,求數(shù)列的通項公式 訥河市拉哈一中 谷洪明,求數(shù)列的通項公式,數(shù)列的通項公式是數(shù)列的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 反映了數(shù)列中的每一項與每一項的序號的關(guān)系,基本數(shù)列的通項公式,(1) 1 ,2 ,3 ,4 , (2) 1 ,3 ,5 ,7 , (3) 3 ,5 ,7 ,9 , (4) 2 ,4 ,6 ,8 , (5) 1 ,4 ,9 ,16 , (6) 2 ,4 ,8 ,16 ,(7) 1 ,1 , 1 ,1 , (8) 1 , 1 ,1 , 1 , an=(1)n1或(1)n1 (9) 等差數(shù)列的通項公式 an=a1+(n1)d (10)等比數(shù)列的通項公式 an=a1qn1,一、觀察法,一、觀察法（又叫猜想法，不完全歸納法）：觀察數(shù)列中各項與其序號間的關(guān)系，分解各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項公式,解：變形為：1011，1021，1031，1041， 通項公式為：,例1：數(shù)列9，99，999，9999，,例2，求數(shù)列3，5，9，17，33，,解：變形為：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，,可見聯(lián)想與轉(zhuǎn)化是由已知認(rèn)識未知的兩種有效的思維方法。,注意：用不完全歸納法，只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠的，如2，4，8，?？蓺w納成 或 者 兩個不同的數(shù)列（ 便不同）,通項公式為：,補(bǔ)充1：寫出下列數(shù)列的一個通項公式,總結(jié): (1)掌握基本數(shù)列的通項公式. (2)分?jǐn)?shù)形式的數(shù)列,保持分?jǐn)?shù)線,分子分母分別找通項. (3)當(dāng)數(shù)列中有分?jǐn)?shù),又有整數(shù)時,需要把整數(shù)化成分?jǐn)?shù),即將分母補(bǔ)齊,然后分子分母分別找通項. (4)數(shù)列中的項正負(fù)交叉出現(xiàn)時,常用 (-1)n+1或(-1)n-1來調(diào)解.當(dāng)數(shù)列中的項是負(fù)正出現(xiàn)時,常用(-1)n來調(diào)解. (5)有的數(shù)列雖然有通項公式,但通項公式不唯一. (6)并不是所有的數(shù)列都有通項公式,數(shù)列通項公式的常見求法,類型1.已知數(shù)列的前幾項,求數(shù)列的通項公式 (1) 3 , 5 , 9 ,17 , (2) (3) (4),(5) _1 ,7 ,_13 ,19 , (6) 9 , 99 ,999 ,9999 ,二、前n項和法,類型二、前n項和法 已知前n項和，求通項公式,等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用,例2：已知數(shù)列an的前n項和公式為sn=2n2-30n: 這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項公式；,解：將n-1帶入數(shù)列的前n項和公式，得 Sn-1=2(n-1)2-30(n-1). 因此 an=sn-sn-1=4n-32(n2) 當(dāng)n=1時，a1=s1=2-30=-28,也適合上式，所以這個數(shù)列的通項公式為 an=4n-32. 又因?yàn)?an-an-1=(4n-32)-4(n-1)-32=4(n2), 所以an是等差數(shù)列。,等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用,變式：已知數(shù)列an的前n項和公式為sn=2n2-30n+1 這個數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？求出它的通項公式；,思考？,如果一個數(shù)列的前n項和的公式是sn=an2+bn+c(a,b,c為常數(shù)），那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？,結(jié)論：當(dāng)c=0時這個數(shù)列是等差數(shù)列,類型2 .已知數(shù)列的前n項和,即sn與n的關(guān)系,求數(shù)列的通項公式. 例1.已知數(shù)列的前n項和sn=3n2 , 求它的通項公式? 分析:大家首先需要理解數(shù)列的前n項的和與前 n1項的和. sn=a1+a2+a3+an-1+an 當(dāng) n2 時 sn-1=a1+a2+a3+an-1 an=snsn-1,解:當(dāng)n=1時, a1=s1=31_2=1 當(dāng)n 2時, an=sn_sn-1=3n_2_(3n-1_2)=3n_3n-1=33n-1_3n-1 =23n-1 由于a1=1不適合上式. an= 練習(xí)：已知數(shù)列的前n項和sn=2n_1 求數(shù)列的通項公式,例7已知下列兩數(shù)列 的前n項和sn的公式，求 的通項公式。 （1） （2）,解： （1） ，當(dāng) 時 由于 也適合于此等式 ,（2） ，當(dāng) 時 由于 不適合于此等式 ,【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列an的前n項和Sn,分別求它們的通項公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.,【解析】(1)由題可知,當(dāng)n=1時,a1=S1=212+31=5, 當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n+1. 當(dāng)n=1時,41+1=5=a1, 所以an=4n+1. (2)當(dāng)n=1時,a1=S1=3+1=4, 當(dāng)n2時, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1. 當(dāng)n=1時,231-1=2a1, 所以an=,考點(diǎn)2 an與Sn關(guān)系式的應(yīng)用 【典例2】(1)設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn=n2,則a8的值為( ) A.15 B.16 C.49 D.64 (2)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( ),【規(guī)范解答】(1)選A.a8=S8-S7=64-49=15. (2)選B方法一：因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1- Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 所以數(shù)列Sn是以S1=a1=1為首 項， 為公比的等比數(shù)列，所以 故選B 方法二:因?yàn)镾n=2an+1, 所以Sn-1=2an(n2), 兩式相減得:an=2an+1-2an, 所以,已知數(shù)列an,anN*,Sn=,(an+2)2. (1)求證:an是等差數(shù)列. (2)設(shè)bn=,an-30,求數(shù)列bn的前n項和Tn的最小值.,所以an-an-1=4.,所以Tn=(n-15)2-225. 當(dāng)n=15時,數(shù)列bn的前n項和有最小值為-225.,所以an是首項為2,公差為4的等差數(shù)列. (,bn=,an-30=,(4n-2)-30=2n-31.,三、累加法,例2：,在an中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通項an.,練：,類型三、累加法 形如 的遞推式,二、迭加法（又叫累加法，逐加法）,例3，求數(shù)列：1，3，6，10，15，21，的通項公式,解： 兩邊相加得： ,【典例3】(1)在數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+ 則an等于( ) A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn,【規(guī)范解答】(1)選A.由已知,an+1-an=ln ,a1=2, 所以an-an-1=ln (n2), an-1-an-2=ln , a2-a1=ln ,將以上n-1個式子疊加，得 =ln n. 所以an=2+ln n(n2), 經(jīng)檢驗(yàn)n=1時也適合.故選A.,已知a1=1,an+1=an+2n，求其通項公式,四、累乘法,例4：,練：,類型四、累乘法形如 的遞推式,若數(shù)列 是等比數(shù)，公比為 ，則,若數(shù)列 滿足 ，其中數(shù)列 前 項積可求，則通項 可用逐項作商后求積得到。,若數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2nan,則數(shù)列an的通項公式，an= .,(2)由于 將這n-1個等式疊乘得 =21+2+(n-1)= 故an= 答案：,【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列an的通項公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=1,an= an-1(n2). (3)a1=2,an+1=an+3n+2.,五、構(gòu)造法,構(gòu)造數(shù)列an+ 為等比數(shù)列,題型：已知數(shù)列an中a1=1，an+1=pan+q,求an,如何確定 ？,待定系數(shù)法：,即,根據(jù)已知 =,所以數(shù)列 是等比數(shù)列.,例5：,分析：配湊法構(gòu)造輔助數(shù)列,例9，已知數(shù)列 的遞推關(guān)系 為 ，且 ， ，求通項公式 。,解： ,令 則數(shù)列 是以4為公差的等差數(shù)列 ,兩邊分別相加得： ,研究an+1=Aan+B的數(shù)列通項,例2：在an中a1=2,an+1=3an+2,求數(shù)列的通項公式.,例3:已知數(shù)列an,首項為2,且an+1=2an+2 求數(shù)列an的通項公式 解:an+1=2an+2 an+1+2=2an+4 an+1+2=2(an+2) 數(shù)列an+2是以a1+2=4為首項,以2為 公比的等比數(shù)列,an+2=42n-1 an=2n+1_2 例4.已知數(shù)列 an,an+1=3an+4,且a1=1 求數(shù)列 an的通項公式? 解:設(shè)an+1+r=3(an+r) 則 an+1+r=3an+3r an+1=3an+2r 由已知 an+1=3an+4 2r=4, r=2 an+1+2=3(an+2), 數(shù)列an+2是a1+2=3為首項,以3為公比的等比數(shù)列 an+2=33n-1 an=3n+1_2 形如an+1=can+d 當(dāng)c=0時,an+1=d an=d 此數(shù)列為常數(shù)數(shù)列 當(dāng)c=1時,an+1=an+d an+1_an=d,【加固訓(xùn)練】1.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知2an-2n=Sn,則數(shù)列an 的通項公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn得2an+1-2n+1=Sn+1,-整理得 an+1=2an+2n,即 即數(shù)列 是首項為1，公差為 的等差 數(shù)列，故 故an=(n+1)2n-1 答案：(n+1)2n-1,2、已知數(shù)列an，a1=1,an+1=,3、數(shù)列an中,a1=1,2an=,六、取倒法,例6：,取倒法構(gòu)造輔助數(shù)列,類型六、形如 的遞推式,當(dāng)c變?yōu)閚時，上式化為 用疊加法 例6：在數(shù)列an,a1=1, 求an 解： 兩邊取倒數(shù),各式相加得,數(shù)列an中,a1=1,七、除以二次項法,、形如 的遞推式,例8：,八、因式分解法,例7：設(shè)an是首項為1的正數(shù)數(shù)列，且 （n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 (nN) 求它的通項公式? 解:（n+1)a2n+1na2n+an+1an=0 分解因式為 (an+1+an) (n+1)an+1nan=0 數(shù)列an是正數(shù)數(shù)列 an+1+an0 (n+1)an+1nan=0 (n+1)an+1=nan,.設(shè)an是首項為1的正數(shù)數(shù)列，且 求數(shù)列an的通項公式,(2014安徽高考)數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*. (1)證明:數(shù)列,是等差數(shù)列. (2)設(shè)bn=3n,求數(shù)列bn的前n項和Sn.,所以an=n2,從而bn=n3n,九、相除法（除以高次）,、相除法形如 的遞推式,例7：,型的遞推公式,. 已知數(shù)列an中a1=2，an+1=2an+ 求數(shù)列an的通項公式。,型的遞推公式,例5. 已知數(shù)列an中a1=2，an+1=4an+ 求數(shù)列an的通項公式。,十、周期數(shù)列,周期函數(shù) 數(shù)列 滿足 數(shù)列 的前 n積為 ，則 等于 解：,補(bǔ)充,an是等差數(shù)列，an=1+(n-1)=n,1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,mN*), 則an=_,解: n=m=1時，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2,m=1時,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=