第二章 2-1試證明圖 P2-1中周期性信號(hào)可以展開(kāi)為（圖略） 4 ( 1) n cos(2n 1) t s(t) 2n 1 n 0 證明：因?yàn)?所以 s( t) s(t) 2 kt 2 kt s(t) ck cos ck cos ck cos kt T0 2 k 0 k 0 k 0 1 s(t)dt 0 c0 0 1 1 1 4sin k2 k 1 1 s(t)cosk tdt ( ck )cosk tdt 1 cosk tdt 2 2 1 1 1 2 2 0, k 2n 4 (2n 1) ( 1) n k 2n 1 所以 4 ( 1) n 2n 1 s(t) cos(2n 1) t n 0 2-2設(shè)一個(gè)信號(hào)s(t)可以表示成 s(t) 2cos(2 t ) t 試問(wèn)它是功率信號(hào)還是能量信號(hào)，并求出其功率譜密度或能量譜密度。 解：功率信號(hào)。 2 s ( f ) cos(2 t )ej2 ft dt 2 sin( f 1) j e sin( f 1) ( f 1) e j 2 ( f 1) P( f ) lim 1 s2 sin 2 ( f 1)sin ( f 1)2 sin( f 1) sin ( f 1)cos2 2 lim 4 2 ( f 1) 2( f 1) ( f 1)( f 1) 2 2 2 2 2 2 由公式 sin 2 xt (x) sin xt (x) x lim 和 lim tx 2 tt 有 P( f ) ( f 1)( f 1) 4 4 1 ( f 1)( f 1) 4 或者 P( f ) 1 ( f f0)( f f0) 4 2-3設(shè)有一信號(hào)如下： 2exp( t) t 0 t 0 x(t) 0 試問(wèn)它是功率信號(hào)還是能量信號(hào)，并求出其功率譜密度或能量譜密度。 解： dx 4 e2tdt x(t) 2 2 0 是能量信號(hào)。 x(t)e j2 ft dt S( f ) 2 e(1j2f )t dt 0 2 1j2 f 2 2 4 G( f ) 1j2 f 14 f 2 2 2-4試問(wèn)下列函數(shù)中哪一些滿(mǎn)足功率譜密度的性質(zhì)： （1）( f )cos 2 f 2 （2）a ( f a) （3）exp(a f ) 解： 功率譜密度 P( f )滿(mǎn)足條件：P( f )df為有限值 （3）滿(mǎn)足功率譜密度條件，（1）和（2）不滿(mǎn)足。 2-5試求出s(t) Acos t的自相關(guān)函數(shù)，并從其自相關(guān)函數(shù)求出其功率。 解：該信號(hào)是功率信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)為 1 A2 T 2 R( ) lim cos t cos (t ) T T T 2 A cos 2 2 P R(0) 1 A 2 2 2-6設(shè)信號(hào)s(t)的傅里葉變換為S( f ) sinf f，試求此信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) Rs( )。 解： Rs( ) P( f )e j2f df sin 2 f e j2 f df 2 2 f 1, 11 2-7已知一信號(hào)s(t)的自相關(guān)函數(shù)為 Rs( ) k ek ， k為常數(shù) 2 （1）試求其功率譜密度 Ps( f )和功率 P； （2）試畫(huà)出Rs()和 Ps( f )的曲線。 解：（1） Ps( f ) Rs( )ej2fd k d k 0 e(kj2f ) e(kj2f ) d2 2 0 k 2 k 2 4 2 2 f 2 k P f 2df k 2 4 2 k 2 （2）略 2-8已知一信號(hào)s(t)的自相關(guān)函數(shù)是以 2為周期的周期函數(shù)： R( ) 1， 11 試求功率譜密度 Ps( f )，并畫(huà)出其曲線。 解： R( )的傅立葉變換為，（畫(huà)圖略） 1 T 2 R( )ej2fd T T 2 1 (1)ej2 f dsin 2 f 1 2 1 2 f 2 sinc f 2 P( f ) sinc f ( f nf0) 2 f ( f n) sinc sinc 2 T f ( f n) 2 2 2-9已知一信號(hào)s(t)的雙邊功率譜密度為