1、“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題費(fèi)馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，他是解析幾何的發(fā)明者之一費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn) 費(fèi)爾馬的結(jié)論：對(duì)于一個(gè)各角不超過120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120的點(diǎn)，對(duì)于有一個(gè)角超過120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)下面簡單說明如何找點(diǎn)p使它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和pa+pb+pc最??？這就是所謂的費(fèi)馬問題 圖1解析：如圖1，把a(bǔ)pc繞a點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到apc，連接pp則app為等邊三角形，ap= pp，pc=pc，所以pa+pb+pc= pp+ pb+ pc點(diǎn)c可看成是線段ac繞a點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60而得的定點(diǎn)，bc為定長 ，所以當(dāng)b

2、、p、p、c 四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，pa+pb+pc最小這時(shí)bpa=180-app=180-60=120，apc=a pc=180-app=180-60=120，bpc=360-bpa-apc=360-120-120=120 因此，當(dāng)?shù)拿恳粋€(gè)內(nèi)角都小于120時(shí)，所求的點(diǎn)p對(duì)三角形每邊的張角都是120，可在ab、bc邊上分別作120的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是p點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120時(shí)，所求的p點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考例1 （2008年廣東中考題）

3、已知正方形abcd內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)e到a、b、c三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長 圖2 圖3 分析：連接ac，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)e到a、b、c三點(diǎn)的距離之和就是到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問題的變形，只是背景不同解 如圖2，連接ac，把a(bǔ)ec繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到gfc，連接ef、bg、ag，可知efc、agc都是等邊三角形，則ef=ce又fg=ae，ae+be+ce = be+ef+fg（圖4） 點(diǎn)b、點(diǎn)g為定點(diǎn)（g為點(diǎn)a繞c點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60所得） 線段bg即為點(diǎn)e到a、b、c三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)e、f兩點(diǎn)都在bg上（圖3）設(shè)正方形的邊長為，那么bo=co=，gc=, go= bg

4、=bo+go =+ 點(diǎn)e到a、b、c三點(diǎn)的距離之和的最小值為 +=，解得=2注 本題旋轉(zhuǎn)aeb、bec也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試?yán)? （2009年北京中考題） 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，abc三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長ac到點(diǎn)d, 使cd=,過點(diǎn)d作deab交bc的延長線于點(diǎn)e.（1）求d點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）作c點(diǎn)關(guān)于直線de的對(duì)稱點(diǎn)f,分別連結(jié)df、ef，若過b點(diǎn)的直線將四邊形cdfe分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式； （3）設(shè)g為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)p從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)g點(diǎn)，再沿ga到達(dá)a點(diǎn)，若p點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線ga上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，

5、試確定g點(diǎn)的位置，使p點(diǎn)按照上述要求到達(dá)a點(diǎn)所用的時(shí)間最短分析和解：（1）d點(diǎn)的坐標(biāo)（3，）（過程略）（2） 直線bm的解析式為（過程略） 圖4 （3）如何確定點(diǎn)g的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在設(shè)q點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，p在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度為v，則p沿mqa運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，使p點(diǎn)到達(dá)a點(diǎn)所用的時(shí)間最短，就是mqaq最小，或mq2aq最小解法1 bq=aq， mq2aq最小就是mqaqbq最小，就是在直線mo上找點(diǎn)g使他到a、b、m三點(diǎn)的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個(gè)費(fèi)爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換 把mqb繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到mqb，連接qq、mm（圖5），可知

6、qqb、mmb都是等邊三角形，則qq=bq又mq=mq，mqaqbq= mq+ qq+aq點(diǎn)a、m為定點(diǎn)，所以當(dāng)q、q兩點(diǎn)在線段a m上時(shí)，mqaqbq最小由條件可證明q點(diǎn)總在am上，所以a m與om的交點(diǎn)就是所要的g點(diǎn)（圖6）可證og=mg 圖5 圖6 圖7解法2 考慮mqaq最小，過q作bm的垂線交bm于k，由ob=6，om=，可得bmo30，所以qkmq要使mqaq最小，只需使aqqk最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點(diǎn)a、q、k在一條直線上時(shí)，aq+qk最小，并且此時(shí)的qk垂直于bm，此時(shí)的點(diǎn)q即為所求的點(diǎn)g（圖7）過a點(diǎn)作ahbm于h,則ah與y軸的交點(diǎn)為所求的g點(diǎn).由ob=6，om

7、=，可得obm=60， bah=30在rtoag中，og=aotanbah=g點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）（g點(diǎn)為線段oc的中點(diǎn)）例3 （2009年湖州中考題）若點(diǎn)p 為abc所在平面上一點(diǎn)，且apb=bpc=cpa=120, 則點(diǎn)p叫做abc的費(fèi)馬點(diǎn)（1） 若p為銳角abc的費(fèi)馬點(diǎn)，且abc=60，pa=3，pc=4, 則pb的值為 ；（2）如圖8，在銳角abc的外側(cè)作等邊acb，連結(jié)bb求證：bb 過abc的費(fèi)馬點(diǎn)p，且bb=pa+pb+pc 圖8 解：（1）利用相似三角形可求pb的值為 （2）設(shè)點(diǎn)p為銳角abc的費(fèi)馬點(diǎn)，即apb=bpc=cpa=120如圖8，把a(bǔ)cp繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60到bce，連結(jié)pe，則epc為正三角形 bec = apc =120，pec=60 bec+pec=180 即 p、e、b 三點(diǎn)在同一直線上 bpc=120, cpe=60 ， bpc +cpe =180，即 b、p、e 三點(diǎn)在同一直線上 b、p、e、b 四點(diǎn)在同一直線上，即bb 過abc的費(fèi)馬點(diǎn)p 又pe=pc，be= pa， bb=e b+pb+pe=pa+pb+pc注 通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這一方法解題時(shí)需注意圖形旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ)，即存在相等的線段