第四章 轉(zhuǎn)動(dòng)參照系4.1 平面轉(zhuǎn)動(dòng)參照系考慮一旋轉(zhuǎn)的平面參照系，記為（如平板），其角速度沿軸，其原點(diǎn)與靜止坐標(biāo)系：的原點(diǎn)重合。令單位矢量、固著在平板上的軸和軸上，可表為。再考慮平板上的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，站在系上看，其位矢為 ， （4.1.1）而站在系上看，即為： 。 （4.1.1）由極坐標(biāo)下的公式（即1.2.8）可得 ， （4.1.2）對(duì)（4.1.1）關(guān)于求導(dǎo)，得質(zhì)點(diǎn)對(duì)靜坐標(biāo)系的速度（不是對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系平板，因?yàn)閷?duì)于平板而言，有）為 （4.1.3）其中應(yīng)為相對(duì)速度（即對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)參照系而言）；應(yīng)為牽連速度（），故可把式（4.1.3）寫為 。 （4.1.4）此與剛體力學(xué)中的公式比較可見此處多出了相對(duì)速度這一項(xiàng)，原因是剛體那里質(zhì)點(diǎn)間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。還可求得點(diǎn)對(duì)靜止坐標(biāo)系的加速度： （4.1.5）其中為相對(duì)加速度；為平板轉(zhuǎn)動(dòng)引起的向心加速度；為平板作變角速轉(zhuǎn)動(dòng)引起的切向加速度（勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為0）；向心加速度 + 切向加速度 = 牽連加速度；為科里奧利加速度。故（4.1.5）式又可寫成 （4.1.6）或簡寫為 。 （4.1.7）其中：（相對(duì)加速度）；（牽連加速度）；（科里奧利加速度）。分析一下科氏加速度是怎樣產(chǎn)生的：在靜系上看來，牽連運(yùn)動(dòng)（即）可使相對(duì)速度發(fā)生改變，而相對(duì)運(yùn)動(dòng)（即）又同時(shí)使?fàn)窟B速度中的發(fā)生改變。換言之，即科氏加速度是由牽連運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響所產(chǎn)生的。可見，轉(zhuǎn)動(dòng)參照系有別于平動(dòng)參照系，前者多出了一種新的所謂科氏加速度。4.2 空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系現(xiàn)討論更一般的空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系。令轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)與靜止坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，、為系上的單位矢量。任一矢量在系上可寫為 （4.2.1）在靜系上看到的的變化率應(yīng)為 （4.2.2）又，有 （4.2.3）（4.2.3）代入（4.2.2），得 （4.2.4）其中是、固定不動(dòng)時(shí)的變化率，稱為相對(duì)變化率（或地方變化率），它表示相對(duì)于的變化率；另一部分則是由于參照系轉(zhuǎn)動(dòng)并帶動(dòng)一起轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的牽連變化率。由（4.2.4）知 （4.2.5）式中為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于系的相對(duì)速度；是系轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的牽連速度。再求絕對(duì)加速度，類似于上有 （4.2.6）將（4.2.5）代入（4.2.6），得 + （4.2.7）又以表示相對(duì)加速度，則有：；另外又有 （4.2.9）故（4.2.7）式可改寫成 （4.2.10）由二重外積公式：其中可見這里比（4.16）式（即）更復(fù)雜。特例：當(dāng)系以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，（為點(diǎn)垂直引向轉(zhuǎn)動(dòng)軸的矢量）。這時(shí)方程（4.2.10）簡化為 。 （4.2.12）推廣到更一般情形，即系的原點(diǎn)與系的原點(diǎn)不重合，且有速度和加速度時(shí)，則有和（這時(shí)是牽連速度的一部分，即屬于之中；是牽連加速度的一部分，即屬于之中。此外注意應(yīng)改寫為）?！咀⒁狻浚骸敖^對(duì)”矢量都是在靜系中看到的，若從動(dòng)系上看，只能看到“相對(duì)”矢量。4.3 非慣性系動(dòng)力學(xué)（二）（1）平面轉(zhuǎn)動(dòng)參照系上兩節(jié)所講的轉(zhuǎn)動(dòng)參照系就屬于非慣性參照系，當(dāng)然轉(zhuǎn)動(dòng)參照系只是非慣性系的一種。對(duì)這種參照系，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不成立，因?yàn)?。雖然如此，但在1.6中我們已知，對(duì)非慣性系，只要將牽連部分作為牽連力（即慣性力），那么牛頓定律在形式上就仍然成立。本節(jié)研究轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中的動(dòng)力學(xué)，主要問題就是轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中慣性力應(yīng)當(dāng)如何表達(dá)。本段在平面轉(zhuǎn)動(dòng)參照系上研究問題。已知（4.1.6）： (4.3.1) (4.3.2)可見對(duì)于平面轉(zhuǎn)動(dòng)參照系而言，如果添上三種慣性力，那么牛頓定律形式上仍對(duì)系成立。這三種慣性力就是：由變角速轉(zhuǎn)動(dòng)引起的“變角速慣性力”： ；由系轉(zhuǎn)動(dòng)引起的“慣性離心力”： ；由系轉(zhuǎn)動(dòng)及質(zhì)點(diǎn)相對(duì)系運(yùn)動(dòng)引起的“科里奧利力”：。（2）空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系對(duì)于空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，與上述平面轉(zhuǎn)動(dòng)參照系類似，它也是非慣性參照系，故也要加上適當(dāng)?shù)膽T性力后，牛頓定律才能形式上成立。由（4.2.10）式（即）可知，當(dāng)系的原點(diǎn)和系的原點(diǎn)重合，并且繞點(diǎn)以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，且不一定為恒矢量時(shí)，則 （4.3.3）設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，受力為，則因，所以若將上式乘一，就可得 （4.3.4）或 （4.3.5）可見，因的轉(zhuǎn)動(dòng)，也產(chǎn)生了三種慣性力： 變角速慣性力： 慣性離心力： 科里奧利力： 如果系以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，則由式（4.2.12）（即）可得 。 (4.3.6)進(jìn)一步，考慮更一般的情況。如果系的原點(diǎn)不與系的原點(diǎn)重合，且對(duì)的加速度為，則由上節(jié)可得 (4.3.7)（3）相對(duì)平衡若質(zhì)點(diǎn)固于系不動(dòng) 物理意義：如果在非慣性系中看到質(zhì)點(diǎn)是平衡的（不動(dòng)），則一定是主動(dòng)力與牽連慣性力（包括平動(dòng)慣性力、變角速慣性力、瞬時(shí)慣性離心力）以及還可能存在著的約束反力相平衡。4.4 地球自轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的影響（1）慣性離心力地球有公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，屬非慣性參照系；公轉(zhuǎn)角速度很小，所產(chǎn)生的慣性離心力，約與太陽引力抵消；自轉(zhuǎn)角速度也很小（7.310-5弧度/秒），但卻產(chǎn)生了一些可以觀察到的現(xiàn)象；考慮地球自轉(zhuǎn)，可認(rèn)為角速度為恒矢（即），故可忽略變角速慣性力。還進(jìn)一步，若質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地球靜止（即），則又可忽略科里奧利力，因此這種情況下只需考慮剩下的慣性離心力。因重力=引力+離心慣性力，故慣性離心力的作用常使重力小于引力。（2）科里奧利力