第3章 多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量的概念1.二維隨機(jī)變量定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，記為: 稱為X與Y的分布函數(shù)，或稱X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)分布函數(shù)性質(zhì):1）是變量x和變量y的不減函數(shù)，(分別關(guān)于x和y有單調(diào)不減性)2），任意一邊趨于-.F(，)=1（用來確定未知參數(shù)）.3），即分別關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù),4）對(duì)于任意下述不等式成立(可用于判定二元函數(shù)是不是某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)):2.二維離散型隨機(jī)變量:定義:如果二維隨機(jī)變量(X,Y)只取有限對(duì)或可列無窮多對(duì)，則稱(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量其概率為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律，或隨機(jī)變量X和Y是聯(lián)合分布律性質(zhì):1.2.滿足以上兩條，即為二維離散型隨機(jī)變量的分布律.注；步驟:定取值,求概率,驗(yàn)證1.離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為，其中和式是對(duì)一切滿足的i,j來求和的邊緣分布定義:對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分量X和Y的分布律，聯(lián)合確定邊緣，但一般情況，邊緣不能確定的聯(lián)合，除非相互獨(dú)立.比如；有放回的摸球，就是X，Y相互獨(dú)立.不放回地摸球，是條件分布.3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度.對(duì)比一維的:概率密度:，分布律: 分布函數(shù):二維:定義:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為，若存在非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有，則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為(X,Y)的概率密度，或聯(lián)合概率密度.概率密度的性質(zhì):1. 02.只要具有以下兩條性質(zhì)，必可作為某二維隨機(jī)變量的概率密度.3. 已知(X,Y)的概率密度，則(X,Y)在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為:(作二重積分)(隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在平面區(qū)域D上的概率等于以平面區(qū)域D為底，以曲面頂?shù)牡漤數(shù)捏w積)4. 若在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則有(連續(xù)就能根據(jù)分布律求概率密度)1） 當(dāng)求時(shí)，它只是一條線，所以：2） 一個(gè)方程有無實(shí)根：，即求：均勻分布：定義:設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S，且,如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為，則稱(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布(或叫(X,Y)在D上服從均勻分布，記作.兩種特殊情形:1） D為矩形，時(shí)，2） D為圓形，如(X,Y)在以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓域上服從均勻分布，則(X,Y)的概率密度為:定義:對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y),分量X,Y的概率密度稱為(X,Y)關(guān)于X或Y的邊緣概率密度,記作X的分布函數(shù):（讓趨于正無窮）Y的分布函數(shù): （讓趨于正無窮）X的概率密度: Y的概率密度: （二維的邊緣概率密度是直接以聯(lián)合概率密度在負(fù)無窮到正無窮對(duì)對(duì)應(yīng)元素積分，其間需要對(duì)劃分區(qū)間的作分別積分）(X,Y)的概率密度:二維正態(tài)分布：二維正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì):1.,邊緣服從一維正態(tài)分布2.獨(dú)立（相關(guān)系數(shù)為，則兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立）3.(線性組合按一維正態(tài)處理)4. 服從二維正態(tài)（如：）條件分布:設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若，則稱為在條件下隨機(jī)變量X的條件分布律同樣地，若則稱為條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律變形，即得求聯(lián)合分布律的方法.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為.若對(duì)于固定的y,則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為稱為在Y=y的條件下，X的條件分布函數(shù)，記為PXx|Y=y或，即設(shè)F(x,y)及分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有x,y有PXx,Yy=PXxPYy,即，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，分別為(X,Y)的概率密度和邊緣概率密度，則X和Y相互獨(dú)立的條件等價(jià)于在平面上幾乎處處成立(除去面積為0的集合以外，處處成立)第二節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性1. 兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義:設(shè)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)有，則稱X與Y相互獨(dú)立.可用于判斷獨(dú)立性(隨機(jī)變量獨(dú)立,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,事件相互獨(dú)立)以上公式等價(jià)于:可類推至多個(gè)函數(shù)的情況.1)如果X,Y隨機(jī)變量獨(dú)立，(通過函數(shù)作用)則也獨(dú)立.(可類推至多個(gè)隨機(jī)變量的情況)例:X,Y獨(dú)立，則獨(dú)立.2)如果相互獨(dú)立，也相互獨(dú)立。如；相互獨(dú)立（沒有相同項(xiàng)）放回抽樣：樣本總數(shù)為，樣本點(diǎn)為：正有幾種選法，次有幾種取法。不放回抽樣：樣本總數(shù)為，樣本點(diǎn)為：正有多少種取法，次有多少種取法第三節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1. 離散弄隨機(jī)變量的函數(shù)分布2. 兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則Z=X+Y的分布函數(shù)為這里的積分區(qū)域:x+yz是直線x+y=z及其左下方的半平面公式法：令x=z-y(y =z-x)，得分布函數(shù):如果兩個(gè)變量獨(dú)立:對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)得Z的概率密度為適用用兩個(gè)變量的線性組合