學科教育論文-函數的學習困難與課程設計摘要：函數作為中學數學的核心內容之一，歷來是中學生感到難學的內容。函數學習困難的因素主要有三個方面：函數本身的復雜性；中學生思維發(fā)展水平；初、高中函數銜接問題。課程標準對函數的教學建議中，提出直接由對應通過具體實例引入（不必先講映射），這種淡化形式的處理方法，提供了整體改革函數課程設計的契機。建議函數課程設計：1.將函數思想貫穿于課程體系之中；2.注意函數課程設計的一致性與側重性；3.加強函數與相關學科以及實際生活的聯系；4.重視計算機（器）等現代教育技術的作用。關鍵詞：函數；學習困難；課程設計；淡化形式；函數思想自20世紀初，數學教育改革運動提出“以函數為綱”的口號以來，函數一直都被確立為數學教學的核心。這不僅因為它是整個數學體系的重要基礎，而且因為函數思想方法已成為現代數學的主要思想方法之一，對數學課程的設計可以起到統(tǒng)領的作用。然而，函數歷來也是中學生感到最難學的內容，若干研究和教學實踐表明函數的學習困難甚至伴隨了許多中學生的整個數學學習過程。本文就中學生函數的學習困難作出分析，并提出函數的課程設計建議。一、函數的學習困難分析在我國面向21世紀的基礎教育課程改革中，數學課程的設計凸顯了“函數”這一主線，并采用了螺旋的編排方式，但函數仍然是中學生感到最難學的內容，造成函數學習困難有以下三方面的因素。（一）函數本身的復雜性函數在中學數學中最具復雜性，這是造成學生學習困難的主要因素。函數包含兩個本質屬性（定義域與對應法則）和較多的非本質屬性（如值域、自變量、因變量、集合等）；初中函數“變量說”定義中的文字“y是x的函數，記作y=f(x)”屬于蘊涵式的表述且符號抽象；函數涉及“變量”，而“變量”的本質是辯證法在數學中的運用；函數還具有多種表示法，如解析法、列表法、圖象法、箭頭法；函數與其他內容有錯綜復雜的聯系；等等。函數的這些復雜性決定了函數學習困難的必然性，其學習困難主要表現在以下幾個方面。1.函數變量理解的困難變量是數學中一切抽象事物的建筑材料，但是讓學生理解變量的內涵并不容易。筆者曾對學習過函數的300個初三學生作過一個調查：請指出圓的周長與半徑的函數關系式l=2r中的變量。調查結果是：有83個學生認為l、r都是變量（追問為什么，答：凡是字母都可以變）；有97個學生認為只有r是變量，（追問為什么，答：l是r的函數，是圓周率，所以只有r是變量）；有59個學生認為只有是變量（追問為什么，答：l是自變量、r是因變量，只剩下一個字母可以變了）；有57個學生認為l、r是變量；有4個學生沒有回答。大部分學生不能正確地理解變量，一方面有教學的原因：在教學實踐中，教師常常對學生理解變量的困難估計不足，另一方面縱觀中學數學內容，在函數學習之前，基本上是常量數學時期的內容，學生對變量的理解困難也是很正常的。2.函數符號抽象的困難接受函數符號的抽象表示也是一個難點。在某中學，教師講完函數的定義后，給出了通常的表示法y=f(x)，下課后竟有多個學生問教師：f和x是不是乘的關系？學生雖然學習了函數的定義，有的甚至能背誦，但沒有理解函數的真實意義。有教師認為教學時不要直接說“通常我們把y是x的函數表示為：y=f(x)”，而可以說“f代表自變量和因變量之間的對應關系，對于定義域內任意的x（這時在黑板上寫下x），通過對應關系f（在黑板上寫出f（），剛才的x被括號括在內），對應出唯一的一個y（在黑板上剛才的式子前寫下y=）”，這樣就寫出了表達式y(tǒng)=f(x)。這一改進可以避免學生產生錯覺。筆者曾經作過調查，超過90%的中學生弄不清究竟函數是指f，是f(x)，還是y=f(x)。許多學生高中畢業(yè)了也沒有真正弄明白y=f(x)到底是什么原因是符號f具有“隱蔽性”，其具體內容不能從符號上得到體現中學生的思維水平還缺乏足夠的為f建立起具體內容的經驗。3.函數圖象運用的困難數與形是數學的兩方面，有了直角坐標系以后數與形統(tǒng)一了，因此用圖象方法研究函數的各種性質似乎很自然。但對學生來說并非如此。雖然大多數學生能夠作簡單的圖象，但是他們常常把函數圖象看成為函數之外的東西，沒有把它當成函數的一個有機組成部分。如，學生很不習慣把函數變換f(x)k,f(kx),|f(x)|,f(|x|),f2(x),等與圖形變換（如軸對稱、中心對稱）聯系起來。要使中學生把函數的圖象作為函數的一個有機組成部分并不容易，實際上，在函數學習之前，學生對數與形的學習基本上是分開進行的，學習中只需要對數或形進行單一的思維即可。函數要求思維在符號語言與圖形語言之間進行靈活轉換，而中學生形象化意識（數形結合思想）的形成需要較長的過程。（二）中學生思維發(fā)展水平函數的學習困難與中學生思維發(fā)展水平有關，1中學生數學思維發(fā)展水平的制約是其內在因素。要求學生根據函數可能出現的一種情形，在思維中構建一個過程來反映“對定義域中每一個特定值都得到一個函數值”這一動態(tài)變化過程，同時，還要把函數的三個成分：對應法則、定義域和值域凝聚成一個對象來把握，像這種整體地、動態(tài)地、具體地認識對象，同時還要把動態(tài)過程轉化為靜態(tài)對象，能夠進行靜止與運動、離散與連續(xù)的相互轉化，只有達到辯證思維水平，才能做到。而心理學研究表明：2初中生的思維發(fā)展水平是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維水平，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展開始逐漸占主流。但辯證思維是人類思維發(fā)展的最高形式，中學生的辯證思維基本上處于形成與發(fā)展的早期階段。這樣一方面是中學生的辯證思維發(fā)展很不成熟，思維水平基本上停留在形式邏輯思維的范疇，只能局部地、靜止地、割裂地認識事物；另一方面函數的特征是發(fā)展的、變化的、與眾多數學知識相互聯系的，屬于辯證概念。這個矛盾構成了函數學習中一切認知障礙的根源。（三）初、高中函數銜接問題我國歷來初中與高中對函數分別采用“變量說”與“對應說”的課程設計是造成函數學習困難的外在因素。這樣設計有合理的一面，但是另一方面容易造成學生認知銜接上的困難。首先，要向學生說明為什么要重新刻畫函數，以及解決“變量說”與“對應說”的相容性。當然單純解決這個問題并不難，但由于“變量說”具有的先天缺陷3會隨著初中函數的教學植入學生的思維，造成先入為主的誤導，同時與函數概念本身的復雜性攪合在一起，必然會增加銜接的困難。在調查中我們發(fā)現：“變量說”中把y表述為x的函數，常常使學生形成一個帶普遍性的錯誤：y就是函數，因而在高中階段很難接受對應關系f是函數的表述。學生的思維在“變量說”向“對應說”的轉化過程中，摒棄“y依x變（x是自變量，y是因變量）”的說法，舍去“變化”這一非本質的東西，突出“對應”的思想，需要產生較大的飛躍。這必然增加高一函數學習的不適應性。其次，“變量說”是建立在變量的基礎上的。所謂“量”是指有量可度的對象，如長度、距離、時間等等，即研究的范圍限制在實數集。這樣既影響將函數向更高一級抽象的遷移，也妨礙學生將函數思想運用于各種不同的研究對象。再次，雖然“變量說”在某些場合有實用的價值，但實際上在初中學生的生活中，“變量說”不一定比“對應說”來得自然、實用。因為即使學生憑借生活經驗容易理解生活中許多與“對應”有關的問題，對“變量”的理解也不那么容易。進入高中，函數教學的重心是追求形式化，較少關注實際問題。這也許是大部分中學生在學習了函數后不能將其運用于解決實際問題的緣由。二、函數的課程設計建議目前，認知心理學關于數學學習的理論探討還處于初級階段，能夠用來較好地解釋函數學習的理論還沒有較成熟的實踐支持。因此對函數學習困難的研究一方面需要在教學實踐中深入探索其學習過程的心理機制，構建其教與學的策略，另一方面筆者認為改革函