規(guī)律探索的基礎(chǔ) 一些有趣的數(shù)列三角形數(shù)古希臘科學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21這些數(shù)量的，都可以排成三角形，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù)。它有一定的規(guī)律性，排列如下，像上面的1、3、6、10、15這些能夠表示成三角形的形狀的總數(shù)量的數(shù)，叫做三角形數(shù)。正方形數(shù)1、4、16這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和 謝賓斯基（Sierpinski）三角形在下圖四個三角形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，著色三角形的個數(shù)依次為1，3，9，27.則數(shù)列前4項都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1。 通項公式是：An=3的n-1次方 斐波那契數(shù)列“斐波那契數(shù)列(Fibonacci)”的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、 這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。它的通項公式為:(見圖)（又叫“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例。） 有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的。隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。（1）細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。（2）細(xì)察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：3百合和蝴蝶花5藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草8翠雀花13金盞草21紫宛34，55，84雛菊 通項公式寫出下面數(shù)列的通項 1,2,3,4,5,6，。2,4,6,8,10，12，。1,3,5,7,9，。3,5,7,9,11，。-1,1,3,5，。2,4,8,16，。1,2，4,8,16，。1,3,7,15，。5,7,11,19，。1，-1,1，-1,1，-1，。1，-2,3，-4,5，-6，。4,7,10,13,16,19，。1,4,7,10,13,16，。-4,7，-10，13，-16，。1，0,1,0,1，。1,3,6,10,15，。1,2,3,5,8,13,21，。以上的數(shù)列的通項公式是我們以后探究數(shù)列通項公式的基礎(chǔ)，同學(xué)們要在理解的基礎(chǔ)上識記它們。有些公式，也可以從函數(shù)的角度去記憶它們，也可以對它們的本質(zhì)有一個較高的認(rèn)識。一般有下面的幾種函數(shù)形式：y=an+by=an2+bn+cy=cany= can+b使用函數(shù)的解析式也可以解決一些求通項的問題，我們在后面要講到。 高斯求和公式 200年前，德國著名數(shù)學(xué)家高斯的算術(shù)老師提出了下面問題： 1+2+3+4+100=? 據(jù)說，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案： （1+100）+（2+99）+(50+51)=10150=5050 高斯的算法實際上解決了數(shù)列 1,2,3，n,前n項的和的問題。 我們可以仿照高斯的方法計算1,2,3，n,的前n項的和：1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1(n+1)+ (n+1) + + (n+1) + (n+1) 可知 1 + 2 + + n-1 + n