數(shù)學(xué)（文科）試題選擇題部分（共 50 分）一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）設(shè) 21.4PxQxPQ， 則（A） （B）31x（C） （D）4x 2（2）已知函數(shù) ()log1,(),fxfa若 則（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（3）設(shè) 為虛數(shù)單位，則i5i（A） （B） （C） （D）2233i2i（4）某程度框圖如圖所示，若輸出的 ，則判斷框內(nèi)為57S（A） （B）?k?k（C ） （D）6（5）設(shè) 為等比數(shù)列 的前 n 項和，1Sa12280Sa， 則（A）11 （B）8 （C）5 （D）11（6）設(shè) 則“ xsin2 x1”是“xsin x1”的0,（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）若實數(shù) x、y 滿足不等式組 則 x+y 的最大值為30,21,xy（A）9 （B） （C）1 （D）57715（8）若某幾何體的三視圖（單位： cm）如圖所示，則此幾何體的 體積是（A） （B）352cm320cm（C ） （D）416（9）已知 x 是函數(shù) 的一個零點，若()2fx 20(1,)(,)axx，則（A） （B）12()0,()ff12()0,()ffx（C） （D）x（9）已知 x 是函數(shù) f(x)=22+ 的一個零點.若 x1(1,x 0)，x 2(x 0，+ )，則1(A)f(x2)0，f (x2)0 (B) f(x1)0 ，f (x2)0（C ）f (x1)0 ， f(x2)0 （D）f(x 1)0 ，f (x2)0（10 ）設(shè) O 為坐標(biāo)原點，F(xiàn) 1，F(xiàn) 2 是雙曲線 （a 0，b0 ）的焦點，若在雙曲線上存在y點 P，滿足F 1P F2=60， = a，則該雙曲線的漸近線方程為7（A）x y=0 （B） xy=033(C) x y=0 (D) xy=02非選擇題部分（共 100 分）二、填空題：本大題共 7 小題，每小題 4 分，共 28 分。（11 ）在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是 ， .（12 ）函數(shù) f(x)=sin2 (2x )的最小正周期是 .（13 ）已知平面向量 ， ， 1, =2， （ 2 ），則 的值是 .（14 ）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的數(shù)是 .（15 ）若正實數(shù) x,y 滿足 2x+y+6=xy，則 xy 的最小值是 .（16 ）某商家一月份至五月份累計銷售額達 3860 萬元，預(yù)測六月份銷售額為 500 萬元，七月份銷售額比六份遞增 x%,八月份銷售額比七月份遞增 x,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等 .若一月至十月份銷售總額至少達 7000 萬元，則 x 的最小值是 .（17 ）在平行四邊形 ABCD 中，O 是 AC 與 BD 的交點，P，Q ，M，N 分別是線段 OA、OB、OC、OD 的中點.在 A，P ，M，C 中 任取一點記為 E，在 B， Q，N ，D 中任取一點記為 F.設(shè) G 為滿足向量 OGEF的點，則在上述的點 G 組成的集合中的點，落在平行四邊形 ABCD 外 （不含邊界）的概率為 . 三、解答題：本大題共 5 小題，共 72 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（18）（本題滿分 13 分）在ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b ，c ，設(shè) S 為ABC 的面積，滿足 S （a 2b 2c 2）.34（）求角 C 的大小;（）求 sinAsinB 的最大值 .（19 ）（本題滿分 14 分）設(shè) a1，d 為實數(shù)，首項為 a1，z 差為 d 的等差數(shù)a n的前 n 項和為 Sn，滿足S2S6150.（）若 S5S.求 Sn 及 a1;（）求 d 的取值范圍.（20 ）（本題滿分 14 分）如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AB 2BC，ABC120 ，E 為線段 AB 的中線，將ADE 沿直線 DE 翻折成ADE ，使平面 ADE 平面 BCD，F(xiàn) 為線段 AC 的中點.（）求證：BF平面 ADE;（）設(shè) M 為線段 DE 的中點，求直線 FM 與平面ADE 所成角的余弦值.（21 ）（本題滿分 15 分）已知函數(shù) f（x ）（ a）（a b）（a，bR，a b）.（）當(dāng) a1，b2 時，求曲線 yf（x）在點（2，f（ 2）處的切線方程;（）設(shè) x1，x 2 是 f（x）的兩個極值點，x 3 是 f（x）的一個零點，且 x3x 1，x 3x 2.證明：存在實數(shù) x4，使得 x1，x 2，x 3，x 4 按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求 x4.（22 ）（本題滿分 15 分）已知 m 是非零實數(shù)，拋物線 C：y22px（p 0）的焦點 F 在直線 l：xmy 0 上.2（）若 m2，求拋物線 C 的方程;（）設(shè)直線 l 與拋物線 C 交于 A，B 兩點，過 A，B 分別作拋物線 C 的準線的垂直，垂足為 A1，B 1，AA 1F，BB 1F 的重心分別為 G，H.求證：對任意非零實數(shù) m，拋物線 C 的準線與 x 軸的交點在以線段 GH 為直徑的圓外.數(shù)學(xué)（文科）試題參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題 5 分，滿分 50 分。（1 ） D （2）B （3）C （4）A （5）A（6 ） B （7）A （8）B （9）B （10）D二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題 4 分，滿分 28 分。（11 ）45，46 （12） (13) 210（14 ）n 2+n （15）18 （16）20 （17） 3三、解答題：本大題共 5 小題，共 72 分。（18 ）本題主要余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識，同時考查三角運算求解能力。滿分14 分。()解：由題意可知absinC= ,2abcosC.1234所以 tanC= .因為 0C ，所以 C= .3（)解：由已知 sinA+sinB=sinA+sin( -C-A)=sinA+sin( -A)23=sinA+ A+ sinA= sin(A+ ) .3216當(dāng)ABC 為正三角形時取等號，所以 sinA+sinB 的最大值是 .(19)本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力及分析問題解決問題的能力。滿分 14 分。()解：由題意知 S0= -3,5-1a=S-S=-8所以 1,8.d解得 a1=7所以 S=-3,a1=7()解：因為 SS+15=0,所以(5a 1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a 1+9d)2=d2-8.所以 d28.故 d 的取值范圍為 d-2 或 d2 .(20)本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理論證能力。滿分 14 分。()證明：取 AD 的中點 G，連結(jié) GF，CE ，由條件易知FGCD，F(xiàn)G = CD.12BE CD,BE= CD.12所以 FGBE ,FG=BE.故四邊形 BEGF 為平行四邊形,所以 BF平面 ADE.（)解：在平行四邊形 ABCD 中，設(shè) BC=a,則 AB-CD=2A,AD=AE=EB=a,連 CE.因為ABC =120,在BCE 中，可得 CE= a,3在ADE 中，可得 DE=a,在CDE 中，因為 CD2=CE2+DE2，所以 CEDE ,在正三角形 ADE 中，M 為 DE 中點，所以 AMDE.由平面 ADE 平面 BCD,可知 AM平面 BCD,AM CE .取 AE 的中點 N，連線 NM、NF ，所以 NFDE,NFA M.因為 DE 交 AM 于 M,所以 NF.平面 ADE,則FMN 為直線 FM 與平面 ADE 新成角.在 Rt FMN 中，NF = a,MN= a,FM=a,321則 cos/ = .1所以直線 FM 與平面 ADE 所成角的余弦值為 .12(21)本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、切線方程、導(dǎo)線應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識。滿分 15 分。()解：當(dāng) a=1,b=2 時，因為 f (x)=(x-1)(3x-5).故 f(2)=1.又 f（ 2）0，所以 f（x）在點（2，0 ）處的切線方程為 yx2.（）證明：因為 f（ x）3（x a）（x ），23b由于 ab.故 a .3所以 f（x）的兩個極值點為 xa，x .23b不妨設(shè) x1a，x 2 ，3b因為 x3x 1，x 3x 2，且 x3 是 f（x ）的零點，故 x3b .又因為 a2（ b ），x4 （a ） ，3所以 a， ， ，b 依次成等差數(shù)列，3所以存在實數(shù) x4 滿足題意，且 x4 .2ab（22 ）本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分 15 分。（）解：因為焦點 F（ ，0 ）在直線 l 上，得2Ppm 2，又 m2，故 p4.所以拋物線 C 的方程為 y28 x.（）證明：因為拋物線 C 的焦點 F 在直線 l 上，所以 p， lm2，所以拋物線 C 的方程為 y22 m2x.設(shè) A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），由 消去 x 得2,my22m 3ym 40，由于 m0，故 4m 64m 40，且有 y1y 22m 3，y 1y2m 4，設(shè) M， M2 分別為線段 AA1， BB1 的中點，由于 2 12,CFH可知 G（ ），H（