機(jī)電一體化系統(tǒng),其機(jī)械部分遵循牛頓的力學(xué)定律,其電氣部分遵守電磁學(xué)的基本定理.因此,可以通過機(jī)理建模方法得到較為準(zhǔn)確的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型,通過實(shí)際測量和實(shí)驗(yàn)來獲取系統(tǒng)模型參數(shù).無論哪種類型的倒立擺系統(tǒng),都具有3個(gè)特性,即:不確定性、耦合性、開環(huán)不穩(wěn)定性. 直線型倒立擺系統(tǒng),是由沿直線導(dǎo)軌運(yùn)動的小車以及一端固定于小車上的勻質(zhì)長桿組成的系統(tǒng). 小車可以通過

2、傳動裝置由交流伺服電機(jī)驅(qū)動. 小車導(dǎo)軌一般有固定的行程,因而小車的運(yùn)動范圍是受到限制的。雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性:1) 非線性倒立擺是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實(shí)際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。也可以利用非線性控制理論對其進(jìn)行控制。倒立擺的非線性控制正成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。2) 不確定性主要是模型誤差以及機(jī)械傳動間隙，各種阻力等，實(shí)際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。3) 耦合性倒立擺的各級擺桿之間，以及和運(yùn)動模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺

3、的控制中一般都在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，忽略一些次要的耦合量。4) 開環(huán)不穩(wěn)定性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個(gè)，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。由于機(jī)構(gòu)的限制，如運(yùn)動模塊行程限制，電機(jī)力矩限制等。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機(jī)功率都盡量要求最小，行程限制對倒立擺的擺起影響尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。由此，約束限制直線型一級倒立擺系統(tǒng)的實(shí)際控制要求可歸結(jié)為3點(diǎn):(1)倒立擺小車控制過程的最大位移量不能超過小車軌道的長度;(2)為保證倒立擺能順利起立,要求初始偏角小于20;(3)為保證倒立擺保持倒立的平衡態(tài),要求控制系統(tǒng)

4、響應(yīng)速度足夠快。為此,設(shè)調(diào)整時(shí)間小2 s,峰值時(shí)間小于0.5 s.對小車進(jìn)行受力分析上圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車和擺桿的相互作用力的水平和垂直方向的分量。在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，所以矢量方向定義如圖2所示，圖示方向?yàn)槭噶康恼较?。其中：M 小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車摩擦系數(shù)L 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度I 擺桿慣量F 加在小車上的力x 小車位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮帶擺桿初始位置為豎直向下）u 輸入,即施加在小車上的外力;y 輸出.分析小車水平方向所受合力，可以得到方程： （式1）由擺桿水平方向的受

5、力進(jìn)行分析可以得到下面等式： = （式2、式3）將式3代入式1可得系統(tǒng)第一個(gè)運(yùn)動方程：（式4）為了推出系統(tǒng)第二個(gè)運(yùn)動方程，對擺桿垂直向上的合力進(jìn)行分析可得方程：= （式5 式6）力矩平衡方程如下： （式7）式中：合并式6、式7得第二個(gè)運(yùn)動方程： （式8）設(shè)q = p +f （f 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)f 與 1（單位是弧度）相比很小，即f step(num,den)利用傳遞函數(shù)得到如下響應(yīng)曲線:系統(tǒng)響應(yīng)曲線是發(fā)散的z,p,k=tf2zp(num,den)得：p = 0 5.2576 -5.2630 -0.0829系統(tǒng)極點(diǎn)有一個(gè)在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定利用matlab命令uc=ct

6、rb(a,b)； r=rank(uc)來判斷系統(tǒng)能控性結(jié)果如下：三、系統(tǒng)建模利用配置極點(diǎn)法對系統(tǒng)進(jìn)行校正性能指標(biāo)1取超調(diào)量=20%，調(diào)整時(shí)間=2秒根據(jù)書上相關(guān)公式得：=0.456 =4.39之后求出系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)；利用公式=計(jì)算出主導(dǎo)極點(diǎn)=-2 3.9j再取兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)=-10，=-10接著利用matlab求取狀態(tài)反饋矩陣K：K=acker(a,b,p)K = -85.5630 -35.0084 127.6198 22.9928利用simulink進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)：性能指標(biāo)2取超調(diào)量=10%，調(diào)整時(shí)間=1.5秒根據(jù)書上相關(guān)公式得：=0.59 =4.5之后求出系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)=- 2.655 3.63

7、j 再取兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)=-15，=-15接著利用matlab求取狀態(tài)反饋矩陣K：K=acker(a,b,p)K =-202.6981 -80.2979 257.6800 44.4121仿真設(shè)計(jì)性能指標(biāo)3取超調(diào)量=15%，調(diào)整時(shí)間=2秒根據(jù)書上相關(guān)公式得：=0.52 =3.869之后求出系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)=- 23.3 j 再取兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)=-10，=-10接著利用matlab求取狀態(tài)反饋矩陣K：K=acker(a,b,p)K =-66.3214 -31.1617 118.7278 21.5810實(shí)驗(yàn)分析：性能指標(biāo)1設(shè)定在超調(diào)量=20%，調(diào)整時(shí)間t=2秒時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量在7%，調(diào)整時(shí)間在2秒左右。當(dāng)性能

8、指標(biāo)2設(shè)定在超調(diào)量=10%，調(diào)整時(shí)間t=1.5秒時(shí)，實(shí)際超調(diào)量在4%，調(diào)整時(shí)間在1.5秒。性能指標(biāo)3設(shè)定在超調(diào)量=15%調(diào)整時(shí)間t=2s時(shí)，實(shí)際超調(diào)量為9%,調(diào)整時(shí)間1.5s左右。從特征根的選取上來看，一般將特征根配置在原點(diǎn)的左邊，而且離原點(diǎn)越遠(yuǎn)響應(yīng)時(shí)間越短，但相應(yīng)的反饋控制矩陣的控制力度也越大從以下數(shù)據(jù)可見一斑K1 =-85.5630 -35.0084 127.6198 22.9928；K2= -202.6981 -80.2979 257.6800 44.4121；第三組與第一組相比超調(diào)量稍微增加，而調(diào)整時(shí)間不變。四、總結(jié) 學(xué)習(xí)MATLAB已經(jīng)一學(xué)期了，matlab是一種非常方便的仿真工具，在矩陣計(jì)算上有很大的優(yōu)勢，在本次的實(shí)驗(yàn)過程中，通過matlab只