江西省名師聯(lián)盟2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題 理注意事項：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合，則（ ）ABCD2若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD3設(shè)是等差數(shù)列的前項和，則公差（ ）ABCD4已知，則（ ）ABCD5函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCD6設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（ ）ABCD7在中，為的中點，則（ ）ABCD8若存在，使成立，則的取值范圍為（ ）ABCD9在直角坐標(biāo)系中，是橢圓的左焦點，分別為左、右頂點，過點作軸的垂線交橢圓于，兩點，連接交軸于點，連接交于點，若是線段的中點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD10如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）ABCD11已知雙曲線的離心率為，分別是雙曲線的左、右焦點，點，點為線段上的動點，當(dāng)取得最小值和最大值時，的面積分別為，則（ ）ABCD12設(shè)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，且，若不等式對恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13若為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則 14已知，則 15已知函數(shù)只有一個零點，則 16在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，且為等邊三角形，若四棱錐的體積與四棱錐外接球的表面積大小之比為，則四棱錐的表面積為 三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（12分）的內(nèi)角，的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，求的面積18（12分）某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱的定價為元，低于箱按原價銷售，不低于箱則有以下兩種優(yōu)惠方案：以箱為基準(zhǔn)，每多箱送箱；通過雙方議價，買方能以優(yōu)惠成交的概率為，以優(yōu)惠成交的概率為（1）甲、乙兩單位都要在該廠購買箱這種零件，兩單位都選擇方案，且各自達(dá)成的成交價格相互獨(dú)立，求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率；（2）某單位需要這種零件箱，以購買總價的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該單位選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?19（12分）如圖，在四面體中，平面平面，且（1）證明：平面；（2）設(shè)為棱的中點，當(dāng)四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值20（12分）已知橢圓過點，且它的焦距是短軸長的倍（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上的兩個動點（，兩點不關(guān)于軸對稱），為坐標(biāo)原點，的斜率分別為，問是否存在非零常數(shù)，使時，的面積為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由21（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的極值；（2）設(shè)，對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（1）求和的普通方程；（2）將向左平移后，得到直線，若圓上只有一個點到的距離為，求23（10分）【選修4-5：不等式選講】設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍2020屆江西名師聯(lián)盟高三第一次模擬考試卷理科數(shù)學(xué)答 案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1【答案】C【解析】或，2【答案】B【解析】因為，所以3【答案】D【解析】，4【答案】A【解析】，故5【答案】C【解析】由函數(shù)，得定義域為，且有成立，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且與軸交于和兩點當(dāng)時，所以在內(nèi)函數(shù)圖象在軸下方，在內(nèi)函數(shù)圖象在軸上方，再用對稱性得到完整的函數(shù)圖象6【答案】D【解析】的幾何意義是可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率，畫出可行域（圖略），得的最大值為7【答案】A【解析】8【答案】C【解析】記，因為存在，使成立，所以只需當(dāng)時，即9【答案】C【解析】如圖，連接，則由橢圓的對稱性易得，所以，所以因為，所以因為，所以，從而有又因為是線段的中點，所以10【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，為的中點，外接球球心在過的中點且垂直于平面的直線上，又點到，的距離相等，所以又在過左邊正方體一對棱的中點，所在直線上，在中，由，即，得，所以三棱錐外接球的球半徑，11【答案】A【解析】由，得，故線段所在直線的方程為，又點在線段上，可設(shè)，其中，由，即，得，所以由于，可知當(dāng)時，取得最小值，此時，當(dāng)，取得最大值，此時，所以12【答案】D【解析】由于是單調(diào)函數(shù)，則為定值，不妨設(shè)，則又，解得，則，所以，即設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13【答案】【解析】，所以14【答案】【解析】令，可得；令，可得，所以15【答案】【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)只有一個零點，故，所以16【答案】【解析】如圖，連接，交于點，取的中點為，連接設(shè)四棱錐外接球的球心為，等邊三角形外接圓的圓心為，則為的重心，則，正方形外接圓的圓心為因為，平面平面，所以平面，所以，所以四邊形為矩形，所以設(shè)正方形的邊長為，則，所以，所以四棱錐外接球的半徑為，所以四棱錐外接球的表面積為，四棱錐的體積為，所以，即，解得，所以正方形的邊長為，所以，所以四棱錐的表面積為三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17【答案】（1）；（2）【解析】（1），故（2），又，由（1）可知，從而的面積18【答案】（1）；（2）選擇方案更劃算【解析】（1）因為甲單位的優(yōu)惠比例低于乙單位的優(yōu)惠比例的概率為，所以甲單位的優(yōu)惠比例不低于乙單位的優(yōu)惠比例的概率為（2）設(shè)在折扣優(yōu)惠中每籍零件的價格為元，則或的分布列為則若選擇方案，則購買總價的數(shù)字期望為元若選擇方案，由于購買箱能獲贈箱，所以該單位只需要購買箱，從而購買總價為元因為，所以選擇方案更劃算19【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面因為平面，所以因為，所以，所以因為，所以平面（2）設(shè)，則，四面體的體積，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時， ，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，四面體的體積取得最大值以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得同理可得平面的一個法向量為，則由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為20【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）因為橢圓過點，所以，又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍，所以，從而聯(lián)立方程組，解得，所以橢圓的方程為（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值設(shè)直線的方程為，點，點，則由知，所以聯(lián)立方程組，消去得所以，又點到直線的距離，則的面積將代入得，化簡得，將代入得，要使上式為定值，只需，即需，從而，此時，所以存在這樣的常數(shù)，此時21【答案】（1）的極大值為，無極小值；（2）【解析】（1）當(dāng)時，所以函數(shù)的定義域為，所以，且，令，所以當(dāng)時，所以又，所以當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，故同理當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在是單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的極大值為，無極小值（2）令，因為對任意都有成立，所以因為，所以令，即，解得；令，即，解得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以因為，所以，當(dāng)時，令，即，解得；令，即，解得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為22【答案】（1），；（2）【解