06-07 二期復(fù)習(xí)A 55二期復(fù)習(xí)A1（6）已知|=2，|=3，且與的夾角為，求以向量為兩鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)及面積解 |2=()()=9|2-24+16|2=94-2423cos+169=108 |=， |2=()()=|2+4+4|2=4+423cos+49=52 |=以向量，為兩邊的平行四邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)=2(|+|)=2(+)以向量，為兩邊的平行四邊形的面積為S=|=|()()|=3-4+6-6=10=10|sin=302（6）一平面過(guò)點(diǎn)(1,0,-1)，且平行于向量=(2,1,1)和=(1,-1,0)，試求此平面方程解 設(shè)平面法向量為 ，則=+-3=(1,1,-3)于是所求平面方程為(x-1)+y-3(z+1)=0，即 x+y-3z-4=03（6）一直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)M0(2,1,3)且與直線(xiàn)L：垂直相交，求此直線(xiàn)方程解 設(shè)所求直線(xiàn)方程與L交于點(diǎn)M(x,y,z)，該點(diǎn)在L上，而的參數(shù)方程為，于是有=(-1+3t-2,1+2t-1,-t-3)=(-3+3t,2t,-t-3)兩直線(xiàn)垂直相交，有，即(-9+9t+4t+t+3)=0得t=，于是有=(-2,1,-4)由對(duì)稱(chēng)式得所求直線(xiàn)為4（6）設(shè)函數(shù) z=arctan()，求 ，解 =-=-=-5（6）已知 w=f (x-y,y-z,t-z)，f 為可微函數(shù)，求：+解 =f1，=-f1+f2，=-f2-f3，=f3 +=06（7）設(shè)一長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之和為定值 a，問(wèn)長(zhǎng)、寬、高三者取怎樣的比例關(guān)系時(shí)，所構(gòu)成的長(zhǎng)方體體積最大？解 這是條件極值問(wèn)題設(shè) 長(zhǎng)、寬、高分別為 x、y、z，則目標(biāo)函數(shù)為V=xyz條件為x+y+z=a將條件代入目標(biāo)函數(shù)，得V=xy(a-x-y)=axy-x2y-xy2或V=xyz+(x+y+z-a)令Vx=ay-2xy-y2=0Vy=ax-2xy-x2=0得a(y-x)=(y2-x2)即y+x=ay-x=0舍去 y+x=a (由條件 x+y+z=a 及實(shí)際意義知z 不可能為零），得y=x=是唯一極值點(diǎn)，由問(wèn)題的實(shí)際意義知，體積必有最大值，故當(dāng)x=y=z=時(shí)，V 取得大值7（6）求由 y=x2，y=0，x=1 所圍區(qū)域上的二重積分 解 求解此積分時(shí)選擇積分次序十分重要，選擇不當(dāng)，可能求不出該積分=8（15）已知I=，由錐面z=與平面z=R0所圍部分（1）把I化為直角坐標(biāo)的三次積分；（2）把I化為柱面坐標(biāo)的三次積分；（3）把I化為球面坐標(biāo)的三次積分解（1）錐面z=與平面z=R的交線(xiàn)方程為 x2+y2=R2于是I=；（2）將錐面z=與平面z=R化為柱面坐標(biāo)方程后，求交線(xiàn)方程為=r=R，于是I=；（3）將錐面z=與平面z=R化為球面坐標(biāo)方程后，交線(xiàn)與z軸的夾角為=cos =sin ，=于是I=9（6）計(jì)算，積分路徑與方向如圖解 原式=-=-10（6）計(jì)算曲面積分I=（寫(xiě)出二次積分即可），是球面x2+y2+z2=R2下半部的下側(cè)解 I=-=-=-11（6）用級(jí)數(shù)證明：=0證 設(shè)，因=1由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，必有=012（6）求級(jí)數(shù) xn 的和函數(shù)，并求解 =|=1 R=1在x=1處，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)極限不為零，故其收斂域?yàn)閨x|1S(x)=xn=2xn-=2()-=2()-=-=，|x|1=S(-)=13（6）將 f (x)= 展成 x 的冪級(jí)數(shù)解f (x)=-=-，|x|1=xn，|x|114（6）求微分方程y+5y=3-2x 的通解解 這是二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程先求對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解由r2+5r=0，得r1=0，r2=-5，齊次方程的通解為Y=C1+C2e-5x因?yàn)閒 (x)=3-2x，m=1，=0，而=0，是特征單根，故設(shè)特解為y*=x(Ax+B)，代入原方程，得2A+10Ax+5B=3-2x得A=-，B=于是非齊次方程的通解為y= C1+C2e-5x -x+15（6）設(shè) f (x) 為可微分函數(shù)，且滿(mǎn)足f (x)=+1求： f (x)解 對(duì)f (x