數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng),自我介紹,昆明理工大學(xué)計(jì)算機(jī)系 袁梅宇,課程簡介大綱,“數(shù)字邏輯”是計(jì)算機(jī)專業(yè)必修的專業(yè)基礎(chǔ)課程。它主要講述如何應(yīng)用數(shù)字電路來進(jìn)行數(shù)字系統(tǒng)的邏輯設(shè)計(jì)的基本理論和方法，具體內(nèi)容包括：數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)知識和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的分析和設(shè)計(jì)方法。對于從事計(jì)算機(jī)研制和應(yīng)用的廣大科技工作者來說，熟練掌握數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)的理論和方法是十分必要的，它不僅能使計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生了解數(shù)字系統(tǒng)的工作原理和設(shè)計(jì)方法，對于其它專業(yè)課程（如：計(jì)算機(jī)組成原理、接口技術(shù)等）的學(xué)習(xí)也會(huì)有很大幫助。,課程簡介,課程名稱 數(shù)字邏輯 總學(xué)時(shí) 32 總學(xué)分 2 課程類別 專業(yè)基礎(chǔ)課 專業(yè) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù),考試,最后一周當(dāng)堂考試（開卷） 試卷類型 待定？ 如何學(xué)習(xí) 認(rèn)真聽課 認(rèn)真復(fù)習(xí) 不劃范圍 缺勤三分之一取消考試資格 比例 平時(shí) 40% 考試 60%,內(nèi)容,第一章 開關(guān)理論基礎(chǔ) 第二章 組合邏輯 第三章 時(shí)序邏輯,第一章 開關(guān)理論基礎(chǔ),開關(guān)理論是以二進(jìn)制為基礎(chǔ)的理論，包括二進(jìn)制為基礎(chǔ)的數(shù)制和碼制，描述邏輯電路的數(shù)學(xué)工具、圖形和符號語言。 奠定了計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代數(shù)字系統(tǒng)的硬件構(gòu)造基礎(chǔ)。,1.1 二進(jìn)制系統(tǒng),一、模擬信號與數(shù)字信號 模擬信號： 時(shí)間連續(xù)數(shù)值也連續(xù)的信號。如速度、壓力、溫度等。在時(shí)間、數(shù)值是平滑地、連續(xù)地變化。所以模擬信號在一定范圍內(nèi)的任意值必須測量其大小。缺點(diǎn)：很難度量； 容易受噪聲的干擾； 難以保存。,數(shù)字信號：在時(shí)間上和數(shù)值上均是離散的、不連續(xù)的。如電子表的秒信號，生產(chǎn)線上記錄零件個(gè)數(shù)的記數(shù)信號等。 用二元數(shù)0、1來表示，一個(gè)0或一個(gè)1稱為一比特（Bit），所以對數(shù)字信號只能計(jì)數(shù)其數(shù)目多少，而不需要大小。 數(shù)字電路：是工作在數(shù)字信號下的電路。,脈沖信號：是指一種持續(xù)時(shí)間極短的電壓、電流波形。（ 持續(xù)時(shí)間是與電路的暫態(tài)過渡歷程持續(xù)時(shí)間相比擬。） 從廣義講：凡按非正弦規(guī)律變化的電壓、電流波形都可以稱為脈沖信號。脈沖信號是屬于模擬信號范疇。 例如：方波、矩形波、尖脈沖、鋸齒波等。,數(shù)字信號的兩個(gè)狀態(tài)（高低電平）是由脈沖矩形波來表示的。所以說數(shù)字電路是工作在脈沖狀態(tài)下的電壓或電流。,脈沖電路：是用來產(chǎn)生和處理脈沖信號的電路。,工作在脈沖信號下的脈沖電路。 從波形上分為 工作在正弦信號下的模擬線性放大電路。,一個(gè)理想的周期性脈沖信號，可用以下幾個(gè)參數(shù)來描繪：,Vm信號幅度。 T信號的重復(fù)周期。 tW脈沖寬度。 Q占空比。其定義為：,P4例1,圖中所示為三個(gè)周期相同(T=20ms)，但幅度、脈沖寬度及占空比各不相同的數(shù)字信號。,數(shù)字電路的特點(diǎn),極高的穩(wěn)定性與可靠性； 欲提高信號處理精度，可增加信號的長度（位數(shù)）； 具有智能； 可長期存儲； 功耗低。,數(shù)字系統(tǒng)的應(yīng)用,1. 數(shù)字系統(tǒng)的設(shè)計(jì) 器件設(shè)計(jì)：完成簡單邏輯功能； 功能部件設(shè)計(jì)：實(shí)現(xiàn)某種功能的子系統(tǒng)； 系統(tǒng)設(shè)計(jì)： 如計(jì)算機(jī)、數(shù)控機(jī)床、控制器等。,2. 邏輯器件的設(shè)計(jì),基本邏輯器件：SSIC、MSIC； 由軟件組成的大規(guī)模和超大規(guī)模集成邏輯器件如單片機(jī)、微處理器； 專用集成電路ASIC和可編程邏輯器件PLD。,3. 應(yīng)用： 例如測量電機(jī)轉(zhuǎn)速的數(shù)字系統(tǒng),光電轉(zhuǎn)換,脈沖放大整形,門 電 路,秒信號 發(fā)生器,計(jì) 數(shù) 器,顯示譯碼,數(shù)碼顯示,1.2 數(shù)制與碼制,數(shù)制是計(jì)數(shù)進(jìn)位制的簡稱 1.2.1 進(jìn)位計(jì)數(shù)制 (1). 十進(jìn)制(Decimal) (2). 二進(jìn)制(Binary) (3). 十六進(jìn)制(Hexadecimal)與八進(jìn)制（Octal）,十進(jìn)制： 是用 0、1、2、3、 9 這十個(gè)數(shù)碼按一定規(guī)律排列而成。其按位權(quán)值展開為： 數(shù)碼（系數(shù)）： 0、1、2、3、 9 這十個(gè)數(shù)字； 位權(quán)值：10的冪（10i ），i為位值；以10為基數(shù)的數(shù)制； 加權(quán)系數(shù)：系數(shù) * 位權(quán)值。 十進(jìn)制數(shù)值 = 各加權(quán)系數(shù)之和（位權(quán)值展開）,4 3 2 1, , , ,103、102、101、100稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。,同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。,任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。,即：(4321)104103 310221011100,又如：(209.04)10 2102 0101910001014 102,二進(jìn)制： 是用 0、1這兩個(gè)數(shù)碼按一定規(guī)律排列而成。其按位權(quán)值展開為：,數(shù)碼（系數(shù)）： 0、1這兩個(gè)數(shù)字； 位權(quán)值：2的冪（2i ），i為位值；以2為基數(shù)的數(shù)制； 加權(quán)系數(shù)：系數(shù) * 位權(quán)值。按 位 權(quán) 值 展 開：,如：(101.01)2 122 0211200211 22 (5.25)10,各數(shù)位的權(quán)是的冪,八進(jìn)制和十六進(jìn)制 八進(jìn)制： 0、1、2、 7 這八個(gè)數(shù)碼，位權(quán)值為8i ； 十六進(jìn)制： 0、1、2、 9、A、B、C、D、E、F 這 十六個(gè)數(shù)碼，位權(quán)值為16i 。,1.2.2 不同數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換 1將R進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制 只要將R進(jìn)制按位權(quán)值展開，再按十進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則計(jì)算。,例 將二進(jìn)制數(shù)10011.101轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。 解：將每一位二進(jìn)制數(shù)乘以位權(quán)，然后相加，可得 (10011.101)B124023022121120121 022123 （19.625)D,例：(207.04)8 282 0817800814 82(135.0625)10,例：(D8.A)16 13161 816010 161(216.625)10,2將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成R進(jìn)制 將十進(jìn)制數(shù)分為: ( 整數(shù))10 和 ( 小數(shù))10 兩部分。然后分別進(jìn)行：,( 整數(shù) )10 ( 整數(shù) )2 ( 小數(shù) )10 ( 小數(shù) )2,( 整數(shù) 小數(shù))2,(整數(shù))10 (整數(shù))2 ： 采用逐次除以基數(shù)R取余數(shù)的方法（倒除法）,(小數(shù))10 (小數(shù))2 ： 采用將小數(shù)部分逐次乘以R取乘積整數(shù)部分。,例 將十進(jìn)制數(shù)23轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。 解： 用“除2取余”法轉(zhuǎn)換:,則（23)D =（10111)B,3十六進(jìn)制 二進(jìn)制 八進(jìn)制,二進(jìn)制 十六進(jìn)制 以小數(shù)點(diǎn)為起點(diǎn)向左（整數(shù)）和向右（小數(shù)）將4位二進(jìn)制數(shù)分為一組，對應(yīng)于1 位十六進(jìn)制數(shù)。反之成立。,二進(jìn)制 八進(jìn)制 以小數(shù)點(diǎn)為起點(diǎn)向左（整數(shù)）和向右（小數(shù)）將3位二進(jìn)制數(shù)分為一組，對應(yīng)于1 位八進(jìn)制數(shù)。反之成立。,例：(1100101110.0110101) B = ( 32E . 6A ) H = ( 1456 . 324 ) O,1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 1,(0 0 0,0)2, (1D4.6)16,= (1010 1111 0100 . 0111 0110),(AF4.76)16,4二進(jìn)制算術(shù)運(yùn)算,加法運(yùn)算,減法運(yùn)算,乘法運(yùn)算,除法運(yùn)算,1.2.3 二進(jìn)制編碼,一、編碼： 用若干文字字符表示特定對象的過程，叫編碼。,代碼：利用數(shù)碼（數(shù)字符號）來作為某一特定信 息的代號。,二進(jìn)制碼：用二進(jìn)制數(shù)碼中0、1來作為代碼的符號。（用二進(jìn)制數(shù)中 0、1 這兩個(gè)數(shù)字符號來表示特定對象的代號。）,注：二進(jìn)制碼不一定表示二進(jìn)制數(shù)（大?。?。,BCD碼：用二進(jìn)制代碼（0、1）來表示十進(jìn)制的09 這十個(gè)數(shù)。,要用二進(jìn)制代碼來表示十進(jìn)制的09十個(gè)數(shù)，至少要用4位二進(jìn)制數(shù)。 4位二進(jìn)制數(shù)有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進(jìn)制的09十個(gè)數(shù)。 所以共有2.9*1010 種方案，這就形成了不同的BCD碼。,二、二 十進(jìn)制碼（ BCD碼）,有權(quán)BCD碼：如：8421碼、2421碼、5121碼,無權(quán)BCD碼：如：余3碼、格雷碼,1.3 邏輯函數(shù)及其描述工具,1.3.1 邏輯函數(shù)的基本概念,基本概念,邏輯門電路：在數(shù)字電路中，實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算功能的電路。如：與門、或門、非門。,邏輯狀態(tài)：在數(shù)字電路中；把一個(gè)狀態(tài)分為兩種，一種狀態(tài)叫邏輯1，另一種狀態(tài)叫邏輯0 。 (注：“1”或“0”是表示兩種不同的符號，沒有數(shù)量意思。),高低電平：表示電壓大小范圍，分為高電壓狀態(tài)和低電壓狀態(tài)，不是一個(gè)固定的電壓數(shù)值。,真值表：將輸入、輸出用0、1表示，完整地列出所有可能輸入、輸出邏輯關(guān)系的表格。,邏輯函數(shù)：如果輸入邏輯變量A、B、C、D 的取值（1或0）確定以后、輸出邏輯變量 Z 的值也被唯一的確定。 稱Z 是A、B、C、D 的邏輯函數(shù)。 Z = F（ A, B, C, D, ）,邏輯函數(shù)相等： F（ A, B, C, D , ）和G（ A, B, C, D, ），如果輸入變量A、B、C、D 的任意一組狀態(tài)組合取值，使F 和G 輸出狀態(tài)相同。稱F和G是相等。 F = G 它們的真值表相等,布爾代數(shù)中的變量往往用字母A、B、C表示。每個(gè)變量只取“0”或“1”兩種情況，即變量不是取“0”，就是取“1”，不可能有第三種情況。它相當(dāng)于信號的有或無，電平的高低，電路的導(dǎo)通或截止。這使布爾代數(shù)可以直接用于二值邏輯系統(tǒng)電路的研究。,1.3.2 邏輯函數(shù)的描述工具 布爾代數(shù)法 邏輯真值表法 邏輯圖法 卡諾圖法 波形圖法 硬件描述語言法 （跳過，后面部分細(xì)說）,1.3.3 基本的邏輯運(yùn)算 與 或 非 （P11表1.3）,邏輯代數(shù),一、基本邏輯：與邏輯、或邏輯、非邏輯,與邏輯：某事成立，必須是它成立的所有條件都滿足要求時(shí)，才成立。,如：串聯(lián)開關(guān)電路,P,邏輯符號和表達(dá)式,P = A B C=AB C = A B C,A B C,真值表：列出輸入的所有狀態(tài)和輸出值。,邏輯1: 表示開關(guān)”閉”,燈的”亮”. 邏輯0: 表示開關(guān)”斷”,燈的”滅”.,與邏輯也稱邏輯乘運(yùn)算，相當(dāng)于集合中的交集，根據(jù)交集的概念，不難確定邏輯乘法的運(yùn)算規(guī)則：,A B = P 0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1,或邏輯：要使某事成立，只要滿足它至少成立的一個(gè)條件時(shí)，則成立。,如：并聯(lián)開關(guān)電路,邏輯符號和表達(dá)式,P = A + B+ C,A B C,真值表：,或邏輯也稱邏輯加運(yùn)算，相當(dāng)于集合中的并集，根據(jù)并集的概念，不難確定邏輯加的運(yùn)算規(guī)則：,A+B = P 0+ 0 = 0 0+ 1 = 1 1+ 0 = 1 1+ 1 = 1,小結(jié) 與邏輯：有低 出低 ；全高 出高 。 或邏輯：有高 出高；全低 出低 。,非運(yùn)算非邏輯：當(dāng)一事件的條件滿足時(shí)，該事件不會(huì)發(fā)生，條件不滿足時(shí)，才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為“非”邏輯關(guān)系。,與非、或非邏輯,與非,或非,與非： 全高 出低 ；有低 出高 。 或非： 全低 出高 ；有高 出低 。,與或非,異或、同或邏輯,異或: 二個(gè)輸入變量狀態(tài)不同，輸出為高；二個(gè)輸入變量狀態(tài)相同，輸出為低 。,注：一次異或邏輯運(yùn)算只有二個(gè)輸入變量，多個(gè)變量的異或運(yùn)算，必須二個(gè)二個(gè)變量分別進(jìn)行。,同或：二個(gè)輸入變量狀態(tài)不同，輸出為高；二個(gè)輸入變量狀態(tài)相同，輸出為低 。,各種邏輯符號圖,1.4 布爾代數(shù),1.4.1 布爾代數(shù)的基本定理,邏輯代數(shù)的基本定律,1. 變量與常量之間的關(guān)系 ：變量與常量之間的關(guān)系又可分為與邏輯形式及或邏輯形式兩種。實(shí)際上“與”和“或”之間是有對應(yīng)關(guān)系的，我們將在稍后給予指出。,定理1 A0=0 ， A+1=1 定理2 A1=A ，A+0=A,2. 變量自身之間的關(guān)系： 變量自身之間的關(guān)系也有兩對公式，它們之間也是互相對應(yīng)的。,定理3 AA=A ， A+A=A 定理4 =0 ， A+ =1 定理5：還原律,3. 在對邏輯表達(dá)式進(jìn)行變換時(shí)，可以使用普通的交換律、結(jié)合律和分配律來變換其形式。,定理6 ：交換律,AB = BA A+B= B+A,定理7 ： 結(jié)合律,(A+B)+C =A+(B+C) (AB)C = A(BC),定理8 ：分配律,A(B+C) = AB+AC A+BC = (A+B)(A+C),4. 特殊公式和定理：,定理9 ：吸收律,A+AB = A ， A(A+B) = A A+ B = A+B，A( +B ) = AB,定理10：反演律 （狄摩根定律）,定理1 ：恒等式,在 “與或”邏輯式中，一個(gè)與項(xiàng)包含了另外兩個(gè)含有互為反變量的與項(xiàng)的其余部分，則該與項(xiàng)是多余的（項(xiàng)）。,基本定律總結(jié),1.4.2 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,基本公式中的公式l 和公式2 就互為對偶 式。,1 .代入規(guī)則 對于任何一個(gè)邏輯等式，以某個(gè)邏輯變量或邏輯函數(shù)同時(shí)取代等式兩端任何一個(gè)邏輯變量后，等式依然成立。 例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：,2 .對偶規(guī)則 將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換： ： ， ： 0 1 ， 1 0,所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L 的對偶式，用 表示。,3 .反演規(guī)則,在應(yīng)用反演規(guī)則求反函數(shù)時(shí)要注意以下兩點(diǎn)： （1）保持運(yùn)算的優(yōu)先順序不變，必要時(shí)加括號表明； （2）變換中，幾個(gè)變量（一個(gè)以上）的公共非號保持不變。,利用反演規(guī)則，可以非常方便地求得一個(gè)函數(shù)的反函數(shù),解：,解：,將一個(gè)邏輯函數(shù)L進(jìn)行下列變換： ： ， ； ： 0 1 ， 1 0 ； ：原變量 反變量， 反變量 原變量。,所得新函數(shù)表達(dá)式叫做L的反函數(shù)，用 表示。,例 求函數(shù) 的反函數(shù)：,例 求函數(shù) 的反函數(shù)：,展開規(guī)則： 展開規(guī)則也叫展開定理，主要有二個(gè)公式。,展開規(guī)則二：,展開規(guī)則一：,上述兩個(gè)展開規(guī)則可以看成下列四個(gè)等式：,四、異或、同或的運(yùn)算規(guī)則,異或：F=AB,A+B=A B AB,A B=A B （A+B）,A（BC）= AB AC,等式兩邊可以相互交換： 如 AB= C；則AC= B,同或：F=AB,A+B =A B AB,A B=A B (A+B）,等式兩邊可以相互交換： 如 A B= C；則A C= B,A+(BC)=(A+B) ( A+C),如常量1 的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則輸出為 1 。,如常量0 的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則輸出為 1 。,公式的證明方法：,（1）用簡單的公式證明略為復(fù)雜的公式。,例 證明吸收律,證：,例3.1.2 用真值表證明反演律,1 1 1 0,1 1 1 0,（2）用真值表證明，即檢驗(yàn)等式兩邊函數(shù)的真值表是否一致。,證: (1),(2),所以 x = y,邏輯函數(shù)的表示方法總結(jié),描述邏輯問題時(shí)，經(jīng)常使用真值表、邏輯函數(shù)的表達(dá)式、邏輯圖或卡諾圖等方法來研究、處理邏輯問題。并且它們之間完全等價(jià),一真值表：其特點(diǎn)為：,直觀明瞭； 由實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題時(shí)，使用真值表最方便； 變量較多時(shí)，真值表過于繁瑣。,例如： 設(shè)計(jì)三個(gè)不同地點(diǎn)的開關(guān)控制一盞燈的電路。,解：首先分析題意，令A(yù)、B、C 表示三個(gè)開關(guān) ，F(xiàn) 為燈；1 和 0 表示開關(guān)或燈的兩個(gè)狀態(tài)。然后列出真值表如下：,二邏輯函數(shù)的表達(dá)式 Z = F（A，B，C，）,1 . 由真值表求函數(shù)表達(dá)式的方法,標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式（“積之和”式）,把真值表中函數(shù)為1 的輸入變量取值組合選出； 輸入變量為1的寫成原變量；為0 的寫成反變量，然后寫成一個(gè)乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）； 將所有函數(shù)值為1的乘積項(xiàng)相加 標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式。,例：根據(jù)上例子的真值表得到函數(shù)的表達(dá)式如下：,由真值表得到的函數(shù)的表達(dá)式是標(biāo)準(zhǔn)的“與-或”式。,標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式（“和之積”式）,選真值表中函數(shù)為0 的輸入變量取值組合； 輸入變量為1的寫成反變量；為0 的寫成原變量，然后寫成一個(gè)和項(xiàng)； 將這些和項(xiàng)相乘 標(biāo)準(zhǔn)“ 或- 與” 式。,2 . 最小項(xiàng)、最大項(xiàng),最小項(xiàng)：包含全部輸入變量，每個(gè)輸入變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)，組合僅僅出現(xiàn)一次，這樣的乘積項(xiàng)。,標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式：由最小項(xiàng)相加而成的函數(shù)表達(dá)式。,n個(gè)變量的最小項(xiàng)的數(shù)目是2n 個(gè)，最小項(xiàng)用 mi 表示。下標(biāo)用最小項(xiàng)對應(yīng)的二進(jìn)制碼相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)表示。例如,A B 0 0 0 1 1 0 1 1,最大項(xiàng)：包含全部輸入變量的和項(xiàng)。最大項(xiàng)用Mj表示。最大項(xiàng)的下標(biāo)與對應(yīng)的最小項(xiàng)下標(biāo)之間有一定關(guān)系:,i 是最小項(xiàng)的下標(biāo)數(shù)； j 是最大項(xiàng)的下標(biāo)數(shù)。,A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,最小項(xiàng),非標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式 標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式,解：,例： 將函數(shù) 轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。,= m7+m6+m3+m1 = m（1,3,6,7）,解：,=m7+m6+m3+m5=m（3,5,6,7）,例： 將函數(shù) 轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式 。,最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的性質(zhì)：,1. 最小項(xiàng)的反是最大項(xiàng), 最大項(xiàng)的反是最小項(xiàng);,2. 全部最小項(xiàng)之和恒等于“1” ;,3.全部最大項(xiàng)之積恒等于“0” ;,4. 一部分最小項(xiàng)之和的反等于另外那些最小項(xiàng)之和;,5. 兩最小項(xiàng)之積恒等于“0” ;,6. 兩最大項(xiàng)之和恒等于“1” ;,7. 與或標(biāo)準(zhǔn)型 Y=mi = m(0,1,4,6,7)= m0 +m1 +m4 +m6 +m7,8. 或與標(biāo)準(zhǔn)型 Y=Mi = M (0,1,4,6,7)= M0 M1 M4 M6 M7,3 . 函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn),簡潔方便，高度抽象概括地表示邏輯問題； 便于進(jìn)行運(yùn)算、變換和化簡； 便于邏輯圖實(shí)現(xiàn)。,三邏輯圖： 用邏輯符號表示基本單元電路已及由這些基本單元電路組成的部件之后，所得到的圖。它具有比較接近工程實(shí)際的突出優(yōu)點(diǎn)，和信號流電路接口清晰等特點(diǎn)。,1.4.3 代數(shù)法化簡邏輯函數(shù),1邏輯函數(shù)式的常見形式: 一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式不是唯一的，除了與或式外，還有或與式、與非與非式、或非或非及與或非式。可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：,與或表達(dá)式,或與表達(dá)式,與非與非表達(dá)式,或非或非表達(dá)式,與或非表達(dá)式,其中，與或表達(dá)式是邏輯函數(shù)的最基本表達(dá)形式。,2邏輯函數(shù)的最簡“與或表達(dá)式” 的標(biāo)準(zhǔn),3用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù): 即運(yùn)用形式定理和基本規(guī)則進(jìn)行化簡。所以必須熟練掌握這些定理和規(guī)則，否則十分容易與一般代數(shù)相混。,并項(xiàng)法：運(yùn)用公式 將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)變量。,例：,與項(xiàng)最少，即表達(dá)式中乘積項(xiàng)最少。 每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量數(shù)最少。,吸收法：運(yùn)用吸收律 A+AB=A，消去多余的與項(xiàng)。,例：,例：,消去法：運(yùn)用吸收律 消去多余因子。,例：,配項(xiàng)法：先通過乘以 或加上 ， 增加必要的乘積項(xiàng)，再用以上方法化簡。,在化簡邏輯函數(shù)時(shí)，要靈活運(yùn)用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。,例 化簡,解：,（利用A+AB=A）,（利用 ）,例 化簡：,（消去一個(gè)多余項(xiàng) ）,（再消去一個(gè)多余項(xiàng) ）,（消去一個(gè)多余項(xiàng) ）,（再消去一個(gè)多余項(xiàng) ）,例：化簡,（利用A+AB=A）,（配項(xiàng)法）,代數(shù)化簡法： 優(yōu)點(diǎn)：不受變量數(shù)目的限制。 缺點(diǎn)：沒有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；不易判定化簡結(jié)果是否最簡。,1.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡,一、卡諾圖 ：把真值表形式變換成方格圖的形式，并按循環(huán)碼來排列變量的取值組合。,卡諾圖建立：,把輸入變量分為兩組，并寫出每組變量的所有可能取值；,每組變量的取值按循環(huán)碼來排列；,0 0 0 1 1 1 1 0,000 001 011 010 110 111 101 100,兩變量,四變量,三變量,卡諾圖是最小項(xiàng)按一定規(guī)律排列的方格圖，每一個(gè)最小項(xiàng)占有一個(gè)小方格。因?yàn)樽钚№?xiàng)的數(shù)目與變量數(shù)有關(guān)，設(shè)變量數(shù)為n，則最小項(xiàng)的數(shù)目為2n,小方格數(shù)目也為2n 。,這兩組變量組合構(gòu)成2n個(gè)方格，每個(gè)方格代表個(gè)最小項(xiàng)。,四變量卡諾圖,卡諾圖具有很強(qiáng)的相鄰性： 直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項(xiàng)在邏輯上一定是相鄰的。 對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。,卡諾圖的特點(diǎn)幾何相鄰必邏輯相鄰,一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項(xiàng)邏輯上的相鄰性。,卡諾圖性質(zhì)和運(yùn)算：,卡諾圖中所有小方格均為0時(shí)，其輸出函數(shù)F=0 。,卡諾圖中所有小方格均為1時(shí)，其輸出函數(shù)F=1 。,兩卡諾圖中相加（或），對應(yīng)每小方格中的0、1按邏輯加運(yùn)算。,兩卡諾圖中相乘（與），對應(yīng)每小方格中的0、1按邏輯乘運(yùn)算。,用卡諾圖反演求反函數(shù)：將原函數(shù)卡諾圖中的01、1 0；即可得到反函數(shù)的卡諾圖。,卡諾圖的對偶, 求對偶函數(shù)F* ，其方法：,由F函數(shù)的最小項(xiàng)，求反函數(shù)F ；,如 F（A，B，C ） = m（i ） 則 （A，B，C ） = m（j ）,其中j 為2n 個(gè)號碼中除去 i 以外的所有最小項(xiàng)號碼。,由反函數(shù)，求對F*偶函數(shù)= m（k）；,那么 k=（ 2n 1） j ； （k 的個(gè)數(shù)與 j 相同 ）,如 n = 3，k=（ 23 1） j = 7 j n= 4，k=（ 24 1） j = 15 j,例: F（A，B，C ） = m（0，2，6 ） （A，B，C ） = m（1，3，4，5，7 ）,F* (A，B，C) = m（0，2，3，4，6 ）,二、用卡諾圖表示邏輯函數(shù),1從真值表到卡諾圖 例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。,解： 該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個(gè)最小項(xiàng)L的取值0或者1填入卡諾圖中對應(yīng)的8個(gè)小方格中即可。,2從邏輯表達(dá)式到卡諾圖,如不是最小項(xiàng)表達(dá)式，應(yīng)先將其先化成最小項(xiàng)表達(dá)式，再填入卡諾圖。也可由“與或”表達(dá)式直接填入。,如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。,解： 寫成簡化形式：,解：直接填入：,例 用卡諾圖表示邏輯函數(shù):,然后填入卡諾圖：,例 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：,三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法,1卡諾圖合并最小項(xiàng)的規(guī)律 : 在卡諾圖中處于相鄰位置的最小項(xiàng)均可以合并為一項(xiàng)，而合并后的乘積項(xiàng)由沒有0、1變化的變量組成，消去了有變化的變量。,4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去2個(gè)取值不同的變量。,2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去1個(gè)取值不同的變量。,8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去3個(gè)取值不同的變量。,總之，2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去n個(gè)取值不同的變量。,16個(gè)相鄰的最小項(xiàng)可以合并，消去4個(gè)取值不同的變量。,2卡諾圖化簡邏輯函數(shù)（畫圈合并最小項(xiàng)）,化簡最簡“與-或”式方法：（圈 1） 找出最小項(xiàng)為1的相鄰項(xiàng)進(jìn)行合并； 盡量畫大圈，即乘積項(xiàng)中變量最少。 圈的個(gè)數(shù)盡量少，即乘積項(xiàng)少； 在每一個(gè)新畫的圈組中至少要含有一個(gè)末被圈過的1方格（函數(shù)值為1的最小項(xiàng)），否則該圈組是多余的； 卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過（圈完）。,最簡“與-或”式為,乘積項(xiàng)個(gè)數(shù) = 合并圈的數(shù)目（圈少）,乘積項(xiàng)中含變量因子的多少取決于合并圈大?。ㄈΥ螅?例 化簡邏輯函數(shù)： F（A,B,C,D）=m（0,1, 7,8,9,10,11,12,13,14,15）,解：a. 由表達(dá)式畫出卡諾圖。,b. 畫圈， 合并最小項(xiàng)， 得簡化的 與或表達(dá)式:,解：由表達(dá)式畫出卡諾圖。,注意：圖中的綠色圈是多余的，應(yīng)去掉 。,例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：,合并最小項(xiàng)，得簡化的“與或”表達(dá)式:,例 已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。,解：由真值表畫出卡諾圖; 畫合并最小項(xiàng)。有兩種畫圈的方法,由此可見，一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時(shí)不是唯一的。,（a）：寫出表達(dá)式：,（b）：寫出表達(dá)式：,動(dòng)畫1,動(dòng)畫2,4卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法圈0法,例 已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與或式。,b. 用圈0法，得：,解：a. 用圈1 法，得：,對F取非得：,四、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡,1無關(guān)項(xiàng): 在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會(huì)出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無關(guān)項(xiàng)、任意項(xiàng)或約束項(xiàng)。,解：設(shè)控制旋轉(zhuǎn)方向開關(guān)分別用A、B 表示，右 左旋轉(zhuǎn)用 L 、R 表示 列出該函數(shù)的真值表。,帶有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為： F=m（ ）+d（ ） 如本例函數(shù)可寫成 L=m（1）+d（3）； R=m（2）+d（3）,顯而易見，在這個(gè)函數(shù)中，有一個(gè)最小項(xiàng)為無關(guān)項(xiàng)。,例：設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)的控制電路。,2具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡,化簡具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)時(shí)