2.3 用達(dá)朗貝爾方程寫出習(xí)題1.24的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：取m位矢OM與OO連線夾角為，取極坐標(biāo)系 則,代入達(dá)朗貝爾方程： ，并化簡(jiǎn)得,系數(shù)為零,2.6 用拉格朗日程寫出習(xí)題1.20的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：如圖，取底面圓心處為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)到軸距為R，則： 由幾何關(guān)系,代入完整保守體系的拉格朗日程，并化簡(jiǎn)得：,代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡(jiǎn)得,2.7 用拉格朗日方程寫出習(xí)題1.21的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：建立柱坐標(biāo)系，取R， 為廣義坐標(biāo),由幾何關(guān)系：,2.8 用拉格朗日方程寫出習(xí)題1.24的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：以為廣義坐標(biāo)，取極坐標(biāo)系,代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡(jiǎn)得,2.9 用拉格朗日方程寫出習(xí)題1.27的運(yùn)動(dòng)微分方程 解：體系為自由度為2的完整約束體系，取x,y為廣義坐標(biāo),代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡(jiǎn)得,2.11 光滑剛性拋物線R2=2pz以恒定角速度繞鉛直軸z旋轉(zhuǎn)，其上套有質(zhì)量為m的小環(huán).(1)試求小環(huán)的拉格朗日函數(shù)及運(yùn)動(dòng)方程；(2)小環(huán)可穩(wěn)定某處時(shí)，？ 解：建立柱坐標(biāo)系，R為廣義坐標(biāo)，,代入完整保守體系的拉格朗日方程，,則,化簡(jiǎn)得到，,當(dāng)小環(huán)穩(wěn)定時(shí)，R為定值，即有,代入上式，可得,即,2.12 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)約束在光滑的旋轉(zhuǎn)拋物面x2+y2=az的內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，z軸為鉛直軸。寫出(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，(2)質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)所滿足的條件。 解：體系自由度為2的完整約束體系，選用柱坐標(biāo)系，R,為廣義坐標(biāo),代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡(jiǎn)得,將約束條件x2+y2=R2az，代入得,若質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，有,可得 即,當(dāng)t=0時(shí)，有v=v0，z=h，得,由桿AC，DG力矩平衡：,2.13 圖中所示是一臺(tái)磅秤的簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu).試證明：若 ，則在平衡條件下，秤錘的重量P與重物P在秤臺(tái)的位置無(wú)關(guān)，且,若有 ，則有：,證明：由受力平衡，B處受力為(P-F1),又有F1 F1， F2 F2,即秤錘的重量P與重物P在秤臺(tái)的位置無(wú)關(guān)，且,體系為完整保守平衡系統(tǒng)：,2.15 一水平的固定光滑釘子M與光滑鉛直墻面的距離為d，一長(zhǎng)為l的均勻棒AB擱在釘子上，下端靠在墻上，求平衡時(shí)棒與墻的夾角 解：以M點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，有,即,1),2),由圖,由虛功為零,即,任意，,則,2.18 質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)用一固有長(zhǎng)度為l，重量可忽略的彈簧連接，放置在半徑R的光滑球殼內(nèi)，求平衡時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)的位置。 解： m1o和m2o分別和鉛垂線的夾角為 ，原點(diǎn)為o,化簡(jiǎn)得,體系為完整保守平衡系統(tǒng)：,令,2.23 質(zhì)量為m，電荷為q的粒子在軸對(duì)稱電場(chǎng) 和