四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介課時(shí)過(guò)關(guān)能力提升基礎(chǔ)鞏固1已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為16,3,5,則其直角坐標(biāo)為()A.(5,8,83)B.(8,83,5)C.(83,8,5)D.(4,83,5)解析設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z).=16,=3,z=5,x=cos=8,y=sin=83,z=5,故點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是(8,83,5).答案B2已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為2,4,3,若在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在xOy平面上的射影為Q,則點(diǎn)Q的柱坐標(biāo)為()A.(2,0,3)B.2,4,0C.2,4,3D.2,4,0答案B3在球坐標(biāo)系中,方程r=202,02表示()A.圓B.半圓C.球面D.半球面解析由空間點(diǎn)的球坐標(biāo)的定義可知,方程r=202,02表示半球面.答案D4已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為4,76,1,則它的直角坐標(biāo)為.解析設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x,y,z).=4,=76,z=1,x=cos=4cos76=-23,y=sin=4sin76=-2.故點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(-23,-2,1).答案(-23,-2,1)5若點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為7,2,7,點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r,),則r=.解析(,z)=7,2,7,設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x,y,z),則x2+y2=2=49,r=x2+y2+z2=49+72=72.答案726已知空間點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為6,3,4,則點(diǎn)P關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的柱坐標(biāo)為.答案6,43,47把下列用柱坐標(biāo)表示的點(diǎn)用直角坐標(biāo)表示出來(lái).(1)(2,0,-2);(2)(,).解設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y,z).(1)(,z)=(2,0,-2),x=2cos0=2,y=2sin0=0,z=-2,故(2,0,-2)為所求點(diǎn)的直角坐標(biāo).(2)(,z)=(,),x=cos=-,y=sin=0,z=,故(-,0,)為所求點(diǎn)的直角坐標(biāo).8把下列用球坐標(biāo)表示的點(diǎn)用直角坐標(biāo)表示出來(lái).(1)2,6,3;(2)2,4,74.解設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y,z).(1)(r,)=2,6,3,x=rsincos=2sin6cos3=12,y=rsinsin=2sin6sin3=32,z=rcos=2cos6=3.故12,32,3為所求點(diǎn)的直角坐標(biāo).(2)(r,)=2,4,74,x=rsincos=2sin4cos74=1,y=rsinsin=2sin4sin74=-1,z=rcos=2cos4=2.故(1,-1,2)為所求點(diǎn)的直角坐標(biāo).9已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為2,4,5,點(diǎn)B的球坐標(biāo)為6,3,6,求這兩個(gè)點(diǎn)的直角坐標(biāo).解設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),則x=2cos4=222=1,y=2sin4=1,z=5.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1,5).設(shè)點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(x1,y1,z1),則x1=6sin3cos6=63232=364,y1=6sin3sin6=63212=324,z1=6cos3=612=62.所以點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為364,324,62.10結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞,食鹽晶胞的示意圖如圖所示可看成是八個(gè)棱長(zhǎng)為12的小正方體堆積成的正方體,圖形中的點(diǎn)代表鈉原子.如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz后,試寫出下層鈉原子所在位置的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo).圖圖解下層的原子全部在xOy平面上,它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(0,0,0),1,2,0,2,2,4,1,2,2,22,2,4;它們的柱坐標(biāo)分別為(0,0,0),(1,0,0),2,4,0,1,2,0,22,4,0.能力提升1已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(3,1,-2),則它的球坐標(biāo)為()A.22,34,6B.22,4,6C.22,4,3D.22,34,3解析設(shè)M的球坐標(biāo)為(r,),則3=rsincos,1=rsinsin,-2=rcos,解得r=22,=34,=6.答案A2已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為4,4,4,則點(diǎn)M到Oz軸的距離為()A.22B.2C.2D.4解析設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x,y,z),(r,)=4,4,4,x=rsincos=4sin4cos4=2,y=rsinsin=4sin4sin4=2,z=rcos=4cos4=22,M(2,2,22).故點(diǎn)M到Oz軸的距離為22+22=22.答案A以地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn),赤道所在平面為xOy平面,由原點(diǎn)指向北極的方向?yàn)閦軸的正方向,零子午線所在的平面為zOx坐標(biāo)平面,如圖所示.某地在西經(jīng)60,南緯45,地球的半徑為R,則該地的球坐標(biāo)可以表示為()A.R,3,4 B.R,4,3C.R,34,53D.R,53,34解析根據(jù)地球經(jīng)、緯度的定義及球坐標(biāo)的定義可得.答案C4若點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為2,54,2,則它的球坐標(biāo)為()A.2,4,4B.2,4,54C.2,54,4D.2,34,4解析設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x,y,z).點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為2,54,2,x=2cos54,y=2sin54,z=2,即x=-1,y=-1,z=2.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(-1,-1,2).設(shè)點(diǎn)M的球坐標(biāo)為(r,),r=(-1)2+(-1)2+(2)2=2,容易知道=54.cos=zr=22,=4.故球坐標(biāo)為2,4,54.答案B5在柱坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D在原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(8,0,10),C16,2,10,則此長(zhǎng)方體的外接球的體積為.解析由題意知長(zhǎng)方體中的|DA|=8,|DC|=6,|DD1|=10,所以外接球的直徑為102,半徑為52.故所求的體積為43(52)3=100023.答案1000236在柱坐標(biāo)系中,方程=1表示空間中的什么曲面?方程z=-1表示什么曲面?解方程=1表示以z軸所在直線為軸,以1為底面半徑的圓柱側(cè)面;方程z=-1表示與xOy坐標(biāo)面平行的平面,且此平面與xOy平面的距離為1,并且在xOy平面的下方.7已知點(diǎn)P1的球坐標(biāo)是4,2,53,P2的柱坐標(biāo)是2,6,1,求|P1P2|.解設(shè)點(diǎn)P1的直角坐標(biāo)為(x,y,z).點(diǎn)P1的球坐標(biāo)是4,2,53,x=4sin2cos53=4112=2,y=4sin2sin53=41-32=-23,z=4cos2=0.故點(diǎn)P1的直角坐標(biāo)為(2,-23,0).設(shè)點(diǎn)P2的直角坐標(biāo)為(x1,y1,z1).點(diǎn)P2的柱坐標(biāo)是2,6,1,x1=2cos6=232=3,y1=2sin6=212=1,z1=1.故點(diǎn)P2的直角坐標(biāo)為(3,1,1).|P1P2|=(2-3)2+(-23-1)2+(0-1)2=21.8在球坐標(biāo)系中,求兩點(diǎn)P3,6,4,Q3,6,34間的距離.解設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y,z),則x=3sin6cos4=324,y=3sin6sin4=324,z=3cos6=332=332.所以P324,324,3