第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系 第七章 例1 已知兩條直線l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求滿足下列條件的a b的值 1 l1 l2 且l1過點 3 1 2 l1 l2 且坐標原點到這兩條直線的距離相等 判定兩直線的位置關(guān)系 解析 1 由已知可得l2的斜率必存在 所以k2 1 a 若k2 0 則1 a 0 a 1 因為l1 l2 所以直線l1的斜率k1必不存在 即b 0 又因為l1過 3 1 所以 3a b 4 0 即b 3a 4 不合題意 所以k2 0 即k1 k2都存在 又因為l1過點 3 1 所以 3a b 4 0 由 聯(lián)立 解得a 2 b 2 2 因為l2的斜率存在 l1 l2 所以k1 k2 即 1 a 又坐標原點到這兩條直線的距離相等 點評 1 若直線l1和l2有斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 則直線l1 l2的充要條件是k1 k2 1 直線l1 l2的充要條件是k1 k2 且b1 b2 2 設(shè)l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 則l1 l2 a1a2 b1b2 0 l1 l2 a1b2 a2b1 0 a1c2 a2c1 0 3 對系數(shù)含參這類問題 要從直線有斜率 沒有斜率兩個方面進行分類討論 在確定參數(shù)的值時 應(yīng)注意先討論x y系數(shù)為0的情況 1 1 2012 深圳松崗中學(xué)模擬 已知直線l1 3 m x 4y 5 3m與l2 2x 5 m y 8平行 則實數(shù)m的值為 a 7b 1c 1或 7d 變式探究 2 abc的三邊a b c分別對應(yīng)角a b c 若lgsina lgsinb lgsinc成等差數(shù)列 則直線l1 xsin2a ysina a與直線l2 xsin2b ysinc c的位置關(guān)系是 a 不垂直的相交b 平行c 垂直相交d 重合 3 2012 杭州第十四中學(xué)月考 若存在直線l平行于直線3x ky 6 0 且與直線kx y 1 0垂直 則實數(shù)k 解得m 7 舍去m 1 故選a 2 提示 結(jié)合正弦定理考慮 3 依題意 直線3x ky 6 0與直線kx y 1 0互相垂直 可得k 0 答案 1 a 2 d 3 0 求與已知直線平行或垂直的直線方程 例2 1 經(jīng)過兩條直線2x 3y 3 0 x y 2 0的交點 且與直線x 3y 1 0平行的直線一般式方程為 2 已知曲線f x xsinx 1在點處的切線與直線l垂直 且直線l與坐標軸圍成的三角形面積為2 則直線l的方程為 解析 1 兩條直線2x 3y 3 0 x y 2 0的交點為 3 1 所以與直線x 3y 1 0平行的直線為y 1 x 3 即x 3y 0 答案 1 x 3y 0 2 y x 2或y x 2 點評 當(dāng)直線的斜率存在且不為零時 若直線l2與直線l1 ax by c1 0平行 則可設(shè)l2的方程為ax by c2 0 若直線l2與直線l1 ax by c1 0垂直 則可設(shè)l2的方程為bx ay c2 0 當(dāng)直線的斜率為零或不存在時 結(jié)合圖形可易得直線方程 變式探究 2 已知 abc三個頂點a 2 0 b 4 8 c 0 6 則ab邊上的高線所在的直線方程是 與邊bc平行的三角形中位線所在的直線方程是 答案 x 4y 24 0 x 2y 5 0 例3 已知不論 取任何實數(shù) 直線 2 3 x 4 y 2 2 0都恒過一定點 求這個定點的坐標 直線恒過定點問題 解析 將方程 2 3 x 4 y 2 2 0 r 整理為 2x y 2 3x 4y 2 0 因為 r 所以必須有 左邊 2 3 x 4 y 2 2 0 右邊 所以直線 2 3 x 4 y 2 2 0 r 過定點 2 2 點評 直線的點斜式方程y y0 k x x0 表明不論k取何值 該方程表示的直線恒過定點 x0 y0 一般情況是形如a1x b1y c1 a2x b2y c2 0的直線 若對任意的 值恒成立 則該直線恒過直線l1 a1x b1y c1 0與l2 a2x b2y c2 0的交點 該直線在方程中 當(dāng) 0時 表示直線l1 但是 不論 取何值 都不能表示直線l2 變式探究 3 1 不論k取何值 直線l k 1 x y 2 k 0恒過定點 這個定點是 a 1 3 b 1 3 c 3 1 d 3 1 2 若k 1 b成等差數(shù)列 則直線y kx b必過定點 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 解析 1 法一 取k 0 得x y 2 0 取k 1 得2x y 1 0 解 構(gòu)成的方程組 得x 1 y 3 將該點坐標代入直線l方程 則方程恒成立 說明不論k取何值 直線l都經(jīng)過點 1 3 故選b 法二 將直線方程化為 x 1 k x y 2 0 因為k取任意實數(shù) 即關(guān)于k的方程有無數(shù)組解 所以x 1 0且x y 2 0 解得x 1 y 3 故選b 2 由已知得k b 2 所以直線方程變?yōu)閥 kx k 2 即y k x 1 2 此為直線的點斜式方程 所以直線過定點 1 2 故選a 答案 1 b 2 a 距離問題 點評 1 求直線方程時一定要注意斜率不存在的情況 2 第 2 問是判斷存在性問題 通常的解決方法是先假設(shè)判斷對象存在 令其滿足應(yīng)符合的條件 若有解 則存在 并求出 若無解 則不存在 判斷無解的過程就是結(jié)論的理由 3 在運用公式d 求平行直線間的距離時 一定要把x y前面的系數(shù)化成相等 變式探究 2 已知直線3x 4y 3 0與直線6x my 14 0平行 則它們之間的距離是 a b c 8d 2 中心對稱問題 例5 1 已知點a 3 4 求點a關(guān)于點p 2 1 對稱的點b 2 求直線l1 2x y 2 0關(guān)于定點m 1 2 對稱的直線m的方程 思路點撥 1 因為關(guān)于中心對稱的兩點連線段被對稱中心平分 因此用中點坐標公式來解決 2 設(shè)直線m上的動點p x y 關(guān)于點m 1 2 的對稱點為q x0 y0 則點q必在直線l1上 結(jié)合中點坐標公式即可求得 2 設(shè)直線m上的動點p x y 關(guān)于點m 1 2 的對稱點為q x0 y0 則點q必在直線l1上 線段pq的中點為m 由中點坐標公式得 于是得x0 2 x y0 4 y 因為點q x0 y0 在直線l1 2x y 2 0上 所以2 2 x 4 y 2 0 即2x y 2 0 所以直線m的方程為2x y 2 0 點評 因為已知直線上的點關(guān)于定點的對稱點均在其對稱直線上 所以關(guān)于定點對稱的兩條直線是互相平行的 變式探究 5 直線x 2y 3 0與直線ax 4y b 0關(guān)于點a 1 0 對稱 則b 解析 由題意知 點a 1 0 不在直線x 2y 3 0上 則 所以a 2 又點a到兩直線的距離相等 所以 b 2 4 所以b 6或b 2 又因為點a不在直線上 兩直線不重合 所以b 2 答案 2 軸對稱問題 例6 1 求直線a 2x y 4 0關(guān)于直線l 3x 4y 1 0對稱的直線b的方程 2 光線沿直線l1 x 2y 5 0射入 遇直線l 3x 2y 7 0后反射 求反射光線所在的直線方程 思路點撥 軸對稱因?qū)ΨQ點連線的中垂線就是對稱軸 根據(jù)中點坐標公式及斜率的關(guān)系即可解決 解析 1 法一 由解得a與l的交點e 3 2 點e也在b上 在直線a 2x y 4 0上找一點a 2 0 設(shè)點a關(guān)于直線l的對稱點b的坐標為 x0 y0 由兩點式得直線b的方程為 即2x 11y 16 0 法二 利用對稱關(guān)系 設(shè)p x y 是所求對稱直線b上一點 關(guān)于直線l的對稱點為q x0 y0 即直線b的方程是2x 11y 16 0 代入方程x 2y 5 0中 化簡得29x 2y 33 0 即為所求反射光線所在的直線方程 點評 由平面幾何知識可知 若直線a b關(guān)于直線l對稱 則應(yīng)有下列幾何性質(zhì) 1 若a與b相交 則l是a b交角的平分線 若a與l平行 則b l 且a b與l距離相等 2 點a在直線a上 則a點關(guān)于l的對稱點b一定在直線b上 并且ab l ab的中點在l上 3 設(shè)p x y 是所求直線b上一點 則p為關(guān)于l的對稱點p 的坐標適合a的方程 變式探究 6 1 2012 大慶市鐵人中學(xué)期末 將一張坐標紙折疊一次 使點p 10 0 與q 6 8 重合 則與點m 4 2 重合的點是 a 4 2 b 4 3 c d 3 1 2 點p 0 1 在直線ax y b 0上的射影是點q 1 0 則直線ax y b 0關(guān)于直線x y 1 0對稱的直線方程為 解析 1 法一 作圖檢驗可知選項a滿足題設(shè)條件 故選a 法二 設(shè)與m重合的點為n x y 則線段pq的中