d 扣j ；【f n 型路代數(shù)上的傾斜模 摘要 代數(shù)表示理論是臥世紀(jì)七十年代初興起的代數(shù)學(xué)的個(gè)新的分支，而傾斜 理論是研究代致表示理論的重要工具之一傾斜理論起源于b o r n s t e i n ，g e l f a n d 和 p o n o m a r e v 為了證明著名的g a b r i e l 定理所引進(jìn)的反射函子與c o x e t e r 函子現(xiàn)在， 由于慨斜理論與量子群，李代數(shù)等其它代數(shù)學(xué)科的本質(zhì)聯(lián)系，傾斜理論成為國(guó)際 研究熱點(diǎn)之一1 9 9 8 年，1 r e i t e n 在柏林國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)匕作4 5 分鐘的報(bào)告傾 斜理論與擬傾斜代數(shù)本文主要對(duì)d y n k i n 型路代數(shù)慨撇其對(duì)應(yīng)的a r - 箭 圖上的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行研究通過(guò)對(duì)d y d k i n 型路代數(shù)的a r - 箭圖分析及利用a p r - 傾斜變換，證明了厶型路代數(shù)綬斜模及鞏，磊，研，玩型路代數(shù)本性傾斜模n 的 個(gè)必要條件是，在a 的a r - 箭圖r a 的邊緣的r 一軌道都有t a 的不可分解直 和項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 關(guān)鍵詞t 路代數(shù)；傾斜模；底點(diǎn)；頂點(diǎn) d y n k i n 型路代數(shù)上的傾斜模 a b s t r a c t r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa l g e b r a si sa n e wb r a n c ho fa l g e b r aw h i c hb e g a n a tt h es e v e n t i e so ft h el a s tc e n t u r y t i l t i n gt h e o r yi sa l li m p o r t a n tt o o lt o s t u d yr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa l g e b r a s t i l t i n gt h e o r yo r i g = i n a t e df r o mt h e w o r ko fb o r n s t e i n ，g e l f a n da n dp o n o m a r e v f o rt h es a k eo fp r o v i n gf a m o u s g a b r i e lt h e o r e m ，t h e yi n t r o d u c e dr e f l e c t i o nf u n c t o ra n dc o x t e rf u n c t o r i nt h e r e c e n ty e a r s ，d u et ot h e r eb e i n gi n t r i n s i cr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt i l t i n gt h e o r y a n dq u a n t u mg r o u p ，l i ea l g e b r aa n do t h e ra l g e b r a i cb r a n c h ，t i l t i n gt h e o r yh a s b e e no n eo ft h ei n t e r n a t i o n a lh o tt o p i c s 。i n1 9 9 8 ，i r e i t e nw a sa ni n v i t e d s p e a k e rw h o s et o p i c si s ”t i l t i n gt h e o r ya n dq u a s i t i l t e da l g e b r a s ”a tt h ei n t e r - n a t i o n a lc o n g r e s so fm a t h e m a t i c i a n si nb e r l i n t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e r i 8t os t u d ys t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h et i l t i n gm o d u l eo v e rp a t ha l g e b r ao f t y p ed y n k i ni ni t sa r - q u i v e r i tt a k e sa d v a n t a g e so fa r - q u i v e ra n a l y s i sa n d a p r - t i l t i n gt r a n s l a t i o n w ep r o v e d ：i ft ai sat i l t i n ga - m o d u l eo v e rap a t h a l g e b r ao ft y p ea no rac h a r a c t e r i s t i ct i l t i n ga - m o d u l eo v e rap a t ha l g e b r ao f t y p ed n ，e 6 ，e 7 ，e 8 ，t h e nt h e r ea r ep o i n t sc o r r e s p o n d i n gi n d e c o m p o s a b l ed i r e c t s u m m a n d so f 死i nt h e 卜o r b i to fe a c he d g e k e yw o r d ：p a t ha l g e b r a ；t i l t i n gm o d u l e ；b a s ep o i n t ；t o pp o i n t 廈門大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 茲呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的 研究成果本人在論文寫作中參考的其它個(gè)人或集體的研 究成果，均在文中以明確方式標(biāo)明本人依法享有和承擔(dān) 由此論文而產(chǎn)生的權(quán)利和責(zé)任 責(zé)任人( 簽名) ：過(guò)孰殼 習(xí)年歹月r o e l 第一章引言1 第一章引言 1 1 代數(shù)表示論是= 十世紀(jì)七十年代初興起的代數(shù)學(xué)的個(gè)新的分 支它的基本內(nèi)容是研究個(gè)a r t i n 代數(shù)匕的模范疇經(jīng)典的結(jié)構(gòu)理論 是直接刻劃代數(shù)的構(gòu)造，現(xiàn)代的代數(shù)表示論則是用模論的方法研究個(gè) 代數(shù)的結(jié)構(gòu)以及研究整個(gè)模范疇的結(jié)構(gòu)代數(shù)表示論在近四十年中，發(fā) 展迅速，并逐步趨于完善其中，傾斜理論是代數(shù)表示論普遍應(yīng)用的最 重要的技巧之一，也是最主要研究對(duì)象之一 當(dāng)直接研究個(gè)代數(shù)的模范疇的性質(zhì)a 比較困難時(shí)，就考慮用個(gè) 代數(shù)b 代替代數(shù)a ，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到研究的目的傾斜理論的 思想是對(duì)給定的個(gè)代數(shù)a ，選擇個(gè)模乃，叫傾斜模令b = e n d t a ， 使代數(shù)a 上模范疇與代數(shù)b 上模范疇在一j 豎性質(zhì)上相當(dāng)?shù)念愃?，但?般情況下不等價(jià)這種方法為考慮許多問(wèn)題提供了廣闊的前景，因此 傾斜理論成了a r t i n 代數(shù)的表示理論中的中心課題之一它與表示論的 其它一些課題，代數(shù)的其它一些分支都有廣泛的聯(lián)系 如無(wú)特別說(shuō)明，本文總假設(shè)k 是代數(shù)閉域，a 指基的、連通的、有 限維、帶單位元的結(jié)合代數(shù)記a 的右模范疇為m o d a ， 為右 a 一模m a 的不可分解直和項(xiàng)構(gòu)成的集合r a 是d y e n 型路代數(shù)a 的 a u s l a n d e r - r e i t e n 箭圖( a r - 箭圖) ，7 - 是a u s l a n d e r r e i t e n 變換( a r - 變換) 本文不區(qū)分個(gè)模和它的同構(gòu)類，不區(qū)分個(gè)不可分解a 一模 與代數(shù)a 的a r - 箭圖的點(diǎn)( r ( i ) 警， ， 則y ( t a ) 和丁( 死) 是m o d a 的滿子范疇，x ( t a ) 和y ( 霸) 是m o d b 的滿 子范疇由b r e n n e r b u t l e r o h a p p e l - r i n g e l 定理【b g p 知函子f = h o m a ( t , 一) 與g = 一?？趖 是t ( t a ) 與x ( t a ) 的互逆等價(jià)函子，函子e x - - e x t a ( t ，一) 與g 。= t o r f ( 一，t ) 是r ( t a ) 與x ( t a ) 的互逆等價(jià)函子 定義j 5 滿足下列關(guān)系的的箭圖稱為對(duì)于頂點(diǎn)b 的完全b r a n c h ， 圖3 其中點(diǎn)為b i p ，i l ，i 竹 + ，一 ，箭為屈。h 一：b i 。t 。一- - - - - - 4 玩。i 。和 屈1 k + ：b i l 。- 良1 t 。+ ，關(guān)系為屈1 t 。一屈1 i 。+ 定義j 6 對(duì)于頂點(diǎn)b 的完全b r a n c h 的一個(gè)有限的連通滿子箭圖，若 其有禮個(gè)點(diǎn)且包含點(diǎn)b ，并滿足所有的導(dǎo)出關(guān)系，則我們稱此子箭圖為 長(zhǎng)度是n 的b r a n c h 定義j 7 設(shè)a 是路代數(shù)，x 是不可分解a 模，則稱m o d a 中的滿 第一幸引言 8 范疇 稱 x 上= me m o d a l h o m a ( x ，m ) = 助破，m ) = o ) 為x 的右垂范疇， 上x = me m o d , a h o m a ( m ，x ) = e x 廬a ( m ，x ) = o ) 為x 的左垂范疇 第二章厶型路代數(shù)上的傾斜模 9 第二章a n 型路代數(shù)上的傾斜模 當(dāng)五為厶型有向箭圖時(shí)，z 五中位于匕邊緣r 一軌道匕的點(diǎn)稱為 頂點(diǎn)( 如圖4 中( n ，n ) ) ，z 云中位于下邊緣r 一軌道七的點(diǎn)稱為基點(diǎn)( 如 圖4 中( b ，1 ) ) 若r 為z 五的子圖，則在r 中有相應(yīng)的頂點(diǎn)與基點(diǎn) z 五的頂點(diǎn)集與基點(diǎn)集分別記為( z 五) ：與( z 五) 2 ，r 的頂點(diǎn)集與基點(diǎn) 集分別記為q 與r 2 ，顯然，( r a ) ：( z 五) ；，( r a y ( z 五) 設(shè)尬，必 為z 五中的點(diǎn)，記w m i 為z 五中與含有唯一自入射基點(diǎn)的線性a 型 路代數(shù)a 的a r - 箭圖n 同構(gòu)的滿子圖，且尬對(duì)應(yīng)f 中唯一的自入 射基點(diǎn)( 如圖4 中由幸標(biāo)注的滿子圖) 記為z 五中與含有唯一自 入射頂點(diǎn)的線隆a n 型路代數(shù)a 的a r - 箭圖n 同構(gòu)的滿子圖，且m 2 對(duì)應(yīng)n 中唯一 我們知道線性厶型路代數(shù)的傾斜模與長(zhǎng)度為億的b r a n c h 是一對(duì) 應(yīng)的【r i 】，由這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以得到以下引理： 引理2 j 設(shè)a 是線性a n 型路代數(shù)，死是傾斜a 一模，則 中至少有一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)基點(diǎn) 設(shè)左為圖5 所示的a n 型有向箭圖，a = k 左 a _ ：時(shí)f 佃墨：吁f 弋z 圖5 第二章a n 型路代數(shù)上的傾斜模 l o 其中- 為a t 型有向箭圖，2 為a 一型有向箭圖若i = l ( i = 館) 時(shí)：，( 2 ) 為空令墨是改變左中與點(diǎn)i 連接的箭頭方向得到的箭 圖則b = 七a 1 是a = k 五的a p r - 傾斜代數(shù)，即b = e n d ( t a ) ，其中 t a = 百1 r ( i ) o ( or u ) ) ，且，( t a ) = r ( 1 ) ) ；7 - ( t a ) = m o d a p a ( i ) ； j 判 x ( t a ) = b ( 1 ) ) ；y ( 死) = m o d b l b ( i ) 將a 的a r - 箭圖f a 嵌入z - - p ， 則5 ( 斗r u ) ) f a 5 ( 厶( i 蛾姻，歹= i 一1 ，i + 1 躺圖6 ) 圖6 顯然( r ( i ) ) 上= 上限( i ) ) 為與m o d k 墨om 。d k 芨同構(gòu)的滿子范 疇，且r 七墨為w 丁4 翰神，s o ，一1 ) 與既( m ) 合成的箭圖的子箭圖 ( 如圖7 ) 圖7 這樣在嵌入的意義下， ( r 七墨) 2 ( z 蓉) 六同理( 0 墨) ；g ( z 蓉) 品 定理2 2 。設(shè)a 是a n 型路代數(shù)，死是傾斜a 一模，則 中 至少有一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)基點(diǎn) 證明：定理在禮= 2 時(shí)顯然成立 假設(shè)定理在路代數(shù)底圖的頂點(diǎn)數(shù)小于禮時(shí)成立，下證定理在路代數(shù) 底圖的頂點(diǎn)數(shù)為n 時(shí)也成立 設(shè)厶型路代數(shù)a = k 左的任一傾斜模的不可分解直和項(xiàng)中至少有 第二章厶型路代數(shù)上的傾斜模 1 1 個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn)，b ：ka 。1 為a 的a p r - 傾斜代數(shù)，( 云，a 。i 如圖 f 所示) 碼為傾斜b 一模 若如( i ) 簪 ，則 冬y ( t , o 由f g 是等價(jià)范疇歹( 死) 與 y ( t a ) 的互逆等價(jià)函子，知 ：r ( t a ) ，且g ( 碼) 為傾斜a 一 模這樣 中至少有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn)，因而 至少 有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn) 若b ( i ) ，令t s ：如( i ) o ( n o - 1t j ) ，則n o - - 1 乃上( 功1 8 ( 0 ) ， 而g ( ( 佃b ( i ) ) ) 一i a ( i ) ，上( 厶( 1 ) ) gt 上( r z i b ( i ) ) sy 由垂范疇的基本 性質(zhì) 5 1 知，上( 厶( i ) ) 與m o d ka lom o d ka 2 同構(gòu) s 上 j = 1 -t1嶂 ( 厶( t ) ) 箋m o d ka 1o m o d ka 2 ，不妨設(shè)g ( o 乃) 為m o d ka 1 中的 1 = 1 傾斜模，g ( o 乃) 為m o d ka 2 中的傾斜模，由歸納假設(shè)，存在j 。 j = i 1 ，i l ，j 2 t ，n 1 ) ，使g ( t j 。) ( r 七墨) ：( z 五) ：，g ( ) ( r 七- - , ，0 。g ( z ) 2 所以，當(dāng)i 1 且i 禮時(shí)， 中至少有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基 i = i 點(diǎn) 住一1 當(dāng)i = 1 時(shí)， 中至少有個(gè)基點(diǎn)，此時(shí)i b ( i ) 為個(gè)頂點(diǎn) j = i 憶一1 當(dāng)i = , 時(shí)， 中至少有個(gè)頂點(diǎn)，此時(shí)b ( i ) 為個(gè)基點(diǎn) 綜上所述 中至少有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn) 這樣，我們證明了若個(gè)屯型路代數(shù)a 的任一傾斜模的不可分解 直和項(xiàng)中至少有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn)，則其a p r - 傾斜代數(shù)的任傾斜 模的不可分解直和項(xiàng)中也至少有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn) 由于任意的如型路代數(shù)是線隆a n 型路代數(shù)做有限次a p r - 傾斜過(guò) 程得到，再由引理1 ，可得任意的厶型路代數(shù)的傾斜模的不可分解直 第二章厶型路代數(shù)上的傾斜模 1 2 和項(xiàng)中至少有個(gè)頂點(diǎn)和個(gè)基點(diǎn) 第三幸d 。( 竹4 ) ，晶( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代數(shù)上的傾斜模 第三章d n ( n 4 ) ，既( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代數(shù)上的傾斜模 定義，j 設(shè)死為風(fēng)型路代數(shù)a = ka 。的傾斜模，若有一個(gè) 不可分解直和項(xiàng)在太齡s - - y , 點(diǎn)u 對(duì)應(yīng)的投射模p ( w ) 的丁一軌道上， 則稱死為本性傾斜模 u 如下圖所示： n - 2 。 l n ? f 一品l 一不了1 ：3 圖8 記a ：14 - - - - - - 24 - - - 3 一一，；一1 一n 型路代數(shù)的a r - 箭圖為 1 1 a 。，p a 。( i ) ，i a 。( i ) 分別為點(diǎn)i 對(duì)應(yīng)的投射模與入射模r l 為r a 。的一 個(gè)包含r 。( 1 ) ，p a 。( 2 ) ，p a 。( m + 1 ) ，m n 一2 但不含入射點(diǎn)的連通滿 子圖，且滿足條件：若r - i p a 。( 歹) f z ，j 1 ，則t - i p a 。o 一1 ) f z 由r l 與r a 。構(gòu)造如下箭圖： 設(shè)f ：= r l r 。( 1 ) ，r 。( 2 ) ，r 。( m + 1 ) ) ，r a 。= r a 。f l ，m o 1 ，2 ，r e + l ，滿足t - 1 p a 。( m o ) f ：，t - 1 p a 。( 咖+ 1 ) 隹r 1 將r 幺中的 點(diǎn)i a 。( 2 托) 與r ，中的點(diǎn)7 - - - 1 p a 。( i ) 用箭i a 。( 2 + i ) 一t - 1 p a 。( i ) ，1 i m o 連接所得箭圖記為r 麓( 如下圖) ：r l 圖9 r 2 對(duì)應(yīng)的箭圖范疇記為后r 幺，對(duì)應(yīng)的m e s h 范疇記為后( r 麓) 同理，設(shè)r r 為r a 。的個(gè)包含厶。( 禮) ，“。( n 一1 ) ，i a 。( m ) ，m 3 箜三主叢壘至塵：墾壘三壘! ! ! 墅型墮垡塾圭箜堡壁壟 1 4 但不含投射點(diǎn)的連通滿子圖，且滿足條件：若r 厶。o ) f r ，j n ，則 ，r 。o + 1 ) f r 由r r 與i 、構(gòu)造如下箭圖； 設(shè)r ：= f ， l k ( n ) ，i a ( n 1 ) ，i a 。( 仇) ，敗= r a 。r ，m o n ，n 一 1 ，仇 ，滿足下厶。( m ) f ：，r 厶。( m 一1 ) 萑e 將r ：- 中的點(diǎn)丁厶。( i ) 與r 么。中的點(diǎn)p a 。( i 一2 ) 用箭r 厶。( i ) 一p a 。( i 一2 ) ，m o i n 連接所 得箭圖記為r r r a 。( 如下圖) 圖1 0 r r r a 。對(duì)應(yīng)的箭圖范疇記為七r r r 對(duì)應(yīng)的m e s h 范疇記為七( r r r a 。) 引理3 2 ：在范疇c = 七( r 麓) 中，若e x t 5 ( t ，t ) = 0 ，且t = p a 。( 億) o 噩，則 j 歸的不可分解直和項(xiàng)最多只有他個(gè)； 別若t 中含有7 t 個(gè)不可分解直和項(xiàng)，則 中含有下邊緣點(diǎn) 證明：對(duì)佗用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)n = m + 2 時(shí)，r 幺r 。( n ) 同構(gòu)于a n 一1 型路代數(shù)的a r 箭圖， 故丑至多含有n 一1 個(gè)不可分解直和項(xiàng)且由定理￥知，若噩中含有 n 一1 個(gè)不可分解直和項(xiàng)，則 中含有下邊緣點(diǎn) 設(shè)在范疇c = k ( c = ( r 必) ) ，m + 2 k n l 中，引理成立 下面考慮范疇七( r 2 ) 的情況： 若r 。( 1 ) ，m + 2 i n 一1 不是乃的直和項(xiàng)，則冗在個(gè)與如一1 型路代數(shù)的a r 箭圖同構(gòu)的子圖中，因而丑的不可分解直和項(xiàng)最多只 蔓三主里堡f 堡至塵! 墾也三壘：! ! 墅型整叢塾圭塑堡燮 1 5 有竹一1 個(gè)，且若噩中含有n 一1 個(gè)不可分解直和項(xiàng)，則 中含 有下邊緣點(diǎn) 若存在i 0 ，m + 2 o n 一1 ，使p a 。) 為噩的直和項(xiàng)，且p a 。( 1 ) ，i o + 1 isn - i 不是噩的直和項(xiàng)，則五在個(gè)與r u f a 一o 一。同構(gòu)的非 連通子箭圖中顯然丑在r 厶一0 一。中最多只有7 l i o 一1 個(gè)不可分解直 和項(xiàng)，而由歸納假設(shè)正在r ( i o ，m ) 中最多只有南個(gè)不可分解直和項(xiàng) 這樣7 i 在與r u f a 。一o 一。同構(gòu)的非連通子箭圖中，最多只有n 一1 個(gè) 不可分解直和項(xiàng)，且 中含有下邊緣點(diǎn)證畢 引理3 3t 在范疇c = k ( r - r a 。) 中，若e x 疊c ( t ，妁= 0 ，且t = p a 。 ) o 死，則 i ) t 的不可分解直和項(xiàng)最多只有n 個(gè)； 剴若t 中含有n 個(gè)不可分解直和項(xiàng)，則 中含有下邊緣點(diǎn) 定理了彳：設(shè)a 是風(fēng)型路代數(shù)，死是本性傾斜模，則 中 含有三個(gè)不同7 - 軌道的邊緣點(diǎn) 證明：設(shè)t a = 死o7 i ，兄為) 的丁軌道e 的點(diǎn)，由h a m m o c k 的性質(zhì)可知，死包含在如下的子圖中，且它們的下邊緣點(diǎn)均為隊(duì)的 a r 箭圖的下邊緣點(diǎn) 或 圖1 1 圖1 2 不妨設(shè)死包含于圖1 1 ，記為r o ，r 口中除去p d 。一1 ) ，p o 。m 一2 ) 的丁軌道上的點(diǎn)的子圖記為聰，則咒與一箭圖r 2 一。同構(gòu)，由引理知 e 中至多含有乃的n 一2 個(gè)不可分解直和項(xiàng)又由傾斜模的性質(zhì)知， f h ( r t 1 ) ，t o 。一2 ) 的r 軌道上各含有個(gè)死的不可分解直和項(xiàng)， 咒中恰好含有甄的n 一2 個(gè)的不, - i s - r 解直和項(xiàng)，且有下邊緣點(diǎn) 綜上， 中含有三個(gè)不同丁軌道的邊緣點(diǎn) 定義了5 設(shè)死為玩( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代數(shù)a = ka 。的傾斜模，若 死有一個(gè)不可分解直和項(xiàng)在五的三又點(diǎn)u 對(duì)應(yīng)的投射模p ( w ) 的7 一 軌道上，則稱死為本性傾斜模 定理s g ：設(shè)a 是風(fēng)( n = 6 ，7 ，8 ) 型路代數(shù)，乃是本性傾斜模，則 中含有三個(gè)不同7 - 軌道的邊緣點(diǎn) 證明：類似于d 。型的證明 參考文獻(xiàn) 參考文獻(xiàn) 1 7 【a p r 】a u s l a n d e rm ，p l a t z e c kmi a n dr e i t e ni c o x e t e rf u n t o r sw i t h o u t d i a g r a m s t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 7 9 ，2 5 0 ：1 4 6 【a r ia u s l a n d e rm a n dr e i t e ni a p p l i c a t i o n so fc o n t r a v a r i a n t l yf i n i t es u b - c a t e g o r i e s ，a d v i n m a t h ，1 9 9 18 6 ：1 1 1 - 1 5 2 a r s a u s l a n d e rm ，r e i t e ni a n ds m a l 0so r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i n a l g e b r a s c a m b r i d 夕eu n i v p r e s s ，c a m b r i d g e1 9 9 5 a s l a s s e mi t i l t i n gt h e o r y - a ni n t r o d u c t i o n ，t o p i c s i n a l g e b r a ，p a r ti , b a n a c h c e n t e rp u b l ，2 6 ( w a r s a w ，1 9 8 8 ) ，1 2 7 - 1 8 0 【b o l 】b o n g a r t zk t i l t e da l g e b r a s l n m ，1 9 8 1 ，9 0 3 ：2 6 - 3 8 【b b l b r e n n e rs a n db u t l e rm cr t h ee q u i v a l e n c eo fc e r t a i nf u n c t o r so c c u r - i n go nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa r t i na l g e b r a sa n ds p a c i e s ，& l o n d o n m a t h s o c ，1 9 7 6 ，1 4 ：1 8 3 - 1 8 7 b b 2 】b r e n n e rs a n db u t l e rmc r g e n e r a l i z a t i o n so ft h eb e r n s t e i n g e f f a n d p o n o m a r e vr e f l e c t i o nf u n c t o r s ，l n m ，1 9 8 0 ，8 3 2 ：1 0 3 - 1 6 9 【b g p 】b e r n s t e i ni ，g e l f a n dim a n dp o n o m a r e vv a c o x e t e rf u n t o r sa n d g a b r i e l st h e o r m r u s s i a nm a t h s u r v e y s1 9 7 32 8 ：1 7 - 3 2 d r 】d l a bv a n dr i n g e lcm i n d e c o m p o s a b l er e p r e s e n t a t i o n so fg r a p h sa n d a l g e b r a s m e m o i r s a m e r m a t h s o c ，1 9 7 6 1 7 3 【g 】g a b r i e lp u n z e r l e g b a r ed a r s t e l l u n g e ni ，m a n u s c r i p e m a t h ，( 6 ) 1 9 7 2 ，7 1 1 n 3 參考文獻(xiàn) 1 8 【h a h a p p e ld t r i a n g u l a t e dc a t e g o r i e si nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e d i m e n s i o n a la l g e b r a s ，l m sl e c t u r e n o t e s e r i e s ，1 9 8 81 1 9c a m b r i d g e 【h r i l 】h a p p dd a n dr i n g e lc m t i l t e da l g e b r a s ，t r a n s a m e r m a t h s a c ， 1 9 8 22 7 4 ：3 9 9 - 4 4 3 【h r i 2 】h a p p e ld a n dr i n g e lcm c o n s t r a c t i o no ft i l t e da l g e b r a s ，l n m ， 1 9 8 1 ，9 0 3 ：1 2 5 - 1 4 4 【h r s 】h a p p e ld r e i t e ni a n ds