資料：僅供參考 人教版九年級上冊全書教案 第二十一章 二次根式 教材內容 1本單元教學的主要內容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式 2本單元在教材中的地位和作用： 二次根式是在學完了八年級下冊第十七章反比例正函數、第十八章勾股定理及其應用等內容的基礎之上繼續(xù)學習的，它也是今后學習其他數學知識的基礎 教學目標 1知識與技能 （ 1）理解二次根式的概念 （ 2）理解 a （ a 0）是一個非 負數，（ a ） 2=a（ a 0）， 2 a =a（ a 0） （ 3）掌握 a b ab （ a 0， b 0）， ab = a b ； ab= ab（ a 0， b0）， ab= ab（ a 0， b0） （ 4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減 2過程與方法 （ 1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念 再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡 （ 2）用具體數據探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定， 并運用規(guī) 定進行計算 （ 3）利用逆向思維， 得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡 （ 4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點， 給出最簡二次根式的概念利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的 3情感、態(tài)度與價值觀 通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現問題的能力 教學重點 1二次根式 a （ a 0）的內涵 a （ a 0）是一個非負數；（ a ） 2 a（ a 0）； 2 a =a（ a 0） 及其運用 2二次根式乘除法的規(guī)定及其運用 3最簡二次根式的概念 4二次根式的加減運算 教學難點 1對 a （ a 0）是一個非負數的理解；對等式（ a ） 2 a（ a 0）及 2a =a（ a 0）的理解及應用 2二次根式的乘法、除法的條件限制 3利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式 教學關鍵 1潛移默化地培養(yǎng)學生從具體到一般 的推理能力，突出重點，突破難點 2培養(yǎng)學生利用二次根式的規(guī)定和重要結論進行準確計算的能力， 培養(yǎng)學生一絲不茍的科學精神 單元課時劃分 本單元教學時間約需 11 課時，具體分配如下： 21 1 二次根式 3 課時 21 2 二次根式的乘法 3 課時 21 3 二次根式的加減 3 課時 教學活動、習題課、小結 2 課時 21 1 二次根式 第一課時 教學內容 二次根式的概念及其運用 教學目標 理解二次根式的概念，并利用 a （ a 0）的意義解答具體題目 提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題 教學重難點關鍵 1重點：形如 a （ a 0）的式子叫做二次根式的概念； 2難點與關鍵：利用“ a （ a 0）”解決具體問題 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題： 問題 1：已知反比例函數 y=3x，那么它的圖象在第一象限橫、 縱坐標相等的點的坐標是 _ 問題 2：如圖，在直 角三角形 ABC 中， AC=3， BC=1， C=90，那么AB 邊的長是 _ BAC問題 3：甲射擊 6 次，各次擊中的環(huán)數如下： 8、 7、 9、 9、 7、 8，那么甲這次射擊的方差是 S2，那么 S=_ 老師點評： 問題 1：橫、縱坐標相等，即 x=y，所以 x2=3因為點在第一象限，所以x= 3 ，所以所求點的坐標（ 3 ， 3 ） 問題 2：由勾股定理得 AB= 10 問題 3：由方差的概念得 S= 46. 二、探索新知 很明顯 3 、 10 、 46，都是一些正數的算術平方根像這 樣一些正數的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式因此，一般地，我們把形如 a （ a 0） 的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號 （學生活動）議一議： 1 -1 有算術平方根嗎？ 2 0 的算術平方根是多少？ 3當 a0）、 0 、 42 、 - 2 、 1xy、 xy （ x 0， y 0） 分析 ：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“ ”；第二，被開方數是正數或 0 解：二次根式有： 2 、 x （ x0）、 0 、 - 2 、 xy （ x 0， y 0）；不是二次根式的有： 33 、 1x、 42 、 1xy 例 2 當 x 是多少時， 31x 在實數范圍內有意義？ 分析 ：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于 0，所以 3x-1 0， 31x 才能有意義 解：由 3x-1 0，得： x 13當 x 13時， 31x 在實數范圍內有意義 三、鞏固練習 教材 P 練習 1、 2、 3 四、應用拓展 例 3 當 x 是多少時， 23x + 11x在實數范圍內有意義？ 分析 ：要使 23x + 11x在實數范圍 內有意義，必須同時滿足 23x 中的 0 和 11x中的 x+1 0 解：依題意，得 2 3 010xx由得： x -32由得： x -1 當 x -32且 x -1 時， 23x + 11x在實數范圍內有意義 例 4(1)已知 y= 2 x + 2x +5，求 xy的值 (答案 :2) (2)若 1a + 1b =0，求 a2004+b2004 的值 (答案 :25) 五、歸納小結 （學生活動，老師點評） 本節(jié)課要掌握： 1形如 a （ a 0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號 2要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開 方數是非負數 六、布置作業(yè) 1教材 P8 復習鞏固 1、綜合應用 5 2選用課時作業(yè)設計 3.課后作業(yè) :同步訓練 第一課時作業(yè)設計 一、選擇題 1下列式子中，是二次根式的是（ ） A - 7 B 37 C x D x 2下列式子中，不是二次根式的是（ ） A 4 B 16 C 8 D 1x3已知一個正方形的面積是 5，那么它的邊長是（ ） A 5 B 5 C 15D以上皆不對 二、填空題 1形如 _的式子叫做二次根式 2面積為 a 的正方形的邊長為 _ 3負數 _平方根 三、綜合提高題 1某工廠要制作一批體積為 1m3 的產品包裝盒，其高為 0.2m，按設計需要， 底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？ 2當 x 是多少時， 23xx+x2 在實數范圍內有意義？ 3若 3 x + 3x 有意義，則 2x =_ 4.使式子 2( 5)x 有意義的未知數 x 有（ ）個 A 0 B 1 C 2 D無數 5.已知 a、 b 為實數，且 5a +2 10 2a =b+4，求 a、 b 的值 第一課時作業(yè)設計答案 : 一、 1 A 2 D 3 B 二、 1 a （ a 0） 2 a 3沒有 三、 1設底面邊長為 x，則 0.2x2=1，解答： x= 5 2依題意得： 2 3 00xx， 320xx 當 x-32且 x 0 時， 23xx x2 在 實數范圍內沒有意義 3.134 B 5 a=5， b=-4 21.1 二次根式 (2) 第 二課時 教學內容 1 a （ a 0）是一個非負數； 2（ a ） 2=a（ a 0） 教學目標 理解 a （ a 0）是一個非負數和（ a ） 2=a（ a 0），并利用它們進行計算和化簡 通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 a （ a 0）是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導出（ a ） 2=a（ a 0）；最后運用結論嚴謹解題 教學重難點關鍵 1重點： a （ a 0）是一個非負數；（ a ） 2=a（ a 0）及其運用 2難點、關鍵：用分類思想的方 法導出 a （ a 0）是一個非負數； 用探究的方法導出（ a ） 2=a（ a 0） 教學過程 一、復習引入 （學生活動）口答 1什么叫二次根式？ 2當 a 0 時， a 叫什么？當 a0；（ 2） a2 0；（ 3） a2+2a+1=（ a+1） 0； （ 4） 4x2-12x+9=（ 2x） 2-2 2x 3+32=（ 2x-3） 2 0 所以上面的 4 題都可以運用（ a ） 2=a（ a 0）的重要結論解題 解：（ 1）因為 x 0，所以 x+10 （ 1x ） 2=x+1 （ 2） a2 0，（ 2a ） 2=a2 （ 3） a2+2a+1=（ a+1） 2 又（ a+1） 2 0， a2+2a+1 0 ， 2 21aa=a2+2a+1 （ 4） 4x2-12x+9=（ 2x） 2-2 2x 3+32=（ 2x-3） 2 又 （ 2x-3） 2 0 4x2-12x+9 0，（ 24 1 2 9xx） 2=4x2-12x+9 例 3 在實數范圍內分解下列因式 : （ 1） x2-3 （ 2） x4-4 (3) 2x2-3 分析 ： (略 ) 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握： 1 a （ a 0）是一個非負數； 2（ a ） 2=a（ a 0） ;反之 :a=（ a ） 2（ a 0） 六、布置作業(yè) 1教材 P8 復習鞏固 2（ 1）、（ 2） P9 7 2選用課時作業(yè)設計 3.課后作業(yè) :同步訓練 第二 課時作業(yè)設計 一、選擇題 1下列各式中 15 、 3a 、 2 1b 、 22ab 、 2 20m 、 144 ，二次根式的個數是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2數 a 沒有算術平方根，則 a 的取值范圍是（ ） A a0 B a 0 C aa，則 a 可以是什么數？ 分析 ： 2a =a（ a 0），要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（ ） 2”中的數是正數，因為，當 a 0 時， 2a = 2()a ，那 么 -a 0 （ 1）根據結論求條件；（ 2）根據第二個填空的分析，逆向思想；（ 3）根據 （ 1）、（ 2）可知 2a = a，而 a要大于 a，只有什么時候才能保證呢？ aa，即使 aa所以 a不存在；當 aa，即使 -aa， a2，化簡 2( 2)x - 2(1 2 )x 分析 ： (略 ) 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握： 2a =a（ a 0）及其運用，同時理解當 a 2()a - 2a C 2a 2a = 2()a 二、填空題 1 - 0.0004 =_ 2若 20m 是一個正整數，則正整數 m 的最小值是 _ 三、綜合提高題 1先化簡再求值：當 a=9 時，求 a+ 212aa的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式 =a+ 2(1 )a =a+（ 1-a） =1； 乙的解答為：原式 =a+ 2(1 )a =a+（ a-1） =2a-1=17 兩種解答中， _的解答是錯誤的，錯誤的 原因是 _ 2若 1995-a + 2000a =a，求 a-19952 的值 （提示：先由 a-2000 0，判斷 1995-a 的值是正數還是負數，去掉絕對值） 3. 若 -3 x 2 時，試化簡 x-2 + 2( 3)x + 2 1 0 2 5xx。 答案 : 一、 1 C 2 A 二、 1 -0 02 2 5 三、 1甲 甲沒有先判定 1-a是正數還是負數 2由已知得 a- 2000 0， a 2000 所 以 a-1995+ 2000a =a， 2000a =1995， a-2000=19952， 所以 a-19952=2000 3. 10-x 21 2 二次根式的乘除 第一課時 教學內容 a b ab （ a 0， b 0），反之 ab = a b （ a 0， b 0）及其運用 教學目標 理解 a b ab （ a 0， b 0）， ab = a b （ a 0， b 0），并利用它們進行計算和化簡 由具體數據，發(fā)現規(guī)律，導出 a b ab （ a 0， b 0）并運用它進行計算； 利用逆向思維，得出 ab = a b （ a 0， b 0）并運用它進行解題和化簡 教學重難點關鍵 重點： a b ab （ a 0， b 0）， ab = a b （ a 0， b 0）及它們的運用 難點：發(fā)現規(guī)律，導出 a b ab （ a 0， b 0） 關鍵：要講清 ab （ a、 0） ,并驗證你的結論 答案 : 一、 1 B 2 C 3.A 4.D 二、 1 13 6 2 12s 三、 1設：底面正方形鐵桶的底面邊長為 x， 則 x2 10=30 30 20， x2=30 30 2， x= 30 30 2 =30 2 2 a2 1aa =2 1aaa 驗證： a2 1aa = 322211aaa = 332 2 21 1 1a a a a a aa a a = 222( 1 )11a a aaa =2 1aaa . 21 2 二次根式的乘除 第二課時 教學內容 ab= ab（ a 0， b0），反過來 ab= ab（ a 0， b0）及利用它們進行計算和化簡 教學目標 理解 ab= ab（ a 0， b0）和 ab= ab（ a 0， b0）及利用它們進行運算 利用具體數據，通過學生練習活動，發(fā)現規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡 教學 重難點關鍵 1重點：理解 ab= ab（ a 0， b0）， ab= ab（ a 0， b0）及利用它們進行計算和化簡 2難點關鍵：發(fā)現規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題： 1寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式 2填空 （ 1） 916=_， 916=_； （ 2） 1636=_， 1636=_； （ 3） 416=_， 416=_； （ 4） 3681=_， 3681=_ 規(guī)律： 916_ 916； 1636_ 1636； 416_ 416； 3681_ 3681 3利用計算器計算填空 : （ 1） 34=_，（ 2） 23=_，（ 3） 25=_，（ 4）78=_ 規(guī)律： 34_ 34； 23_ 23； 25_ 25； 78_ 78。 每組推薦一名學生上臺闡述運算結果 （老師點評） 二、探索新知 剛才同學們都練習都很好，上臺的同學 也回答得十分準確，根據大家的練習和回答，我們可以得到： 一般地，對二次根式的除法規(guī)定： ab= ab（ a 0， b0）， 反過來， ab= ab（ a 0， b0） 下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目 例 1 計算：（ 1） 123（ 2） 3128（ 3） 114 16（ 4） 648分析 ：上面 4 小題利用 ab= ab（ a 0， b0）便可直接得出答案 解：（ 1） 123= 123= 4 =2 （ 2） 3128= 3 1 3 8 3 42 8 2 = 3 =2 3 （ 3） 114 16= 1 1 1 164 1 6 4 = 4 =2 （ 4） 648= 648= 8 =2 2 例 2 化簡： （ 1） 364（ 2） 22649ba（ 3）2964xy（ 4）25169xy分析：直接利用 ab= ab（ a 0， b0）就可以達到化簡之目的 解：（ 1） 364= 33864（ 2） 22649ba= 2264 839bbaa （ 3）2964xy=293864xxyy （ 4）25169xy=25513169xxyy 三、鞏固練習 教材 P14 練習 1 四、應用拓展 例 3 已知 996 6xxx x ，且 x 為偶數，求（ 1+x） 22541xxx的值 分析： 式子 ab= ab，只有 a 0， b0 時才能成立 因此得到 9-x 0且 x-60，即 60）和 ab= ab（ a 0， b0）及其運用 六、布置作業(yè) 1教材 P15 習題 21 2 2、 7、 8、 9 2選用課時作業(yè)設計 3.課后作業(yè) :同步訓練 第二課時作業(yè)設計 一、選擇題 1計算 1 1 21 2 13 3 5的結果是（ ） A 27 5B 27C 2 D 272閱讀下列運算過程： 1 3 333 3 3， 2 2 5 2 555 5 5數學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡 26的結果是（ ） A 2 B 6 C 13 6D 6 二、填空題 1 分 母 有 理 化 :(1) 132=_;(2) 112=_;(3) 1025=_. 2已知 x=3， y=4， z=5，那么 yz xy 的最后結果是 _ 三、綜合提高題 1有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩 形的長與寬之比為 3 ： 1， 現用直徑為 3 15 cm 的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？ 2計算 （ 1）32nnmm（ - 331 nmm）32nm（ m0， n0） （ 2） -3 222332mna （232mna ） 2amn（ a0） 答案 : 一、 1 A 2 C 二、 1 (1) 36;(2) 36;(3) 1 0 2 5 222 5 2 5 2 153三、 1設：矩形房梁的寬為 x（ cm），則長為 3 xcm，依題意， 得：（ 3 x） 2+x2=（ 3 15 ） 2， 4x2=9 15， x=32 15（ cm）， 3 x x= 3 x2=1354 3 （ cm2） 2（ 1）原式 - 4252nnmm32nm=- 432522n n mm m n=- 32 2 2n n n n nm m m m =- 23n nm （ 2）原式 =-2 2223 ( ) ( )2m n m n a aa m n m n =-2 232a =- 6 a 21.2 二次根式的乘除 (3) 第三課時 教學內容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算 教學目標 理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式 通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據它的特點來 檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求 重難點關鍵 1重點：最簡二次根式的運用 2難點關鍵：會判 斷這個二次根式是否是最簡二次根式 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書） 1計算（ 1） 35，（ 2） 3227，（ 3） 82a老師點評： 35= 155， 3227= 63， 82a=2 aa2現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是 h1km，h2km， 那么它們的傳播半徑的比是 _ 它們的比是 1222RhRh 二、探索新知 觀察上面計算題 1的最后結果，可以發(fā)現這些式子中的 二次根式有如下兩個特點： 1被開方數不 含分母； 2被開方數中不含能開得盡方的因數或因式 我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式 學生分組討論，推薦 3 4個人到黑板上板書 老師點評：不是 1222RhRh= 12112 2 222hhR h hR h h h. 例 1 (1) 5312; (2) 2 4 4 2x y x y ; (3) 238xy 例 2如圖，在 Rt ABC中， C=90， AC=2.5cm， BC=6cm，求 AB的長 BAC解：因為 AB2=AC2+BC2 所以 AB= 222.5 6 = 25 1 6 9 1 6 9 1 3( ) 3 62 4 24 =6.5（ cm） 因此 AB的長為 6.5cm 三、鞏固練習 教材 P14 練習 2、 3 四、應用拓展 例 3觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式： 121= 1 ( 2 1 ) 2 121( 2 1 ) ( 2 1 ) = 2 -1， 132= 1 ( 3 2 ) 3 232( 3 2 ) ( 3 2 ) = 3 - 2 ， 同理可得： 143= 4 - 3 ， 從計算結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算 （ 121+ 132+ 143+ 12 0 0 2 2 0 0 1）（ 2002 +1）的值 分析： 由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的 解：原式 =（ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 + + 2002 - 2001 ）（ 2002 +1） =（ 2002 -1）（ 2002 +1） =2002-1=2001 五、歸納小結 本節(jié)課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用 六、布置作業(yè) 1教材 P15 習題 21 2 3、 7、 10 2選用課時作業(yè)設計 3.課后作業(yè) :同步訓練 第三課時作業(yè)設計 一、選擇題 1如果 xy（ y0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（ ） A xy（ y0） B xy （ y0） C xyy（ y0） D以上都不對 2把（ a-1） 11a 中根號外的（ a-1）移入根號內得（ ） A 1a B 1 a C - 1a D - 1 a 3在下列各式中，化簡正確的是（ ） A 53=3 15 B 12= 122 C 4ab =a2 b D 32xx =x 1x 4化簡 3227 的結果是（ ） A - 23B - 23C - 63D - 2 二、填空題 1化簡 4 2 2x x y =_（ x 0） 2 a21aa 化簡二次根式號后的 結果是 _ 三、綜合提高題 1已知 a為實數，化簡： 3a -a 1a，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確， 請寫出正確的解答過程： 解： 3a -a 1a=a a -a 1a a=（ a-1） a 2若 x、 y為實數，且 y= 224 4 12xxx ，求 x y x yg 的值 答案 : 一、 1 C 2 D 3.C 4.C 二、 1 x 22xy 2 - 1a 三、 1不正確，正確解答： 因為 3 010aa，所以 aOC 分析：要證明 OA+OBOC，必然把 OA、 OB、 OC 轉為在一個三角形內，應用兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）來說明，因此要應用旋轉以 A 為旋轉中心， 旋轉 60，便可把 OA、 OB、 OC轉化為 一個三角形內 解：如圖，把 AOC 以 A 為旋轉中心順時針方向旋轉 60后，到 AO B 的位置，則 AOC AO B AO=AO， OC=O B 又 OAO =60， AO O為等邊三角形 AO=OO 在 BOO中， OO +OBBO 即 OA+OBOC 四、歸納小結（學生總結，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 中心對稱的兩條基本性質： 1 關于中心對稱的兩個圖形，對應點所連線都經過對稱中心， 而且被對稱中心所平分； 2關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形及其它們的應用 五、布置作業(yè) 1教材 P74 復習鞏固 1 綜合運用 6、 7 2選作課時作業(yè)設計 第二課時作業(yè)設計 一、選擇題 1下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ） A直角 B等邊三角形 C直角梯形 D兩條相交直線 2下列命題中真命題是（ ） A兩個 等腰三角形一定全等 B正多邊形的每一個內角的度數隨邊數增多而減少 C菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 D兩直線平行，同旁內角相等 3將矩形 ABCD 沿 AE折疊，得到如圖的所示的圖形，已知 CED =60，則 AED的大小是（ ） A 60 B 50 C 75 D 55 二、填空題 1關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過 _，而且被對稱中心所 _ 2關于中心對稱的兩個圖形是 _圖形 3線段既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，它的對稱軸是 _， 它的對稱中心是 _ 三、綜合提高題 1分別畫出與已知四邊形 ABCD 成中心對稱的四邊形，使它們滿足以下條件：（ 1） 以頂點 A為對稱中心，（ 2）以 BC邊的中點 K為對稱中心 2如圖，已知一個圓和點 O，畫一個圓，使它與已知圓關于點 O 成中心對稱 3如圖， A、 B、 C 是新建 的三個居民小區(qū)，我們已經在到三個小區(qū)距離相等的地方修建了一所學校 M，現計劃修建居民小區(qū) D，其要求：（ 1）到學校的距離與其它小區(qū)到學校的距離相等；（ 2）控制人口密度，有利于生態(tài)環(huán)境建設，試寫居民小區(qū) D 的位置 答案 : 一、 1 D 2 C 3 A 二、 1對稱中心 平分 2全等 3線段中垂線，線段中點 三、 1略 2作出已知圓圓心關于 O點的對稱點 O，以 O為圓心，已知圓的半徑為半徑作圓 3連結 AB、 AC，分別作 AB、 AC的中垂線 PQ、 GH相交于 M，學校 M所在位置， 就是 ABC外接圓的圓心，小區(qū) D是在劣弧 BC的中點即滿足題意 初中數學資源網 23.2 中心對稱 (3) 第三課時 教學內容 1中心對稱圖形的概念 2對稱中心的概念及其它們的運用 教學目標 了解中心對稱圖形的概念及中心對稱圖形的對稱中心的概念，掌握這兩個概念的應用 復習兩個圖形關于中心對稱的有關概念，利用這個所學知識探索一個圖形是中心對稱圖形的有關概念及其它的運用 重難 點、關鍵 1重點：中心對稱圖形的有關概念及其它們的運用 2難點與關鍵：區(qū)別關于中心對稱的兩個圖形和中心對稱圖形 教具、學具準備 小黑板、三角形 教學過程 一、復習引入 1（老師口問）口答：關于中心對稱的兩個圖形具有什么性質？ （老師口述）：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分 關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形 2（學生活動）作圖題 （ 1）作出線段 AO關于 O點的對稱圖形，如圖 所示 A O （ 2）作出三角形 AOB關于 O點的對稱圖形，如圖所示 BAO（ 2）延長 AO使 OC=AO， 延長 BO使 OD=BO， 連結 CD 則 COD為所求的，如圖所示 BACDO二、探索新知 從另一個角度看，上面的（ 1）題就是將線段 AB 繞它的中點旋轉 180，因為 OA= OB，所以，就是線段 AB繞它的中點旋轉 180后與它重合 上面的（ 2）題，連結 AD、 BC，則剛才的兩個關于中心對稱的兩個圖形，就成平行四邊形，如圖所示 AO=OC， BO=OD， AOB= COD AOB COD AB=CD 也就是， ABCD 繞它的兩條對角線交點 O旋轉 180后與它本身重合 因此，像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉 180，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心 （學生活動）例 1：從剛才講的線段、平行四邊形都是中心對稱圖形外，每一位同學舉出三個圖形，它們也是中心對稱圖形 老師點評：老師邊提問學生邊解答 （學生活動）例 2：請說出中心對稱圖形具有什么特點？ 老師點評：中心對稱圖形具有勻稱美觀、平穩(wěn) 例 3 求證：如圖任何具有對稱中心的四邊形是平行四邊形 BACDO分析：中心對稱圖形的對稱中心是對應點連線的交點，也是對應點間的線段中點，因此，直接可得到對角線互相平分 證明：如圖， O 是四邊形 ABCD的對稱中心，根據中心對稱性質，線段 AC、BD 必過點 O，且 AO=CO， BO=DO，即四邊形 ABCD 的對角線互相平分，因此， 四邊形 ABCD是平行四邊形 三、鞏固練習 教材 P72 練習 四、應用拓展 例 4如圖，矩形 ABCD中， AB=3， BC=4，若將矩形折疊，使 C點和 A點重合， 求折痕 EF的長 分析：將矩形折疊，使 C點和 A點重合，折痕為 EF，就是 A、 C 兩點關于 O點對稱，這方面的知識在解決一些翻折問題中起關鍵作用，對稱點連線被對稱軸垂直平分，進而轉化為中垂線性質和勾股定理的應用，求線段長度或面積 解：連接 AF， 點 C與點 A重合，折痕為 EF，即 EF垂直平分 AC AF=CF， AO=CO， FOC=90，又四邊形 ABCD為矩形， B=90， AB=CD=3，AD= BC=4 設 CF=x，則 AF=x， BF=4-x， 由勾股定理，得 AC2=BC2+AB2=52 AC=5， OC=12AC=52 AB2+BF2=AF2 32+（ 4-x） =2=x2 x=258 FOC=90 OF2=FC2-OC2=（ 258） 2-（ 52） 2=（ 158） 2 OF=158同理 OE=158，即 EF=OE+OF=154五、歸納小結（ 學生歸納，老師點評） 本節(jié)課應掌握： 1 中心對稱圖形的有關概念； 2應用中心對稱圖形解決有關問題 六、布置作業(yè) 1教材 P74 綜合運用 5 P75 拓廣探索 8、 9 2選用作業(yè)設計 作業(yè)設計 一、選擇題 1下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ） 210 85A等邊三角形 B等腰梯形 C平行四邊形 D正六邊形 2下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（ ） A正方形 B矩形 C菱形 D平行四邊形 3如圖 所示，平放在正立鏡子前的桌面上的數碼“ 21085 ”在鏡子中的像是（ ） A 21085 B 28015 C 58012 D 51082 二、填空題 1把一個圖形繞著某一個點旋轉 180，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做 _ 2請你寫出你所熟悉的三個中心對稱圖形 _ 3中心對稱圖形具有什么特點（至少寫出兩個） _ 三、解答題 1在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度后能與自身 重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角稱為這個圖形的一個旋轉角，例如： 正方形繞著它的對角線的交點旋轉 90后能與自身重合， 所以正方形是旋轉對稱圖形，應有一個旋轉角為 90 （ 1）判斷下列命題的真假（在相應括號內填上“真”或“假”） 等腰梯形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為 180；（ ） 矩形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為 180；（ ） （ 2）填空：下列圖形中是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為 120是_（ 寫出所有正確結論 的序號） 正三角形；正方形；正六邊形；正八邊形 （ 3）寫出兩個多邊形，它們都是旋轉對稱圖形，卻有一個旋轉角為 72，并且分別滿足下列條件：是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 2如圖，將矩 形 A1B1C1D1 沿 EF折疊，使 B1點落在 A1D1 邊上的 B處；沿BG折疊，使 D1 點 落在 D處且 BD過 F點 （ 1）求證：四邊形 BEFG是平行四邊形； （ 2）連接 BB，判斷 B1BG 的形狀，并寫出判斷過程 D 1C 1B 1A 1 BACEDGF3如圖，直線 y=2x+2與 x軸、 y軸分別交于 A、 B兩點，將 AOB 繞點 O 順時針旋轉 90得到 A1OB1 （ 1）在圖中畫出 A1OB1； （ 2）設過 A、 A1、 B 三點的函數解析式為 y=ax2+bx+c，求這個解析式 OBA-1yx2答案： 一、 1 D 2 D 3 D 二、 1中心對稱圖形 2答案不唯一 3答案不唯一 三、 1（ 1）假 真 （ 2） （ 3）例如正五邊形 正十五邊形 例如正十邊 正二十邊形 2（ 1）證明： A1D1 B1C1， A1BD= C1FB 又 四邊 形 ABEF 是由四邊形 A1B1EF 翻折的， B1FE= EFB，同理可得： FBG= D1BG， 初中數學資源網 EFB=90 -12 C1FB， FBG=90 -12 A1BD， EFB= FBG EF BG， EB FG 四邊形 BEFG 是平行四邊形 （ 2）直角三角形，理由：連結 BB， BD1 FC1， BGF= D1BG， FGB= FBG 同理可得： B1BF= FB1B B1BG=90， B1BG是直角三角形 3解：（ 1）如右圖所示 B 1A 1OBA-2 1-1yx221-1（ 2）由題意知 A、 A1、 B1 三 點的坐標分別是（ -1， 0），（ 0， 1），（ 2， 0） 010 4 2a b cca b c 解這個方程組得12121abc所求五數解析式為 y=-12x2+12x+1 初中數學資源網 23.2 中心對稱（ 4） 第四課時 教學內容 兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點 P（ x， y），關于原點的對稱點為 P（ -x， -y）及其運用 教學目標 理解 P與點 P點關于原點對稱時， 它們的橫縱坐標的關系，掌握 P（ x， y） 關于原點的對稱點為 P（ -x， -y）的運用 復習軸對稱、旋轉，尤其是中心對稱，知識遷移到關于原點對稱的點的坐標的關系及其運用 重難點、關鍵 1重點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點 P（ x， y）關于原點的對稱點 P（ -x， -y）及其運用 2難點與關鍵：運用中心對稱的知識導出關于原點對稱的點的坐標的性質及其運用它解決實際問題 教具、學具準備 小黑板、三角尺 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下面三題 1已知點 A和直線 L，如圖，請畫出點 A關于 L對稱的點 A lA2如圖， ABC 是正三角形，以點 A為中心，把 ADC 順時針旋轉 60，畫出旋轉后的圖形 3如圖 ABO，繞點 O旋轉 180，畫出旋轉后的圖形 老師點評：老師通過巡查，根據學生解答情況進行點評（略） 二、探索新知 （學生活動）如圖 23-74，在直角坐標系中，已知 A（ -3， 1）、 B（ -4， 0）、C（ 0， 3）、 D（ 2， 2）、 E（ 3， -3）、 F（ -2， -2），作 出 A、 B、 C、 D、 E、 F點關于原點 O的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答： 這些坐標與已知點的坐標有什么關系？ -3-33OBAC-2-21-1yx3-4D4221-1老師點評：畫法：（ 1）連結 AO并延長 AO （ 2）在射線 AO 上截取 OA =OA （ 3）過 A作 AD x軸于 D點，過 A作 A D x 軸于點 D AD O與 A D O全等 AD =A D， OA=OA A（ 3， -1） 同理可得 B、 C、 D、 E、 F這些 點關于原點的中心對稱點的坐標 （學生活動）分組討論（每四人一組）：討論的內容：關于原點作中心對稱時， 它們的橫坐標與橫坐標絕對值什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對值又有什么關系？坐標與坐標之間符號又有什么特點？ 提問幾個同學口述上面的問題 老師點評：（ 1）從上可知，橫坐標與橫坐標的絕對值相等，縱坐標與縱坐標的絕對值相等（ 2）坐標符號相反，即設 P（ x， y）關于原點 O的對稱點 P（ -x， -y） 例 1 如圖，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出與線段 AB 關于原點對稱的圖 形 兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反， 即點 P（ x， y）關于原點 O的對稱點 P（ -x， -y） -3-33OBA-2-21-1yx3-44221-1分析：要作出線段 AB關于原點的對稱線段，只要作出點 A、點 B關于原點的對稱點 A、 B即可 解：點 P（ x， y）關于原點的對稱點為 P（ -x， -y）， 因此，線段 AB 的兩個端點 A（ 0， -1）， B（ 3， 0）關于原點的對稱點分別為 A（ 1， 0）， B（ -3， 0） 連結 A B 則就可得到與線段 AB關于原點對稱的線段 A B （學生活動）例 2已知 ABC， A（ 1， 2）， B（ -1， 3）， C（ -2， 4）利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出 ABC關于原點 對稱的圖形 老師點評分析：先在直角坐標系中畫出 A、 B、 C三點并連結組成 ABC，要作出 ABC關于原點 O的對稱三角形，只需作出 ABC中的 A、 B、 C三點關于原點的對稱點， 依次連結，便可得到所求作的 A B C 三、鞏固練習 教材 P73 練習 四、應用拓展 例 3 如圖，直線 AB與 x軸、 y軸分別相交于 A、 B兩點，將直線 AB繞點O順時針旋轉 90得到直線 A1B1 （ 1）在圖中畫出直線 A1B1 （ 2）求出線段 A1B1中點的反比例函數解析式 （ 3）是否存在另一條與直線 AB 平行的直線 y=kx+b（我們發(fā)現互相平行的兩條直線斜率 k 值相等）它與雙曲線只有一個交點，若存在，求此直線的函數解析式，若不存在，請說明理由 -3-33OBA-2-21-1yx3-44221-1分析：（ 1）只需畫出 A、 B兩點繞點 O順時針旋轉 90得到的點 A1、 B1，連結 A1B1 （ 2）先求出 A1B1中點的坐標，設反比例函數解析式為 y=kx代入求 k （ 3）要回答是否存在，如果你判斷存在，只需找出即可；如果不存在，才加予說明這 一條直線是存在的，因此 A1B1與雙曲線是相切的，只要我們通過A1B1 的線段作 A1、 B1關于原點的對稱點