一種快捷的分部積分方法和其若干推廣張質(zhì)彬2011030030018【摘要】：分部積分是微積分中十分重要的一種積分方法。上個(gè)學(xué)期，在學(xué)習(xí)一元函數(shù)積分學(xué)時(shí)，從一本國(guó)外教材托馬斯微積分（ThomasCALCULUS）了解到一種分部積分的快捷方法，這個(gè)學(xué)期，借數(shù)分論文這一契機(jī)，重新反思，證明了這一積分方法，并將以加以一定的推廣。【關(guān)鍵詞】：分部積分，快捷方法書中例子是這樣敘述的：“求積分3sinxxdx解：令3()fxx和()singxx，我們列表（注意()fx要求可以重復(fù)求導(dǎo)直至出現(xiàn)0）323660xxxsincossincossinxxxxx用箭頭上面的運(yùn)算符號(hào)組合箭頭連接兩個(gè)函數(shù)的乘積便得到：332sincos3sin6cos6sinxxdxxxxxxxxC”從此例中可以看出此種分部積分方法的具體形式，下我給出嘗試性證明：分部積分公式為：uvdxudvuvuvdx如果定義這樣一種運(yùn)算符號(hào)：uuvv箭頭的兩端表示乘積，箭頭上的符號(hào)表示正負(fù)，斜向下的箭頭表示項(xiàng)uv，橫箭頭表示項(xiàng)uvdx。根據(jù)分部積分公式，則此圖既可以表示uvdxudvuvuvdx這一等式，既給分部積分的求法。進(jìn)一步，若進(jìn)行多次分部積分，即計(jì)算uvdx的值，則刪去水平線，重復(fù)前過(guò)程。uuuvvvdx由于計(jì)算的是uvdx的值，所以此處的正負(fù)號(hào)需取反。按照此方式推廣下去，可得()nuuuuvvdvdv綜上所述，按此種方法定義的積分方法，可以推廣到不僅限于重復(fù)求導(dǎo)直至出現(xiàn)0的()fx，下面，將舉例說(shuō)明此種方法的各種應(yīng)用和推廣：1最簡(jiǎn)單的情況：()fx可以重復(fù)求導(dǎo)直至出現(xiàn)0例：求積分2xxedx2220xxxxxxeeee2222xxxxxedxxexeeC2.()fx經(jīng)n次求導(dǎo)，()gx經(jīng)n次積分，乘積恰好能構(gòu)成原來(lái)被積函數(shù)的形式，此時(shí)，通過(guò)解方程的形式，既能求出原被積函數(shù)的不定積分。例：求積分cosaxebxdx2axaxaxeaeae2cossin1cosbxbxbxb由此可得等式2221cossincoscosaxaxaxaaebxdxebxxebxdxbbb移項(xiàng)解方程得：22cos(sincos)axaxbaebxdxebxbxCabb(1)(1)n(1)n例：求積分sinxxexdxsincossinxxx(1)(2)xxxxexexesin(1)sin(2)cos(1)sinxxxxxexdxxexxexxexdx(1)sin(2)cossin2sinxxxxxexxexxexdxexdxsin(sincos)2xxeexdxxxCsin(1)sin(2)cossincos2xxxxexexdxxexxexxxCsinsincoscos2xxexexdxxxxxxC3.()fx和()gx通過(guò)若干次求導(dǎo)和積分，產(chǎn)生了可以相消或者可以結(jié)合的因子，此時(shí)需要重新整理識(shí)字并重新設(shè)()fx和()gx，再一次使用該種方法進(jìn)行分部積分。例：求積分32lnxxdx2ln12lnxxx3414xx重新另()lnfxx，3()gxxln1xx3414xx4322321lnlnln42xxxdxxxxdx442311ln(ln)4244xxxxxdx4211(lnln)428xxxC此種雖然是應(yīng)用方式中的很重要一種，但較為簡(jiǎn)單且變化較少，此處僅舉一例。4.被積函數(shù)需要先做變換，才能使用此種方法，相比前面的三種情況，這種應(yīng)用范圍更廣，靈活性也更高。例：求積分2sinxexdx由公式21cos2sin2xx原式21cos22xxedx=2cos2xexdx22224xxxeeecos21sin221cos24xxx有2222cos2sin2cos2cos2xxxxeeexdxxxexdx22cos2(sin2cos2)4xxeexdxxxC22sin(2sin2cos2)8xxeexdxxxC例：求積分38xxedx湊微分，可得3338626313xxxxedxxexdxxedx原式36313xxedx另3tx原式213ttedt2220tttttteeee原式2(22)3tettC63(22)3tex