如何求數(shù)列的極限作者：陜西洋縣中學 劉大鳴 梁杰數(shù)列極限定性地刻畫了項數(shù)趨向無窮大時，項的變化規(guī)律，起決定因素的是數(shù)列通項公式.常依據(jù)數(shù)列數(shù)列的通項，適當?shù)刈冃?，利用?shù)列極限的定義、結論和運算法則求解.1 “抓通項”，利用數(shù)列極限的定義求解.數(shù)列的通項揭示了數(shù)列的項和項數(shù)之間的函數(shù)關系，而數(shù)列極限揭示的是數(shù)列的項隨自變量項數(shù)趨向無窮大時的變化規(guī)律，為此，求數(shù)列的極限首先思考數(shù)列極限的定義，運動變化、函數(shù)觀念研究初等函數(shù)值域隨自變量的變化規(guī)律，當函數(shù)值域無限趨近唯一的一個常數(shù)時，這個常數(shù)就稱為數(shù)列的極限；當函數(shù)值域無限增大或趨近的常數(shù)不唯一，這個數(shù)列的極限就不存在.利用數(shù)列極限定義，研究函數(shù)值域隨自變量的變化趨勢，可證的幾個基本極限結論為， 2 “抓通項，恒等變形”，化歸用基本數(shù)列極限結論求解通項為分式類的數(shù)列的極限，先對通項變形使分子和分母的極限都存在，然后求極限，其值為0、系數(shù)比或不存在，常以“極限已知待定參數(shù)”考查逆向思維的問題；對通項含根式的分式類數(shù)列的極限，為使“分子和分母的極限都存在”，常常“分子或分母有理化”化歸基本數(shù)列的極限結論求解.例1 ; 簡析： 用數(shù)列運算法則，分子和分母的極限均不存在，對通項變形，利用結論的條件構建不等式解范圍.依題意有， 用數(shù)列運算法則，分子和分母的極限均不存在，對通項變形化為基本數(shù)列極限研究待定系數(shù).依題意有，例2 簡析： 用運算法則，分母極限無法確定，分母有理化用運算法則，極限無法確定，分子有理化 3 利用“有限項的和取極限與各項和之間的關系”求解數(shù)列的極限與數(shù)列的和密切相關，無窮遞縮等比數(shù)列的各項和，總可以化為有限項和取極限，“無限和化為有限項的和的極限，有限和的極限轉化為各項和用公式”的相互轉化是解決數(shù)列問題的一種“進化”.例3 (94高考)設an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，且對一切自然數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項， 求數(shù)列an的通項公式； 簡析： 先猜后證.易求，a1=2,a2=6,a3=10,猜an=4n-2.用數(shù)學歸納法證明. 當n=1時，顯然成立； 假設n=k時成立，即 ak=4k-2.由題設有，而一般數(shù)列的切入點為 ak+1=Sk+1-Sk=,將假設ak=4k-2代入整理有，解方程有，這就是說，當時猜想也成立.由和 猜想成立.即an=4n-2.也可用“為an的二次函數(shù)，則an為等差數(shù)列”探究解題思路.由一般數(shù)列的切入點ak+1=Sk+1-Sk=，注意題設化簡整理有，易求an=4n-2. 由和的特征構建通項化簡，先求和再取極限 簡析：數(shù)列極限與不等式簡單綜合，利用有限項和與無限項和的關系，構建不等式解范圍.依題意， 例5（03高考）在邊長為L的等邊三角形ABC中，圓O1為三角形ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切且與AB、BC相切，圓On+1圓On外切，且與AB、BC相切，如此繼續(xù)下去，記圓On的面積為an,求.簡析：探求相鄰兩個圓的半徑滿足的遞推關系，將有限項和的極限化為無窮遞縮各項和求解.設rn為圓On半徑，易有，4 極限運算法則中的“線性表示”和“先求和再取極限”例6 簡析：若分別求極限其值為0.而先求和再取極限，追其原因將極限的運算法則適應于有限個數(shù)列的和、差、乘、的數(shù)列的極限的運算法則照搬到無限數(shù)列中去，超出了法則的使用范圍,應“先求和再取極限”. 例7簡析:先求出的極限,再求值,已經犯錯誤”和差的極限存在,各自的極限也存在”;應用已知的極限線性表示所求的極限,5 構建數(shù)列極限的模型解決實際應用問題.例8 某市電話費為每3分鐘0.18元，現(xiàn)調整為前3分鐘電話費為0.22元，超過3分鐘，每分鐘0.11元計費，與調整前相比，一次通話提價的百分比（ ）.A 不會高于 ; B.會高于而不會高于 ; C.不會低于. D.高于而低于1.簡析 ：構建數(shù)列極限模型，用數(shù)列極限思想求解.考察通話3分鐘的收費，原價0.18元，現(xiàn)價0.22元，提價少于0.3,排除D. 用極限思想，通話3n分鐘，原價0.18n元，現(xiàn)價（0.33n-0.11）元，若注意到而, 故選B.例9當n為自然數(shù)時，求所有函數(shù)y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1的圖象在x軸上所截的線段的長度的總和S.簡析 ：構建數(shù)列極限的模型，將所有線段的長度和化為前n項和的極限求解.易知,函數(shù)在x軸上的交點橫坐標分別為1/n,1/n+1,則 例10(02高考) 某城市2001年汽車保有量為30萬輛，預計次后每年報廢上一年汽車保有量的0.06,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛.簡析: 構建線性遞推關系，利用數(shù)列極限的概念求解.設2001年末汽車保有量為b1,以后各年末的汽車保有量分別為b2,b3,bn,每年新增汽車數(shù)量x萬輛，則b1=30,b2=0.94b1+x,bn+1=0.94bn+x=0.942bn-1+(1+0.94)x=,所以，bn+1=0.94nb1+x(1+0.94+0.942+0.94n-1)=0.94nb1+(1-0.94n)x/0.06=x/0.06+(30-x/0.06) 0.94n,依題設bn60(n=1,2,3, ,), 就是 300.94n-1+ 60恒成立，解這個關于x的不等式得，x1.8(1+),設f(n)= 1.8(1+),則f