高中數(shù)學解題 思想 大全 目 錄 前言 2 第一章 高中數(shù)學解題基本方法 3 一、 配方法 3 二、 換元法 7 三、 待定系數(shù)法 14 四、 定義法 19 五、 數(shù)學歸納法 23 六、 參數(shù)法 28 七、 反證法 32 八、 消去法 九、 分析與綜合法 十、 特殊與一般法 十一、 類比與歸納法 十二、 觀察與實驗法 第二章 高中數(shù)學常用的數(shù)學思想 35 一、 數(shù)形結(jié)合思想 35 二、 分類討論思想 41 三、 函數(shù)與方程思想 47 四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 54 第三章 高考熱點問題和解題策略 59 一、 應(yīng)用問題 59 二、 探索性問題 65 三、 選擇題解答策略 71 四、 填空題解答策略 77 33 附錄 一、 高考數(shù)學試卷分析 二、 兩套高考模擬試卷 三、 參考答案 前 言 美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。而當我們解時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧 解法。高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。 高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查： 常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等； 數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等； 數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù) 形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。 數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學思想方法也還是對你起作用。 數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手 段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得。 可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。 為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化 （化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。 在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學知識。 44 第一章 高中數(shù)學解題基本方法 一、 配方法 配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形（配成“完全平方 ”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預(yù)測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。 最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺 xy項的二次曲線的平移變換等問題。 配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式 (a b)2 a2 2ab b2 ，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如： a2 b2 (a b)2 2ab (a b)2 2ab； a2 ab b2 (a b)2 ab (a b)2 3ab (a b2)2 （ 32b） 2 ； a2 b2 c2 ab bc ca 12(a b)2 (b c)2 (c a)2 a2 b2 c2 (a b c)2 2(ab bc ca) (a b c)2 2(ab bc ca) 結(jié)合其它數(shù)學知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另 外的一些配方形式，如： 1 sin2 1 2sin cos（ sin cos） 2 ； x2 12x (x 1x)2 2 (x 1x)2 2 ； 等等。 、再現(xiàn)性題組： 1. 在正項等比數(shù)列 an 中， a1 a5 +2a3 a5 +a3 a7 =25，則 a3 a5 _。 2. 方程 x2 y2 4kx 2y 5k 0 表示圓的充要條件是 _。 A. 14 k1 B. k1 C. k R D. k 14 或 k 1 3. 已知 sin4 cos4 1，則 sin cos的值為 _。 A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 0 4. 函數(shù) y log12 ( 2x2 5x 3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 _。 A. （ , 54 B. 54 ,+ ) C. ( 12 ,54 D. 54 ,3) 5. 已知方程 x2 +(a-2)x+a-1=0 的兩根 x1 、 x2 ，則點 P(x1 ,x2 )在圓 x2 +y2 =4 上，則實數(shù) a _。 55 【簡解】 1 小題：利用等比數(shù)列性質(zhì) ampamp am 2 ，將已知等式左邊后配方（ a3 a5 ） 2 易求。答案是： 5。 2小題：配方成圓的標準方程形式 (x a)2 (y b)2 r2 ，解 r2 0即可，選 B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成 (sin2 cos2 )2 2sin2 cos2 1，求出 sin cos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選 C。 4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選 D。 5小題：答案 3 11 。 、 示范性題組 ： 例 1. 已知長方體的全面積為 11，其 12條棱的長度之和為 24，則這個長方體的一條對角線長為 _。 A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學表達式：設(shè)長方體長寬高分別為 x,y,z ，則2 114 24( )( )xy yz xzx y z ,而欲求對角線長 x y z2 2 2 ，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。 【解】設(shè)長方體長寬高分別為 x,y,z，由已知“長方體的全面積為 11，其 12條棱的長度之和為 24”而得： 2 114 24( )( )xy yz xzx y z 。 長 方 體 所 求 對 角 線 長 為 ： x y z2 2 2 ( ) ( )x y z xy yz xz 2 26 112 5 所以選 B。 【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學表示式，觀察和分析三個數(shù)學式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。 例 2. 設(shè)方程 x2 kx 2=0的兩實根為 p、 q，若 (pq)2 +(qp)2 7成立，求實數(shù) k的取值范圍。 【解】方程 x2 kx 2=0的兩實根為 p、 q，由韋達定理得： p q k， pq 2 , ( pq) 2 +( qp) 2 p qpq4 42( ) ( )( )p q p qpq2 2 2 2 222 ( ) ( )p q pq p qpq 2 2 2 222 2( )k 2 24 84 7， 解得 k 10 或 k 10 。 又 p、 q為方程 x2 kx 2=0 的兩實根， k2 8 0即 k 2 2 或 k 2 2 綜合起來， k 的取值范圍是： 10 k 22 或者 22 k 10 。 【注】 關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到 p q、 pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成 p q與 pq的組合式。假如本題不對“”討論，結(jié)果將 66 出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對“”的討論，但解答是不嚴密、不 完整的，這一點我們要尤為注意和重視。 例 3. 設(shè)非零復(fù)數(shù) a、 b滿足 a2 ab b2 =0，求 ( aa b)1998 ( ba b)1998 。 【分析】 對已知式可以聯(lián)想：變形為 (ab)2 (ab) 1 0，則 ab （為 1 的立方虛根）；或配方為 (a b)2 ab 。則代入所求式即得。 【解】由 a2 ab b2 =0變形得： (ab)2 (ab) 1 0 ， 設(shè) ab，則 2 1 0，可知為 1的立方虛根，所以： 1 ba， 3 3 1。 又由 a2 ab b2 =0變形得 ： (a b)2 ab ， 所以 ( aa b)1998 ( ba b)1998 (aab2 )999 (bab2 )999 (ab)999 (ba)999 999 999 2 。 【注】 本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用 1的立方虛根，活用的性質(zhì)，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。 【另解】由 a2 ab b2 0變形得： (ab)2 (ab) 1 0 ，解出 ba 1 32 i后，化成三角形式，代入所求表達式的變形 (ab)999 (ba)999 后，完成后面的運算。此方法用于只是未 1 32 i聯(lián)想到時進行解題。 假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由 a2 ab b2 0解出： a 1 32 ib，直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。 、鞏固性題組： 1. 函數(shù) y (x a)2 (x b)2 （ a、 b為常數(shù)）的最小值為 _。 A. 8 B. ( )a b 22 C. a b2 22 D.最小值不存在 2. 、是方程 x2 2ax a 6 0的兩實根，則 ( -1)2 +( -1)2 的最小 值是 _。 A. 494 B. 8 C. 18 D.不存在 3. 已知 x、 y R ，且滿足 x 3y 1 0，則函數(shù) t 2x 8y 有 _。 A.最大值 2 2 B.最大值 22 C.最小值 2 2 B.最小值 22 4. 橢圓 x2 2ax 3y2 a2 6 0 的一個焦點在直線 x y 4 0上，則 a _。 A. 2 B. 6 C. 2或 6 D. 2 或 6 5. 化簡： 2 1 8sin 2 2 8 cos 的 結(jié)果是 _。 A. 2sin4 B. 2sin4 4cos4 C. 2sin4 D. 4cos4 2sin4 77 6. 設(shè) F1 和 F2 為雙曲線 x24 y2 1 的兩個焦點，點 P在雙曲線上且滿足 F1 PF2 90，則 F1 PF2 的面積是 _。 7. 若 x 1，則 f(x) x2 2x 11x的最小值為 _。 8. 已知 2 34， cos( - ) 1213， sin( + ) 35，求 sin2的值。 (92年高考題 ) 9. 設(shè)二次函數(shù) f(x) Ax2 Bx C，給定 m、 n（ m0； 是否存在一個實數(shù) t，使當 t (m+t,n-t)時， f(x)1， t1， m R， x logs t logt s， y logs 4 t logt 4 s m(logs 2 t logt 2 s), 將 y表示為 x的函數(shù) y f(x)，并求出 f(x)的定義域； 若關(guān)于 x 的方程 f(x) 0 有且僅有一個實根，求 m的取值范圍。 88 二、換元法 解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化這叫換 元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。 換元的方法有：局部換元、三角換元、 均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式： 4x 2x 2 0，先變形為設(shè) 2x t（ t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。 三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù) y x 1x 的值域時，易發(fā)現(xiàn) x 0,1，設(shè) x sin2 ， 0,2，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量 x、 y 適合條件 x2 y2 r2 （ r0）時，則可作三角代換 x rcos、 y rsin化為三角問題。 均值換元，如遇到 x y S形式時，設(shè) x S2 t， y S2 t等等。 我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的 t0和 0,2。 、再現(xiàn)性題組： 1.y sinx cosx sinx+cosx的最大值是 _。 2.設(shè) f(x2 1) loga (4 x4 ) （ a1），則 f(x)的值域是 _。 3.已知數(shù)列 an 中， a1 1， an1 an an1 an ，則數(shù)列通項 an _。 4.設(shè)實數(shù) x、 y滿足 x2 2xy 1 0，則 x y的取值范圍是 _。 5.方程 1 31 3xx 3的解是 _。 6.不等式 log2 (2x 1) log2 (2x1 2) 2的解集是 _。 99 【簡解】 1小題：設(shè) sinx+cosx t 2 , 2 ，則 y t22 t 12，對稱軸 t 1，當 t 2 ， ymax 12 2 ； 2小題：設(shè) x2 1 t (t 1)，則 f(t)