第 1 頁（共 28 頁） 2016年江西省贛州市贛縣九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）每小題只有一個正確選項 1下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A B C D 2拋物線 y=（ x+2） 2 3 可以由拋物線 y=則下列平移過程正確的是（ ） A先向左平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位 B先向左平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 C先向右平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 D先向右平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位 3已知關(guān)于 x 的一元二次方程 3x+c=0 中 c 0，該方程的根的情況是（ ） A方程沒有實數(shù)根 B總有兩個不相等的實數(shù)根 C有兩相等實數(shù)根 D方程的根的情況與 c 有關(guān) 4如圖，以原點 O 為圓心的圓交 x 軸于點 A、 B 兩點，交 y 軸的正半軸于點 C，D 為第一象限內(nèi) O 上的一點，若 5，則 度數(shù)是（ ） A 45 B 60 C 65 D 70 5我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓，如圖線段 最小覆蓋圓就是以線段 直徑的圓， 最小覆蓋圓是其外接圓，那么長為 8為 6矩形的最小覆蓋圓半徑是（ ） 第 2 頁（共 28 頁） A 10 8 6 5如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的對稱軸為 x=2，點 A， B 均 在拋物線上，且 x 軸平行，其中點 A 的坐標為（ 0， 3），則點 B 的坐標為（ ） A（ 2， 3） B（ 3， 2） C（ 3， 3） D（ 4， 3） 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 7一元二次方程 4（ x 1） 2 9=0 的解是 8如圖， 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 80到 位置，已知 5，則 于 度 9如圖， O 的直徑 弦 足 為點 G， 8，則 10在平面直角坐標系 ，函數(shù) y=（ N（ 點，若 4 2， 0 2，則 （用 “ ”， “=”或 “ ”號連接） 11如圖， 頂點都在 O 上，已知直徑 ， 第 3 頁（共 28 頁） 長為 12等腰三角形三邊長分別為 a、 b、 2，且 a、 b 是關(guān)于 x 的一元二次方 程 x+n 1=0 的兩根，則 n 的值為 三、（本大題共 5 小題，每小題 6 分，共 30 分） 13按要求做題： （ 1）解方程： 3x2+x=3x+1 （ 2）計算： 22+8 （ 2） 3 2 （ ） 14關(guān)于 x 的一元二次方程 3x k=0 有兩個不相等的實數(shù)根 （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）請選擇一個 k 的負整數(shù)值，并求出方程的根 15校運會期間，小捷同學積極參與各項活動在鉛球 項目中，他擲出的鉛球在場地上壓出一個小坑（圖示是其主視圖），經(jīng)測量，其中坑寬 8坑的最大深度為 2幫助小捷同學計算鉛球的半徑 長為多少？ 16如圖，邊長為 1 的正方形 點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 30到正方形 D，求圖中陰影部分面積 17 O 為 外接圓，請僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖 1，第 4 頁（共 28 頁） 圖 2 中畫出一條弦，使這條弦將 成面積相等的兩部分（ 保留作圖痕跡，不寫作法） （ 1）如圖 1， C； （ 2）如圖 2，直線 l 與 O 相切于點 P，且 l 四、（本大題共 4 小題，每小題 8 分，共 32 分） 18如圖， O 的直徑， 弦， 點 E，點 G 在直徑 延長線上， D= G=30 （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 ，求 長 19如圖，小明的父親在相距 2 米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一 個簡易的秋千拴繩子的地方距地面高都是 ，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1 米的小明距較近的那棵樹 時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為多少米？ 第 5 頁（共 28 頁） 20如圖 O 內(nèi)接三角形，點 C 是優(yōu)弧 一點（點 C 與 A、 B 不重合）設(shè) ， C= （ 1）當 =35時，求 的度數(shù)； （ 2）猜想 與 之間的關(guān)系，并給予證明 21如圖， M 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸切于點 C，且 長是方程 4x+3=0 的解 （ 1）求 M 點的坐標 （ 2）若 P 是 M 上一個動點（不包括 A、 B 兩點），求 度數(shù) 五、（本題 10 分） 22如圖 1，將兩個完全相同的三角形紙片 合放置，其中 C=90， B= E=30 第 6 頁（共 28 頁） （ 1）操作發(fā)現(xiàn)如圖 2，固定 點 C 順時針旋轉(zhuǎn)當點 D 恰好落在 上時 線段 位置關(guān)系 是 （不需證明） 設(shè) 面積為 面積為 2的數(shù)量關(guān)系是 ，證明你的結(jié)論； （ 2）猜想論證 當 點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 3 所示的位置時，小明猜想（ 1）中 2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了 上的高，請你證明小明的猜想 六、（本題 12 分） 23如圖，點 A、點 E 的坐標分別為 （ 0， 3）與（ 1， 2），以點 A 為頂點的拋物線記為 x2+n；以 E 為頂點的拋物線記為 y2=bx+c，且拋物線 y 軸交于點 P（ 0， ） （ 1）分別求出拋物線 2的解析式，并判斷拋物線 嗎？ （ 2）若拋物線 2中的 y 都隨 x 的增大而減小，請直接寫出此時 x 的取值范圍； （ 3）在（ 2）的 x 的取值范圍內(nèi)，設(shè)新的函數(shù) y3=出函數(shù) x 的函數(shù)關(guān)系式；問當 x 為何值時，函數(shù) 出這個最大值 第 7 頁（共 28 頁） 第 8 頁（共 28 頁） 2016年江西省贛州市贛縣九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、 選擇題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分）每小題只有一個正確選項 1下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A B C D 【考點】 中心對稱圖形；軸對稱圖形 【分析】 利用軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義判斷即可 【解答】 解：下列圖形中，既是軸對稱圖形又是 中心對稱圖形的是 ， 故選 B 2拋物線 y=（ x+2） 2 3 可以由拋物線 y=下列平移過程正確的是（ ） A先向左平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位 B先向左平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 C先向右平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 D先向右平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位 【考點】 二次函數(shù)圖象與幾何變換 【分析】 根據(jù) “左加右減，上加下減 ”的原則進行解答即可 【解答】 解：拋物線 y= 個單位可得到拋物線 y=（ x+2） 2， 拋物線 y=（ x+2） 2，再向下平移 3 個單位即可得到拋物線 y=（ x+2） 2 3 故平移過程為：先向左平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位 故選： B 第 9 頁（共 28 頁） 3已知關(guān)于 x 的一元二次方程 3x+c=0 中 c 0，該方程的根的情況是（ ） A方程沒有實數(shù)根 B總有兩個不相等的實數(shù)根 C有兩相等實數(shù)根 D方程的根的情況與 c 有關(guān) 【考點】 根的判別式 【分析】 先求出 ，判斷 的正負，即可得出選項 【解答】 解： 3x+c=0， =（ 3） 2 4 1 c=9 4c， c 0， 0， 方 程有兩個不相等的實數(shù)根， 故選 B 4如圖，以原點 O 為圓心的圓交 x 軸于點 A、 B 兩點，交 y 軸的正半軸于點 C，D 為第一象限內(nèi) O 上的一點，若 5，則 度數(shù)是（ ） A 45 B 60 C 65 D 70 【考點】 圓周角定理；坐標與圖形性質(zhì) 【分析】 根據(jù)圓周角定理求出 據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出 據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可 【解答】 解： 連接 0， 第 10 頁（共 28 頁） 0， 0 40=50， D， =65， 故選 C 5我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓，如圖線段 最小覆蓋圓就是以線段 直徑的圓， 最小覆蓋圓是其外接圓，那么長為 8為 6矩形的最小覆蓋圓半徑是（ ） A 10 8 6 5考點】 三角形的外接圓與外心；矩形的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)矩形的性質(zhì)和圓周角定理得到 矩形的最小覆蓋圓的直徑，根據(jù)勾股定理計算即可 【解答】 解： 四邊形 矩形， A=90， 矩形的最小覆蓋圓的直徑， ， ， =10， 矩形的最小覆蓋圓半徑是 5 故選： D 6如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的對稱軸為 x=2，點 A， B 均在拋物線上，且 1 頁（共 28 頁） 與 x 軸平行，其中點 A 的坐標為（ 0， 3），則點 B 的坐標為（ ） A（ 2， 3） B（ 3， 2） C（ 3， 3） D（ 4， 3） 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 已知拋物線的對稱軸為 x=2，知道 A 的坐標為（ 0， 3），由函數(shù)的對稱性知 B 點坐標 【解答】 解：由題意可知拋物線的 y=x2+bx+c 的對稱軸為 x=2， 點 A 的坐標為（ 0， 3），且 x 軸平行， 可知 A、 B 兩點為對稱點， B 點坐標為（ 4， 3） 故選 D 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 7一元二次方程 4（ x 1） 2 9=0 的解是 【考點】 解一元二次方程直接開平方法 【分析】 先把方程變形得到（ x 1） 2= ，然后兩邊開方得到 x 1= ，再解兩個一次方程即可 【解答】 解： （ x 1） 2= ， x 1= ， ， 故答案為 ， 8如圖， 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 80到 位置，已知 5，則 于 35 度 第 12 頁（共 28 頁） 【考點】 旋轉(zhuǎn)的 性質(zhì) 【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，找到旋轉(zhuǎn)角 根據(jù)角相互間的和差關(guān)系即可求出 度數(shù) 【解答】 解： 點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 80到 位置， 0， 5， 則 0 45=35 故填 35 9如圖， O 的直徑 弦 足為點 G， 8，則 29 【考點】 圓周角定理；垂徑定理 【分析】 先根據(jù)垂徑定理得出 = ，可得出 而可得出結(jié)論 【解答】 解： O 的直徑 弦 = ， 58=29 故答案為： 29 10在平面直角坐標系 ，函數(shù) y=（ N（ 點，若 4 2， 0 2，則 （用 “ ”， “=”或 “ ”號連接） 【考點】 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征 第 13 頁（共 28 頁） 【分析】 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解 【解答】 解：由 y=知， a=1 0， 拋物線的開口向上， 拋物線的對稱軸為 y 軸， 當 x 0 時， y 隨 x 的增大而增大， 4 2， 0 2， 2 4， 11如圖， 頂點都在 O 上，已知 直徑 ， 長為 【考點】 圓周角定理；等腰直角三角形 【分析】 連接 等腰直角三角形，據(jù)此即可求得 長 【解答】 解：連接 D= D= 圓的直徑， 0， 等腰直角三角形 =3 故答案是： 3 第 14 頁（共 28 頁） 12等腰三角形三邊長分別為 a、 b、 2，且 a、 b 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x+n 1=0 的兩根，則 n 的值為 9 或 10 【考點】 根的判別式；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì) 【分析】 討論：當 a=2 或 b=2 時，把 x=2 代入 6x+n 1=0 可求出對應的 n 的值；當 a=b 時，根據(jù)判別式的意義得到 =（ 6） 2 4 （ n 1） =0，解得 n=10 【解答】 解：當 a=2 或 b=2 時，把 x=2 代入 6x+n 1=0 得 4 12+n 1=0，解得 n=9； 當 a=b 時， =（ 6） 2 4 （ n 1） =0，解得 n=10， 所以 n 的值為 9 或 10 三、（本大題共 5 小題，每小題 6 分，共 30 分） 13按要求做題： （ 1）解方程： 3x2+x=3x+1 （ 2）計算： 22+8 （ 2） 3 2 （ ） 【考點】 解一元二次方程因式分解法；有理數(shù)的混合運算 【分析】 （ 1）先變形為 x（ 3x+1）（ 3x+1） =0，然后利用因式分解法解方程； （ 2）先進行乘方運算，再計算括號內(nèi)的減法運算，然后進行乘除運算，最后進行加減運算 【解答】 解：（ 1） x（ 3x+1）（ 3x+1） =0， （ 3x+1）（ x 1） =0， 所以 ， ； （ 2）原式 = 4+8 （ 8） 2 （ ） 第 15 頁（共 28 頁） = 4 1+ = 14關(guān)于 x 的一元二次方程 3x k=0 有兩個不相等的實數(shù)根 （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）請選擇一個 k 的負整數(shù)值，并求出方程的根 【考點】 根的判別式；解一元二次方程公式法 【分析】 （ 1）因為方程有兩個不相等的實數(shù)根， 0，由此可求 k 的取值范圍； （ 2）在 k 的取值范圍內(nèi)，取負整數(shù)，代入方程，解方程即可 【解答】 解：（ 1） 方程有兩個不 相等的實數(shù)根， （ 3） 2 4（ k） 0， 即 4k 9，解得 ； （ 2）若 k 是負整數(shù)， k 只能為 1 或 2； 如果 k= 1，原方程為 3x+1=0， 解得， ， （如果 k= 2，原方程為 3x+2=0，解得， ， ） 15校運會期間，小捷同學積極參與各項活動在鉛球項目中，他擲出的鉛球在場地上壓出一個小坑（圖示是 其主視圖），經(jīng)測量，其中坑寬 8坑的最大深度為 2幫助小捷同學計算鉛球的半徑 長為多少？ 【考點】 垂徑定理的應用 【分析】 先根據(jù)垂徑定理求出 長，設(shè) OA= r 2） 根據(jù)勾股定理求出 r 的值即可 【解答】 解：作 D，如圖所示： 第 16 頁（共 28 頁） 坑的最大深度為 2 設(shè) OA= r 2） ， r 2） 2+42， 解得 r=5 即鉛球的半徑 長為 5 16如圖，邊長為 1 的正方形 點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 30到正方形 D，求圖中陰影部分面積 【考點】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì) 【分析】 設(shè) BC與 交點為 E，連接 用 “明 和 據(jù)全等三角形對應角相 等 B根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出 60，然后求出 0，再解直角三角形求出 后根據(jù)陰影部分的面積 =正方形 面積四邊形 面積，列式計算即可得解 【解答】 解：如圖，設(shè) BC與 交點為 E，連接 在 和 ， 第 17 頁（共 28 頁） ， B 旋轉(zhuǎn)角為 30， 60， 60=30， = ， 陰影部分的面積 =1 1 2 （ 1 ） =1 17 O 為 外接圓，請僅用無刻度的直尺，根據(jù)下列 條件分別在圖 1，圖 2 中畫出一條弦，使這條弦將 成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法） （ 1）如圖 1， C； （ 2）如圖 2，直線 l 與 O 相切于點 P，且 l 【考點】 作圖 復雜作圖；三角形的外接圓與外心；切線的性質(zhì) 【分析】 （ 1）過點 C 作直徑 于 C， = ，根據(jù)垂徑定理的推理得直平分 以 成面積相等的兩部分； （ 2）連結(jié) 延長交 E，過點 A、 E 作弦 于直線 l 與 O 相切于點 P，根據(jù)切線的性質(zhì)得 l，而 l 據(jù)垂徑定理得 E，所以弦 成面積相等的兩部分 【解答】 解：（ 1）如圖 1， 直徑 所求； （ 2）如圖 2， 第 18 頁（共 28 頁） 弦 所求 四、（本大題共 4 小題，每小題 8 分，共 32 分） 18如圖， O 的直徑， 弦， 點 E，點 G 在直徑 延長線上， D= G=30 （ 1）求證： O 的切線； （ 2）若 ，求 長 【考點】 切線的判定 【分析】 （ 1）連接 據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得 80 D G=120，再計算出 度數(shù)可得 而得到 O 的切線； （ 2）設(shè) EO=x，則 x，再利用勾股定理計算出 長，進而得到 長，然后再計算出 長即可 【解答】 （ 1）證明：連接 D， D=30， D=30 G=30， 80 D G=120 0 第 19 頁（共 28 頁） 又 O 的半徑 O 的切線 （ 2）解： O 的直徑， 在 ， 0， 0， 設(shè) EO=x，則 x （ 2x） 2=2 解得 x= （舍負值） 在 ， 0， G=30， O 19如圖，小明的父 親在相距 2 米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千拴繩子的地方距地面高都是 ，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1 米的小明距較近的那棵樹 時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為多少米？ 第 20 頁（共 28 頁） 【考點】 二次函數(shù)的應用 【分析】 根據(jù)題意建立直角坐標系，點（ 0， （ 2， （ 1）都在拋物線上，設(shè)拋物線解析式，列方程組，求解析式，根據(jù)解析式很容易就可求出拋物線的頂點坐標，縱坐標的絕對值即為繩子的最低點距地面的 距離 【解答】 解：以 A 為原點， 在直線為 x 軸， 在直線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標系 設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為： y=bx+c 將（ 0， （ 2， （ 1）代入 y=bx+c 得： ， 解得： 拋物線的表達式為： y=24x+ y=24x+（ x 1） 2+ 拋物線的頂點坐標為（ 1， 繩子的最低點距地面的距離為 第 21 頁（共 28 頁） 20如圖 O 內(nèi)接三角形，點 C 是優(yōu)弧 一點（點 C 與 A、 B 不重合）設(shè) ， C= （ 1）當 =35時，求 的度數(shù)； （ 2）猜想 與 之間的關(guān)系，并給予證明 【考點】 三角形的外接圓與外心 【分析】 （ 1）連接 據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 5，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 據(jù)圓周角定理計算即可； （ 2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周 角定理計算 【解答】 解：（ 1）連接 =35， 5， 10， = 5； （ 2） +=90 80 2， = 0 ， +=90 21如圖， M 與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸切于點 C，且 長是方程 4x+3=0 的 解 第 22 頁（共 28 頁） （ 1）求 M 點的坐標 （ 2）若 P 是 M 上一個動點（不包括 A、 B 兩點），求 度數(shù) 【考點】 切線的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；圓周角定理 【分析】 （ 1）過點 M 作 x 軸于點 E，連接 出方程后可知 ， ，然后即可求出 長度，由于 C 是切點，所以 半徑，又因為 E，從而可知 M 的半徑，利用垂徑定理即可求出 M 的坐標 （ 2）由于點 P 的位置不確定，需要分兩種情況進行討論，可根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解 【 解答】 解：（ 1）過點 M 作 x 軸于點 E，連接 長是方程 4x+3=0 的解， 解得 x=1 或 x=3， ， ， A（ 1， 0）， B（ 3， 0） 由垂徑定理可知： E， E（ 2， 0）， ， ， M 與 y 軸切于點 C， M 的半徑， E=2， 由勾股定理可知： ， M 的坐標為（ 2， ）； （ 2）連接 點 P 在 x 軸上方時， 第 23 頁（共 28 頁） 由（ 1）可知： ， ， 0， 由垂徑定理可知： 0， 由圓周角定理可知： 0， 當點 P 在 x 軸下方時， 由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：此時 80 30=150 五、（本題 10 分） 22如圖 1，將兩個完全相同的三角形紙片 合放置， 其中 C=90， B= E=30 （ 1）操作發(fā)現(xiàn)如圖 2，固定 點 C 順時針旋轉(zhuǎn)當點 D 恰好落在 上時 第 24 頁（共 28 頁） 線段 位置關(guān)系是 （不需證明） 設(shè) 面積為 面積為 2的數(shù)量關(guān)系是 2 ，證明你的結(jié)論； （ 2）猜想論證 當 點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 3 所示的位置時，小明猜想（ 1）中 2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了 上的高，請 你證明小明的猜想 【考點】 三角形綜合題；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形 【分析】 （ 1） 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 D，然后求出 等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 0，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行進行解答； 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得 D，再根據(jù)直角三角形 30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出 后求出 D，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C 到 距離等于點 D 到 距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答； （ 2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 E， D，再求出 后利用 “角角邊 ”證明 等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得 M，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明 【解答】 解：（ 1） 理由如下：如圖 2， 點 C 旋轉(zhuǎn)點 D 恰好落在 上， D， 0 B=90 30