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第二章補(bǔ)充材料奇異值分解(SVD)矩陣的奇異值分解是計(jì)算矩陣的重要手段，在控制理論、優(yōu)化問(wèn)題、廣義逆矩陣等方面有著重要應(yīng)用。定義1 設(shè)，的特征值為，稱 為矩陣的奇異值。由知，的正奇異值的個(gè)數(shù)恰等于。定理1 設(shè)的奇異值為則存在階正交矩陣和階正交矩陣，使 其中。Matlab: U,S,V = svd(A)SVD有著重要的應(yīng)用。（1） SVD很好地刻畫了矩陣的幾何特征。定理2 設(shè)的SVD由式給出，的列向量記為，的列向量記為，則（1）（2）（3）（2）利用SVD可方便地求矩陣的廣義逆和最小二乘問(wèn)題。定理3 的最小范數(shù)最小二乘解（最小二乘解中2-范數(shù)最小的）為 這里 稱為的廣義逆矩陣。Matlab: B = pinv(A)（3）SVD又可表明一個(gè)給定矩陣與秩低的矩陣之靠近程度。定理4（低秩逼近定理） 設(shè)的SVD由式給出，如果，記 則 低秩逼近定理可用于圖像壓縮。如果矩陣表示一張圖像，取的前個(gè)較大的奇異值構(gòu)造則就是的一個(gè)很好的逼近。從而起到圖像壓縮的作用。數(shù)值實(shí)驗(yàn)（小丑的圖像壓縮）load clown.matfigure(1)colormap(gray)image(X)U,S,V=svd(X);k=20;A=U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k);figure(2)colormap(gray)image(A)（4）利用SVD可計(jì)算矩陣的數(shù)值秩。矩陣的秩在理論上是有精確定義的，但在有舍入誤差的計(jì)算中就變得模糊不清了。數(shù)值地確定矩陣的秩是一個(gè)重要而又困難的問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)給定的矩陣，完全可以認(rèn)為它是某個(gè)原始矩陣經(jīng)過(guò)誤差不超過(guò)的擾動(dòng)后的結(jié)果。于是，在所有可能的候選矩陣中，確定一個(gè)具有最小秩的，它便成為的一個(gè)最壞虧損的原始矩陣。定義2 稱為的數(shù)值秩。定理5 矩陣的數(shù)值秩等于的充分必要條件是 Matlab: r =

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