,第四節(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,平面及其方程,第八章,一、平面方程 1.平面的點(diǎn)法式方程,設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn),且垂直于非零向,稱式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例1.求過(guò)三點(diǎn),即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程.,利用點(diǎn)法式得平面 的方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,此式稱為平面的截距式方程.,時(shí),平面方程為,分析:利用三點(diǎn)式,按第一行展開得,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程,此方程稱為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià),的平面,因此方程的圖形是,法向量為,方程.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特殊情形, 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示,通過(guò)原點(diǎn)的平面;, 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.,解:,因平面通過(guò) x 軸 ,設(shè)所求平面方程為,代入已知點(diǎn),得,化簡(jiǎn),得所求平面方程,(P18 例3 , 自己練習(xí)),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3、兩平面的夾角,設(shè)平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特別有下列結(jié)論：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,因此有,例3. 一平面通過(guò)兩點(diǎn),垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設(shè)所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,即,和,則所求平面,故,方程為,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,外一點(diǎn),求,設(shè),設(shè)平面法向量為,在平面上取一點(diǎn),是平面,到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為,(點(diǎn)到平面的距離公式),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,4.點(diǎn)到平面的距離,1、空間直線一般、點(diǎn)向式、參數(shù)式方程,2、線面間的位置關(guān)系,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、空間直線的方程,第八章,因此其一般式方程,1. 1 一般式方程,直線可視為兩平面交線，,(不唯一),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1、空間直線一般、點(diǎn)向式、參數(shù)式方程,1.2 對(duì)稱式方程,故有,說(shuō)明: 某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.,設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為,則,此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程),直線方程為,已知直線上一點(diǎn),例如, 當(dāng),和它的方向向量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1.3. 參數(shù)式方程,設(shè),得參數(shù)式方程 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線,解:先在直線上找一點(diǎn).,再求直線的方向向量,令 x = 1, 解方程組,得,交已知直線的兩平面的法向量為,是直線上一點(diǎn) .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故所給直線的對(duì)稱式方程為,參數(shù)式方程為,解題思路:,先找直線上一點(diǎn);,再找直線的方向向量.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 兩直線的夾角,則兩直線夾角 滿足,設(shè)直線,兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角),的方向向量分別為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特別有:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 求以下兩直線的夾角,解: 直線,直線,二直線夾角 的余弦為,(參考P35例8),從而,的方向向量為,的方向向量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角,線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;,3. 直線與平面的夾角,當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為,平面 的法向量為,則直線與平面夾角 滿足,直線和它在平面上的投影直,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,特別有:,解: 取已知平面的法向量,則直線的對(duì)稱式方程為,直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,垂,例6. 求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 空間直線方程,一般式,對(duì)稱式,參數(shù)式,內(nèi)容小結(jié),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,直線,2. 線與線的關(guān)系,直線,夾角公式:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,平面 :,L,L / ,夾角公式：,3. 面與線間的關(guān)系,直線 L :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下