2 線性空間的定義 與簡單性質(zhì),3 維數(shù)基與坐標,4 基變換與坐標變換,1 集合映射,5 線性子空間,7 子空間的直和,8 線性空間的同構(gòu),6 子空間的交與和,小結(jié)與習題,第六章 線性空間,6.3 維數(shù) 基 坐標,一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系,二、線性空間的維數(shù)、基與坐標,6.3 維數(shù) 基與坐標,6.3 維數(shù) 基 坐標,引 入,即線性空間的構(gòu)造如何？,怎樣才能便于運算？,問題,如何把線性空間的全體元素表示出來？,這些元素之間的關(guān)系又如何呢？,（基的問題）,問題,線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西,數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學式子來表達？,（坐標問題）,6.3 維數(shù) 基 坐標,一、線性空間中向量之間的線性關(guān)系,1、有關(guān)定義,設(shè)V 是數(shù)域 P 上的一個線性空間,則稱向量 可經(jīng)向量組 線性表出；,使,6.3 維數(shù) 基 坐標,若向量組 中每一向量皆可經(jīng)向量組,線性表出，則稱向量組,可經(jīng)向量組 線性表出；,若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組,為等價的,，使得,則稱向量組 為線性相關(guān)的；,6.3 維數(shù) 基 坐標,（4）如果向量組 不是線性相關(guān)的，即,只有在 時才成立，,則稱 為線性無關(guān)的,（1）單個向量 線性相關(guān),單個向量 線性無關(guān),向量組 線性相關(guān),中有一個向量可經(jīng)其余向量線性表出,2、有關(guān)結(jié)論,6.3 維數(shù) 基 坐標,（2）若向量組 線性無關(guān)，且可被,向量組 線性表出，則,若 與 為兩線性無關(guān)的,等價向量組，則,（3）若向量組 線性無關(guān)，但向量組,線性相關(guān)，則 可被向量組,線性表出，且表法是唯一的,6.3 維數(shù) 基 坐標,因為，對任意的正整數(shù) n，都有 n 個線性無關(guān)的 向量,1、無限維線性空間,若線性空間 V 中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，,則稱 V 是無限維線性空間,例1 所有實系數(shù)多項式所成的線性空間 Rx 是,無限維的.,1，x，x2，xn1,二、線性空間的維數(shù)、基與坐標,6.3 維數(shù) 基 坐標,2、有限維線性空間,n 維線性空間；常記作 dimV n .,（1）n 維線性空間：,若在線性空間 V 中有 n 個線性無關(guān)的向量，但是,任意 n1 個向量都是線性相關(guān)的，則稱 V 是一個,注：零空間的維數(shù)定義為0.,dimV 0 V0,6.3 維數(shù) 基 坐標,在 n 維線性空間 V 中，n 個線性無關(guān)的向量,（2）基,，稱為 V 的一組基；,下的坐標，記為,（3）坐標,設(shè) 為線性空間 V 的一組基，,則數(shù)組 ，就稱為 在基,若,6.3 維數(shù) 基 坐標,有時也形式地記作,注意：,唯一確定的即向量 在基 下的坐標唯一的.,但是，在不同基下 的坐標一般是不同的,6.3 維數(shù) 基 坐標,3、線性空間的基與維數(shù)的確定,定理：若線性空間V中的向量組 滿足,） 線性無關(guān)；,） 可經(jīng) 線性表出 ,則V為n 維線性空間， 為V的一組基,6.3 維數(shù) 基 坐標,證明： 線性無關(guān)，,V的維數(shù)至少為 n ,任取V中 n1個向量 ，,由)，向量組 可用向量組,若 是線性無關(guān)的，則n1n，矛盾,線性表出.,V中任意n1個向量 是線性相關(guān)的,故，V是n 維的， 就是V的一組基,6.3 維數(shù) 基 坐標,例2 3 維幾何空間R3,是R3的一組基；,也是R3的一組基,一般地，向量空間,為n維的，,就是 Pn 的一組基稱為Pn的標準基.,6.3 維數(shù) 基 坐標, n 維線性空間 V 的基不是唯一的，V中任意 n個, 任意兩組基向量是等價的,例3（1）證明：線性空間Pxn是n 維的，且,注意：,線性無關(guān)的向量都是V的一組基,（2）證明：1，xa，(xa)2，(xa)n1,1，x，x2，xn1 為 Pxn 的一組基,也為Pxn的一組基,6.3 維數(shù) 基 坐標,證:（1）首先，1，x，x2，xn1是線性無關(guān)的, 1，x，x2，xn1 為Pxn的一組基，,從而，Pxn是n維的.,其次，,可經(jīng) 1，x，x2，xn1線性表出,注：,在基1，x，x2，xn1下的坐標就是,此時，,6.3 維數(shù) 基 坐標,（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是線性無關(guān)的,即,f(x)可經(jīng)1，xa，(xa)2，(xa)n1線性表出.,1，xa，(xa)2，(xa)n1為Pxn的一組基,在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐標是,注：,此時，,6.3 維數(shù) 基 坐標,若把C看成是實數(shù)域R上的線性空間呢？,而實數(shù)域R上的線性空間C為2維的，數(shù)1，i 就為,例4 求全體復數(shù)的集合C看成復數(shù)域C上的線性,空間的維數(shù)與一組基；,解：,復數(shù)域C上的線性空間C是1維的，數(shù)1就是它的,一組基；,它的一組基,注：任意數(shù)域P看成是它自身上的線性空間是一維的， 數(shù)1就是它的一組基.,6.3 維數(shù) 基 坐標,解：令,有,例5 求數(shù)域P上的線性空間 的維數(shù)和一組基,6.3 維數(shù) 基 坐標,矩陣 在基 下的,坐標就是,一般地，數(shù)域P上的全體 矩陣構(gòu)成的線性空間,為 維的，,注：,就是 的一組基,矩陣單位,6.3 維數(shù) 基 坐標,下的坐標，其中,例6 在線性空間 中求向量 在基,6.3 維數(shù) 基 坐標,練習,1.已知全體正實數(shù)R對于加法與數(shù)量乘法：,構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間，求R的維數(shù)與一組基.,2.求實數(shù)域R上的線性空間V的維數(shù)與一組基.這里,6.3 維數(shù) 基 坐標,1 解: 數(shù)1是R的零元素.,即 x 可由 a 線性表出.,任取R中的一個數(shù) a , 且 ，則a是線性無關(guān)的.,故R是一維的，任一正實數(shù) 就是R的一組基.,6.3 維