第34練雙曲線的漸近線和離心率題型一雙曲線的漸近線問(wèn)題例1(2013課標(biāo)全國(guó))已知雙曲線c：1(a0，b0)的離心率為，則c的漸近線方程為_(kāi)破題切入點(diǎn)根據(jù)雙曲線的離心率求出a和b的比例關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線答案yx解析由e知，a2k，ck，k(0，)，由b2c2a2k2，知bk.所以.即漸近線方程為yx.題型二雙曲線的離心率問(wèn)題例2已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為f，以of為直徑作圓與雙曲線的漸近線交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)a，b，若()0，則雙曲線的離心率e為_(kāi)破題切入點(diǎn)數(shù)形結(jié)合，畫出合適圖形，找出a，b間的關(guān)系答案解析如圖，設(shè)of的中點(diǎn)為t，由()0可知atof，又a在以of為直徑的圓上，a，又a在直線yx上，ab，e.題型三雙曲線的漸近線與離心率綜合問(wèn)題例3已知a(1,2)，b(1,2)，動(dòng)點(diǎn)p滿足.若雙曲線1(a0，b0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)p的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_破題切入點(diǎn)先由直接法確定點(diǎn)p的軌跡(為一個(gè)圓)，再由漸近線與該軌跡無(wú)公共點(diǎn)得到不等關(guān)系，進(jìn)一步列出關(guān)于離心率e的不等式進(jìn)行求解答案(1,2)解析設(shè)p(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓又雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為yx，即bxay0，由題意，可得1，即1，所以e1，故1e1的條件，常用到數(shù)形結(jié)合(2)在求雙曲線的漸近線方程時(shí)要掌握其簡(jiǎn)易求法由yx00，所以可以把標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)中的“1”用“0”替換即可得出漸近線方程雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個(gè)數(shù)據(jù)，由于，當(dāng)e逐漸增大時(shí)，的值就逐漸增大，雙曲線的“張口”就逐漸增大1已知雙曲線1(a0，b0)以及雙曲線1的漸近線將第一象限三等分，則雙曲線1的離心率為_(kāi)答案2或解析由題意，可知雙曲線1的漸近線的傾斜角為30或60，則或.則e 或2.2已知雙曲線c：1 (a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f2作雙曲線c的一條漸近線的垂線，垂足為h，若f2h的中點(diǎn)m在雙曲線c上，則雙曲線c的離心率為_(kāi)答案解析取雙曲線的漸近線yx，則過(guò)f2與漸近線垂直的直線方程為y(xc)，可解得點(diǎn)h的坐標(biāo)為，則f2h的中點(diǎn)m的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程1可得1，整理得c22a2，即可得e.3已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓c：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓c的圓心，則該雙曲線的方程為_(kāi)答案1解析雙曲線1的漸近線方程為yx，圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為c(3,0)又漸近線方程與圓c相切，即直線bxay0與圓c相切，2，5b24a2.又1的右焦點(diǎn)f2(，0)為圓心c(3,0)，a2b29.由得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為f1(c,0)，f2(c,0)，若雙曲線上存在點(diǎn)p使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_答案(1，1)解析根據(jù)正弦定理得，由，可得，即e，所以pf1epf2.因?yàn)閑1，所以pf1pf2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上又pf1pf2epf2pf2pf2(e1)2a，解得pf2.因?yàn)閜f2ca(不等式兩邊不能取等號(hào)，否則題中的分式中的分母為0，無(wú)意義)，所以ca，即e1，即(e1)22，解得e1，所以e(1，1)5(2014湖北)已知f1，f2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，p是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且f1pf2，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為_(kāi)答案解析設(shè)pf1r1，pf2r2(r1r2)，f1f22c，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，由(2c)2rr2r1r2cos ，得4c2rrr1r2.由得所以.令m，當(dāng)時(shí)，mmax，所以()max，即的最大值為.6(2014山東改編)已知ab0，橢圓c1的方程為1，雙曲線c2的方程為1，c1與c2的離心率之積為，則c2的漸近線方程為_(kāi)答案xy0解析由題意知e1，e2，e1e2.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得，.令0，解得bxay0，xy0.7若橢圓1(ab0)與雙曲線1的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍為_(kāi)答案(0,1)解析可知e1，e1，所以ee22e1e10e1e20，b0)的左焦點(diǎn)f作圓x2y2的切線，切點(diǎn)為e，延長(zhǎng)fe交雙曲線的右支于點(diǎn)p，若e為pf的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)答案解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為f，由于e為pf的中點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)o為ff的中點(diǎn)，所以eopf，又eopf，所以pfpf，且pf2a，故pf3a，根據(jù)勾股定理得ffa.所以雙曲線的離心率為.9(2014浙江)設(shè)直線x3ym0(m0)與雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)a，b.若點(diǎn)p(m,0)滿足papb，則該雙曲線的離心率是_答案解析雙曲線1的漸近線方程為yx.由得a(，)，由得b(，)，所以ab的中點(diǎn)c坐標(biāo)為(，)設(shè)直線l：x3ym0(m0)，因?yàn)閜apb，所以pcl，所以kpc3，化簡(jiǎn)得a24b2.在雙曲線中，c2a2b25b2，所以e.10(2013湖南)設(shè)f1，f2是雙曲線c：1(a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是c上一點(diǎn)，若pf1pf26a，且pf1f2的最小內(nèi)角為30，則雙曲線c的離心率為_(kāi)答案解析不妨設(shè)pf1pf2，則pf1pf22a，又pf1pf26a，pf14a，pf22a.又在pf1f2中，pf1f230，由正弦定理得，pf2f190，f1f22a，雙曲線c的離心率e.11p(x0，y0)(x0a)是雙曲線e：1(a0，b0)上一點(diǎn)，m，n分別是雙曲線e的左，右頂點(diǎn)，直線pm，pn的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過(guò)雙曲線e的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值解(1)點(diǎn)p(x0，y0)(x0a)在雙曲線1上，有1.由題意有，可得a25b2，c2a2b26b2，則e.(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)則設(shè)(x3，y3)，即又c為雙曲線上一點(diǎn)，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡(jiǎn)得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又a(x1，y1)，b(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.由(1)可知c26b2，由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2.得240，解得0或4.12(2014江西)如圖，已知雙曲線c：y21(a0)的右焦點(diǎn)為f.點(diǎn)a，b分別在c的兩條漸近線上，afx軸，abob，bfoa(o為坐標(biāo)原點(diǎn))(1)求雙曲線c的方程；(2)過(guò)c上一點(diǎn)p(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線af相交于點(diǎn)m，與直線x相交于點(diǎn)n.證明：當(dāng)點(diǎn)p在c上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值解(1)設(shè)f(c,0)，直線ob方程為yx，直線bf的方程為y(xc)，解得b(，)又直線oa的方程為yx，則a(c，)，ka