遂 寧 市 高中 2017 屆 三 診考試 數(shù)學(xué) （ 文 科） 試題 本試卷分第 擇題）和第 選擇題）兩部分?？偡?150分?？荚嚂r(shí)間 120分鐘。 第卷 （選擇題，滿分 60分） 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用 米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。 2選擇題使用 2B 鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用 米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 3考試結(jié)束后，將 答題卡收回。 一、選擇題： 本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。 1若集合 2 03 2 則 為 A 20 B 2,1 C 20 D 2,1,0 2復(fù)數(shù)3s o s 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 已知向量 a ， b 的夾角為3，且 )4,3( a ， 2b ，則 A 212 B 7 C 61 D 61 4我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前 344 年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器 三視圖如下圖所示（單位：寸），若 取 3，且圖中的 x 為 寸）則其體積為 A 立方寸 B 方寸 C 方寸 D 方寸 5 已知直線 20ax y 與圓 C 2214x y a 相交于 兩點(diǎn) ，且線段 圓 C 的所有弦中最長(zhǎng)的一條弦，則實(shí)數(shù) a A. 2 B. 1 C. 1 或 2 D. 1 6 表面積為 24的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為 A. 12 B. 34 C. 38D. 3347函數(shù) ) 2,0,0( 則其在區(qū)間 2,3 上的單調(diào)遞減區(qū)間是 A ,3 和 2,611 B 65,3 和 611,34 C 65,3 和 2,611 D ,3 和 611,34 8某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行 后輸出的值是 74，則 整數(shù) a 的值為 A 3a B 4a C 5a D 6a 9. 已知 43c o s s i ， 則 7的值是 A53B54C53D5410已知函數(shù) 3,3,2)( 2 在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)0x，使 0 0概率是 A31B 23C21D6111已知直線 l 過橢圓 C ： 2 2 12x y的左焦點(diǎn) F 且交橢圓 C 于 A 、 B 兩點(diǎn)。 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 B ，則點(diǎn) O 到直線 距離為 A 63B 2 C 52D 3212. 已知函數(shù) () 導(dǎo)函數(shù) () xg x e ,且 (0) (1)g g e ,（其中 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）若(0, )x ,使得不等式 3() 成立 ,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 A 1, B 3, C ,3 D e 4, 第卷 （非選擇題，滿分 90分） 注意事項(xiàng)： 1請(qǐng)用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第卷答題卡上作答，不能答在此試卷上。 2 試卷中橫線及框內(nèi)注有“”的地方，是需要你在第卷答題卡上作答。 本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13題至第 21題為必考題，每個(gè)試題考生都 作 答；第 22、 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題： 本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分。 13. 函數(shù) 21f x x x 的值域是 14. 已知實(shí)數(shù) ,04207021 23z x y的最小值為 15. 在 ， 2 , 6 0B C B，若 面積等于 32， 則 長(zhǎng)為 16. 已知函數(shù) 2 ,01 ,0x x a 的圖象上存在不同的兩點(diǎn) ,使得曲線 y f x 在這兩點(diǎn)處的切線重合 ， 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是 三、解答題： 本大題共 5 小題，共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17 （本小題滿分 12 分） 等比數(shù)列 21 2 3 2 62 3 1 , 9a a a a a . （ 1）求數(shù)列 （ 2）設(shè) 3 1 3 2 3l o g l o g . . . . . . l o a a a ，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 18.（本小題滿分 12 分） 如圖，在直三棱柱 ， C= 11A B A B E ， D 為 的點(diǎn)， 平面 （ 1）求證： 平面 11 （ 2）若 1,且 1D ，求三棱錐 體積 19.（本小題滿分 12 分） 某公司為了解廣告投入對(duì)銷 售收益的影響，在若干地區(qū)各投入 4 萬元廣告費(fèi)用， 并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖 (如圖 所示 )軸的數(shù)據(jù) 丟失，但 可以確定橫軸是從 0 開始計(jì)數(shù)的 . 附：回歸直線的 斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 1221 ,y n x yb a y b xx n x . （ 1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度 ; （ 2）試估計(jì)該公司投入 4 萬元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值 (以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值 ); （ 3）該公司按照類似的研究方法 ,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù) ,并整理得到下表 : 廣告投入 x (單位 :萬元 ) 1 2 3 4 5 銷售收益 y (單位 :萬元 ) 2 3 2 7 由表中的數(shù)據(jù)顯示 ,x 與 y 之間存在著線性相關(guān)關(guān)系 ,請(qǐng)將（ 2）的結(jié)果填入空白欄 ,并求出 y 關(guān)于 x 的回歸直線方程 . 20（本小題滿分 12 分） 已知點(diǎn) F 是 拋 物線 2: 2 0C y p x p的焦點(diǎn) , 若點(diǎn) 0,1 上 , 且054. （ 1）求 拋 物線 C 的方程 ; （ 2）若直線 l 經(jīng)過點(diǎn) 3, 1Q 且與 C 交于 ,于 M )兩點(diǎn) , 證明 : 直線 直線斜率之積為常數(shù) . 21.（本小題滿分 12 分） 已知 0t ，設(shè)函數(shù) 323 ( 1 )( ) 3 12tf x x x t x . 2)( x （ 1）當(dāng) 2m 時(shí)，求 )(x 的極值點(diǎn)； （ 2）討論 )(區(qū)間 2,0 上的單調(diào)性； （ 3） )()( 對(duì)任意 0, )x 恒成立時(shí)， m 的最大值為 1，求 t 的取值范圍 . 請(qǐng)考生在第 22、 23兩題 中任選一題 作 答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22.（本小題滿分 10 分） 選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 ，以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系，已知直線 l 的參數(shù)方程為2（ t 為參數(shù)），曲線 C 的普通方程為024 22 點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為 72 2 , 4 （ 1）求直線 l 的普通方程和曲線 C 的極坐標(biāo)方程； （ 2）若將直線 l 向右平移 2 個(gè)單位得到直線 l ，設(shè) l 與 C 相交于 , 面積 23.（本小題滿分 10 分） 選修 4 5：不等式選講 設(shè) )( . （ 1）當(dāng) 1b 時(shí)，求 2)( 解集； （ 2）當(dāng) 1x 時(shí)，若不等式| |12|1|)( a 對(duì)任意實(shí)數(shù) 0a 恒成立，求 實(shí)數(shù) b 的取值范圍 . 遂 寧 市 高中 2017 屆 三 診考試 數(shù)學(xué) （文 科） 試題參考答案及評(píng)分意見 一、選擇題 （ 12 5=60分 ） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C D B B A D C A B 二、填空題 （ 4 5=20 分） 13. 2, 14. 15. 3 16. 12,4三、 解答題： 本大題共 6 小題，共 70 分 17（本小題滿分 12 分） 【解析】（ 1）設(shè)數(shù)列 q ，由 24236223 99 ，所以912 q，由條件可知 031q； 2 分 由 132132 1121 所以31 a， 4 分 故數(shù)列 (31 6 分 （ 2）2 )1()21(l 2313 )111(21 9 分 12)1113121211(2)1()1()1( 21 n 數(shù)列前 n 項(xiàng)和 2n n 12 分 18（本小題滿分 12 分） 解：（ 1）連結(jié) 1 分 平面 面 D， 平面 3 分 E 為 D 為 點(diǎn)， C， ， 4 分 C 1A 1B 一】：由 平面 面 ， 由 及 平面 11的兩條相交直線， 得 平面 11 6 分 【法二】 :由 平面 平面 11 平面 11 平面 又平面 11面 C，得 平面11 6 分 （ 2）由 1得 ， 由（ 1）知 又 1 2 2, 8 分 222 2 ， ， 10 分 1 11 1 13 2 6A B C B B C B B 12分 19（本小題滿分 12 分） 解：（ 1）設(shè)各小長(zhǎng)方形的寬度為 m ,由頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積總和為 1,可知 ( 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 4 0 . 1 2 0 . 0 4 0 . 0 2 ) 0 . 5 1 ,故 2m ，即圖中各小長(zhǎng)方形的寬度為 2. 3 分 （ 2）由（ 1）知各小組依次是 0 , 2 ) , 2 , 4 ) , 4 , 6 ) , 6 , 8 ) , 8 , 1 0 ) , 1 0 , 1 2 , 其中點(diǎn)分別為 1, 3, 5, 7, 9,11 , 對(duì)應(yīng)的頻率分別為 0 . 1 6 , 0 . 2 0 , 0 . 2 8 , 0 . 2 4 , 0 . 0 8 , 0 . 0 4, 故可估計(jì)平均值為 1 0 . 1 6 3 0 . 2 5 0 . 2 8 7 0 . 2 4 9 0 . 0 8 1 1 0 . 0 4 5 . 7分 （ 3）由（ 2）可知空白欄中填 5. 由題意可知 , 1 2 3 4 5 2 3 2 5 73 , 3 . 855 ， 511 2 2 3 3 2 4 5 5 7 6 9 , 5 2 2 2 2 2 211 2 3 4 5 55 , 根據(jù)公式 ,可求得26 9 5 3 3 . 8 1 2 1 . 2 ,5 5 5 3 1 0b 10分 3 . 8 1 . 2 3 0 , 11分 所以所求的回歸直線 方程為 . 12分 20（本小題滿分 12 分） 解：（ 1）由拋物線定義知0 2 x,則00524,解得0 2又點(diǎn) 0,1 上 , 代入 2:2C y ,得021解得0 11, 2所以 2: C y x 4 分 （ 2）由（ 1）得 1,1M , 當(dāng)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) 3, 1Q 且垂直于 x 軸時(shí) , 此時(shí) 3 , 3 , 3 , 3, 則直線 斜率 312,直線 斜率 312,所以 3 1 3 1 12 2 2A M B . 6 分 當(dāng)直線 l 不垂直于 x 軸時(shí) , ,設(shè)直線 l 的斜率為 0,且經(jīng)過 Q(3,，則直線 l 方程為： 1 ( 3) y k x ，帶入 2 ： 2 3 1 0 k y y k ， 7 分 設(shè) 1 1 2 2, , ,A x y B x y, 1 2 1 211, - 3 - y y y 9 分 則直線 斜率111211 11 1 1AM x y y , 同理直線 斜率21 1 y， 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1111 1 1 231 A M B y y y y y 直線 直線 斜率之積為 12 12 分 21（本小題滿分 12 分） 【解析】 （ 1） 當(dāng) 2m 時(shí)， )( ， )1()(/ x ，令 0)(/ x ，則 1x ，當(dāng) 1x 時(shí)， 0)(/ x ；當(dāng) 1x 時(shí)， 0)(/ x ，所以 1x 是 )(x 的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)。 3 分 （ 2） 2( ) 3 3 ( 1 ) 3 3 ( 1 ) ( )f x x t x t x x t ， 4 分 當(dāng) 01t 時(shí)， ()0, )t ， (1,2) 上單調(diào)遞增；在 (,1)t 上單調(diào)遞減， 當(dāng) 1t 時(shí)， () 2,0 上單調(diào)遞增 . 當(dāng) 12t 時(shí)， ()0,1) ， (,2)t 上單調(diào)遞增；在 (1, )t 上單調(diào)遞減 當(dāng) 2t 時(shí)， ()0,1) 上單調(diào)遞增，在 (1,2) 上單調(diào)遞減 . 8 分 （ 3） 323 ( 1 )( ) 3 12tf x x x t x ， 2)( x 。由 )()( 得 323 ( 1 ) 3 1 e 22 x t x x m 對(duì)任意 0, )x 恒成立，即 323 ( 1 )e 3 12x tm x x x t x 2 3 ( 1 ) e 3 12x tx x x t 對(duì)任意 0, )x 恒成立 . 令 2 3 ( 1 )( ) e 32x tg x x x t ， 0, )x ，根據(jù)題意，可以知道 m 的最大值為 1，則 2( ) e xg x x 3( 1)2t x30t恒成立 . 10 分 由于 ( 0 ) 1 3 0 ，則 103t. 當(dāng) 103t時(shí)， 3 ( 1 )( ) e 22x tg x x ，令 3 ( 1 )( ) e 22x th x x ，則( ) e 2，令 ( ) e 2 0 ，得 ，則 () (0,上單調(diào)遞減，在(, ) 上單調(diào)遞增，則 m i n 3 ( 1 )( ) ( l n 2 ) 2 2 l n 2 02th x g ， ()0, )上單調(diào)遞增 . 從而 ( ) ( 0 ) 1 3 0g x g t ，滿足條件，故 t 的取值范圍是 1(0, 3. 12 分 請(qǐng)考生在第 22、 23、二題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22（本小題滿分 10 分） 【解析】（ 1）根據(jù)題意，直線 l 的普通方程為 2 ， 2 分 曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 4 c o s 2 s i n 5 分 （ 2） l 的普通方程為 ，所以其極坐 標(biāo)方程為4 )( R，所