第三模塊導數及其應用第十四講導數的概念及其運算 回歸課本 1 導數的概念 1 f x 在x x0處的導數函數y f x 在x x0處的瞬時變化率是稱其為函數y f x 在x x0處的導數 記作f x0 或y x x0 即f x0 2 導函數當x變化時 f x 稱為f x 的導函數 則f x y 注意 導數是研究在x x0處及其附近函數的改變量 y與自變量的改變量 x之比的極限 它是一個局部性的概念 則函數y f x 在x x0處就有導數 否則就沒有導數 2 導數的幾何意義函數y f x 在x x0處的導數的幾何意義 就是曲線y f x 在點p x0 y0 處的切線的斜率 過點p的切線方程為 y y0 f x0 x x0 3 幾種常用函數的導數 1 c 0 c為常數 2 xn nxn 1 n n 3 sinx cosx 4 cosx sinx 5 ex ex 6 ax axlna 4 導數運算法則 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 注意 關于導數的加減法則 可推廣到有限多個情況 如 f x g x h x f x g x h x 等 5 復合函數的導數設函數u x 在點x處有導數u x 函數y f u 在點x的對應點u處有導數y f u 則復合函數y f x 在點x處也有導數 且y x y u u x或寫作fx x f u x 考點陪練 1 在平均變化率的定義中 自變量的增量 x滿足 a x 0b x0時 是從右端趨近 x 0時 是從左端趨近 這就是 附近 的意義 答案 c評析 本題運用平均變化率中的 x的意義來解決問題 2 一物體的運動方程是s 3 t2 則在時間段 2 2 1 內相應的平均速度為 a 0 41b 3c 4d 4 1 答案 d 3 設函數f x 可導 則等于 a f 1 b 3f 1 c f 1 d f 3 答案 a 4 已知函數f x 在x 1處的導數為3 則f x 的解析式可能為 a f x x 1 3 3 x 1 b f x 2 x 1 c f x 2 x 1 2d f x x 1解析 先求f x 的導函數 再代入驗證 當f x x 1 3 3 x 1 時 f x 3 x 1 2 3且f 1 3 1 1 2 3 3 答案 a 5 2010 新課標全國 曲線y x3 2x 1在點 1 0 處的切線方程為 a y x 1b y x 1c y 2x 2d y 2x 2解析 由題可知 點 1 0 在曲線y x3 2x 1上 求導可得y 3x2 2 所以在點 1 0 處的切線的斜率k 1 切線過點 1 0 根據直線的點斜式可得切線方程為y x 1 故選a 答案 a 類型一利用導數定義求導數解題準備 根據導數的定義求函數的導數是求導數的基本方法 應熟練掌握 關鍵是變形 找出分子與分母的對應關系 反思感悟 利用定義法求導數 要先求出然后分離出與 x無關的量 再求解 類型二利用求導公式求導數解題準備 1 運用可導函數求導法則和導數公式 求函數y f x 在開區(qū)間 a b 內的導數的基本步驟 1 分析函數y f x 的結構和特征 2 選擇恰當的求導法則和導數公式求導 3 整理得結果 2 對較復雜的函數求導時 應先化簡再求導 特別是對數函數真數是根式或分式時 可用對數的性質把真數轉化為有理式或整式求解更為方便 解 1 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 2 y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xln3 ex 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 反思感悟 理解和掌握求導法則和公式的結構規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件 運算過程出現(xiàn)失誤 原因是不能正確理解求導法則 特別是商的求導法則 求導過程中符號判斷不清 也是導致錯誤的原因 從本例可以看出 深刻理解和掌握導數的運算法則 再結合給定函數本身的特點 才能準確有效地進行求導運算 才能充分調動思維的積極性 在解決新問題時才能舉一反三 觸類旁通 得心應手 類型三導數的幾何意義及應用解題準備 求曲線切線方程的步驟是 求導數f x 求斜率k f x0 寫出切線方程y y0 f x0 x x0 但是要注意 當函數f x 在x x0處不可導時 曲線在該點處并不一定沒有切線 同時還必須明確p x0 y0 為切點 分析 求曲線的切線方程的方法是通過切點坐標 求出切線的斜率 再通過點斜式得切線方程 反思感悟 利用導數研究曲線的切線問題 一定要熟練掌握以下條件 1 函數在切點處的導數值也就是切線的斜率 即已知切點坐標可求切線斜率 已知斜率可求切點的坐標 2 切點既在曲線上 又在切線上 切線有可能和曲線還有其他的公共點 錯源一因忽視解題順序而致錯 剖析 f x 在點x0處的導數f x0 實際上是導函數f x 在x x0處的函數值 即f x0 f x x x0 故求f x 在x0處的導數f x0 應先求f x 的導函數f x 再將x x0代入f x 求值 順序不能顛倒 錯源二忽視復合函數的求導 典例2 已知函數f x x2 bx c e x 其中b c r且為常數 若b2 4 c 1 求證 方程f x 0有兩個不等的實數根 錯解 f x x2 bx c e x x2 bx c e x 2x b e x x2 bx c e x e x x2 b 2 x b c 由f x 0即e x x2 b 2 x b c 0 得x2 b 2 x b c 0 b 2 2 4 b c b2 4c 4 由于b2 4 c 1 所以 0 故方程f x 0有兩個不等的實數根 剖析 本錯解 歪打正著 雖然未注意到復合函數的求導 但結論居然也被 證 出來了 顯然是一種巧合 也說明了這種錯誤的隱蔽性很好 正解 f x x2 bx c e x x2 bx c e x 2x b e x x2 bx c e x e x x2 b 2 x b c 由f x 0 即e x x2 b 2 x b c 0 得x2 b 2 x b c 0 b 2 2 4 b c b2 4c 4 由于b2 4 c 1 所以 0 故方程f x 0有兩個不等的實數根 技法一活用導數定義 典例1 設f x x x 1 x 2 x 2006 則f 0 解析 1 2 3 2006 答案 1 2 3 2006 技法二先化簡再求導 優(yōu)化解題過程 典例2 求函數y cotx的導數 解題切入點 對此題 由于課本沒有給出y cotx的直接求導公式 一些同學不知怎么辦了 其實 將原式化為用sinx與cosx來表示的式子 然后再按照商的求導法則來求導即