銳角三角函數(shù)例題精講模塊一三角函數(shù)基礎(chǔ)一、 銳角三角函數(shù)的定義如圖所示，在中，a、b、c分別為、的對(duì)邊（1）正弦：中，銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即（2）余弦：中，銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即 （3）正切：中，銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即注意： 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中給出的，要避免應(yīng)用時(shí)對(duì)任意三角形隨便套用定義 、分別是正弦、余弦、正切的數(shù)學(xué)表達(dá)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能理解為與、與、與的乘積 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分別是某個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比值，當(dāng)這個(gè)銳角確定后，這些比值都是固定值二、 特殊角三角函數(shù)三角函數(shù) 這些特殊角的三角函數(shù)值一定要牢牢記?。∪?、銳角三角函數(shù)的取值范圍在中，又，所以 四、三角函數(shù)關(guān)系 1同角三角函數(shù)關(guān)系： ， 2互余角三角函數(shù)關(guān)系： (1) 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值：；(2) 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值：； (3) 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值： 3銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律： (1)A、B是銳角，若AB，則；若AB，則(2) A、B是銳角，若AB，則；若AB，則(3) A、B是銳角，若AB，則；若AB，則【例1】 已知在中，是銳角，且，則 【鞏固】如圖，點(diǎn)在半徑為的上，以為圓心，為半徑作，設(shè)的弦與相切，求證為定值【例2】 求的值【鞏固】化簡(jiǎn)：【例3】 已知，求（1），（2）（）【鞏固】已知，求【例4】 已知為銳角，且，求的度數(shù)【鞏固】若為銳角，且，求的度數(shù)【例5】 已知（為銳角），求作以和為兩根的一元二次方程【鞏固】若方程的一個(gè)根是，則它的另一個(gè)根必是或【鞏固】已知：中，方程的兩根相等，求證【鞏固】在中，最大邊與最小邊的邊長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，求 的外接圓半徑和內(nèi)切圓的面積模塊二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根據(jù)直角三角形中已知的量（邊、角）來求解未知的量（邊、角）的過程就是解直角三角形二、直角三角形的邊角關(guān)系如圖，直角三角形的邊角關(guān)系可以從以下幾個(gè)方面加以歸納：（1）三邊之間的關(guān)系： (勾股定理)（2）銳角之間的關(guān)系：（3）邊角之間的關(guān)系：三、 解直角三角形的四種基本類型（1）已知斜邊和一直角邊(如斜邊，直角邊)，由求出，則， ；（2）已知斜邊和一銳角(如斜邊，銳角)，求出，；（3）已知一直角邊和一銳角(如和銳角)，求出，；（4）已知兩直角邊(如和)，求出，由，得具體解題時(shí)要善于選用公式及其變式，如可寫成，等四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括為：“有斜(斜邊)用弦(正弦，余弦)，無斜用切(正切，余切)，寧乘毋除，取原避中”這幾句話的意思是：當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，就用正弦或余弦；無斜邊時(shí)，就用正切或余切；當(dāng)所求的元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求得時(shí)，則用原始數(shù)據(jù)，盡量避免用中間數(shù)據(jù)五、解直角三角形的技巧及注意點(diǎn)在中，故，利用這些關(guān)系式，可在解題時(shí)進(jìn)行等量代換，以方便解題六、如何解直角三角形的非基本類型的題型對(duì)解直角三角形的非基本類型的題型，通常是已知一邊長(zhǎng)及一銳角三角函數(shù)值，可通過解方程(組)來轉(zhuǎn)化為四種基本類型求解；（1）如果有些問題一時(shí)難以確定解答方式，可以依據(jù)題意畫圖幫助分析；（2）對(duì)有些比較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，作輔助線的一般思路是：作垂線構(gòu)成直角三角形；利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊等七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角如圖（2）坡角與坡度：坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則坡度越大，坡面就越陡如圖（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)為北（南）偏東（西）度如圖八、解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位【例6】 如圖，某高層樓房與上海東方明珠電視塔隔江想望，甲、乙兩學(xué)生分別在這樓房的兩層，甲在層測(cè)得電視塔塔頂?shù)难鼋菫椋椎母┙菫?，乙在層測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋捎谒椎囊暰€被擋住，乙無法測(cè)得塔底的俯角，已知之間的高度差為，求電視塔高（用含的代數(shù)式表示）【例7】 一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖所示，其中背水面的整個(gè)坡面是長(zhǎng)為90米、寬為5米的矩形 現(xiàn)需將其整修并進(jìn)行美化，方案如下： 將背水坡的坡度由改為； 用一組與背水坡面長(zhǎng)邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花 （1）求整修后背水坡面的面積；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草至少需要多少元？【例8】 如圖，在某海域內(nèi)有三個(gè)港口、港口在港口北偏東方向上，港口在港口北偏西方向上一艘船以每小時(shí)海里的速度沿北偏東的方向駛離港口小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)位置處，此時(shí)發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每分鐘噸的速度滲入船內(nèi)當(dāng)船艙滲入的海水總量超過噸時(shí)，船將沉入海中同時(shí)在處測(cè)得港口在處的南偏東方向上若船上的抽水機(jī)每小時(shí)可將噸的海水排出船外，問此船在處至少應(yīng)以怎樣的航行速度駛向最近的港口?？?，才能保證船在抵達(dá)港口前不會(huì)沉沒（要求計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）？并指出此時(shí)船的航行方向【鞏固】海面上處有一貨輪正在向正南方向航行，其航行路線是當(dāng)它到達(dá)正南方時(shí)，在駛向正西方的目的地處，且海里，在中點(diǎn)處有一客輪，其速度為貨輪的一半，現(xiàn)在客輪要截住貨輪取一件貨物，于是選擇某一航向行駛?cè)ソ刈∝涊啠敲串?dāng)客輪截住客輪時(shí)至少航行了多少海里，它所選擇了怎樣的方向角？（路程保留整數(shù)海里，角度精確到度）課堂檢測(cè)1 （遼寧競(jìng)賽）如圖，湖心島上有一涼亭，現(xiàn)欲利用湖岸邊的開闊平整地帶，測(cè)量涼亭頂端到湖面所在平面的高度(見示意圖)，可供使用的工具有測(cè)傾器、皮尺（1）請(qǐng)你根據(jù)現(xiàn)有條件，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量涼亭頂端到湖面所在平面的高度的方案，畫出測(cè)量方案的平面示意圖，并將測(cè)量的數(shù)據(jù)標(biāo)注在圖形上（所測(cè)的距離用，表示，角用，表示，測(cè)傾器高度忽略不計(jì)）；（2）根據(jù)你所測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算涼亭到湖面的高度(用字母表示)2 化簡(jiǎn)：1 化簡(jiǎn)求值： （）2 若，且，求的值3 （2011甘肅蘭州）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化類似的，可以在等