學(xué)校 江蘇省洪澤中學(xué)教師 傅啟峰 平面向量的數(shù)量積 一般地 實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量 記作 a 它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下 1 a a 2 當(dāng) 0時(shí) a的方向與a方向相同 當(dāng) 0時(shí) a的方向與a方向相反 特別地 當(dāng) 0或a 0時(shí) a 0 復(fù)習(xí) 1 數(shù)乘的定義 設(shè)a b為任意向量 為任意實(shí)數(shù) 則有 a a a a a a b a b 2 數(shù)乘的運(yùn)算律 引入 我們學(xué)過(guò)功的概念 即一個(gè)物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s 如圖 s 力f所做的功w可用下式計(jì)算w f s cos 其中 是f與s的夾角 從力所做的功出發(fā) 我們引入向量數(shù)量積的概念 兩個(gè)非零向量a和b 作 則叫做向量a和b的夾角 若 a與b同向 若a與b反向 若 a與b垂直 記作 1 向量的夾角 2 平面向量的數(shù)量積的定義 注意 1 兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量 而不是向量 符號(hào)由夾角決定 2 a b不能寫(xiě)成a b 3 向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 1 已知 a 5 b 4 a與b的夾角 120 求a b 2 已知a 1 1 b 2 0 求a b 解 a 2 b 2 45 a b a b cos 2 2 cos45 2 練習(xí)2 過(guò)點(diǎn)b作 b cos 叫向量b在a方向上的投影 為銳角時(shí) b cos 0 為鈍角時(shí) b cos 0 為直角時(shí) b cos 0 我們得到a b的幾何意義 數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度 a 與b在a的方向上的投影 b cos 的乘積 3 平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì) 1 若a 0 則對(duì)任一向量b 有a b 02 若a 0 則對(duì)任一非零向量b 有a b 03 若a 0 a b 0 則b 04 若a b 0 則a b中至少有一個(gè)為05 若a 0 a b b c 則a c6 若a b a c 則b c 當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)成立7 對(duì)任意向量a b c 有 a b c a b c 8 對(duì)任一向量a 有a2 a 2 練習(xí)3 判斷正誤 4 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 已知向量和實(shí)數(shù) 則向量的數(shù)量積滿足 注意 數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律消去律 1 交換律 則 所以 2 若 證明 若 3 分析 a1 b1 3 證明 在平面內(nèi)取一點(diǎn) 作 即 在方向上的投影等于 在方向上的投影的和 即 即 5 平面向量數(shù)量積的常用公式 求證 1 2 證明 1 2 例2 已知 與的夾角為60 求 1 在方向上的投影 2 在方向上的投影 3 2 3 解 3 練習(xí) a銳角三角形 c鈍角三角形 d不能確定 b直角三角形 d c a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d不能確定 課堂小結(jié) 本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用 常見(jiàn)的題型主要有 1 直接計(jì)算數(shù)量積 定義式以及夾角的定