探究 “投影”類中考題浙江省紹興市元培中學(xué)分部 柴鑒紅“投影”是現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材新增的一個知識點，也是近幾年數(shù)學(xué)中考中的一個亮點，其解題的核心是抓住某一時刻物高與影長的變化規(guī)律，應(yīng)用所學(xué)的有關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解決.為幫助同學(xué)把握“投影”的實質(zhì)，本文通過對近幾年中考題的剖析，來探究“投影”類中考題的變化，并對其解題方法進(jìn)行歸類分析.探究一：比例求高“投影”類題圖1題型1 （2006年成都市）如圖1，小華為了測量所住樓房的高度，他請來同學(xué)幫忙，在陽光下測量了同一時刻他自己的影長和樓房的影長分別是0.5米和15米.已知小華的身高為1.6米，那么他所住樓房的高度為_米.分析：本題的解題思路是把太陽光線看成平行光線，依據(jù)同一時刻物高與影長成正比，很容易求出小華所住樓房的高度為48米.變化11 如果物體的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：圖2（2007年寧波市）如圖2，在斜坡的頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點，CD是水平的，在陽光的照射下，塔影DE留在坡面上已知鐵塔底座寬CD=12 m，塔影長DE=18 m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高AB為( )(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m 分析：本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，理解鐵塔的影子是由坡面DE與平地BD兩部分組成.由題型1的經(jīng)驗得：塔影落在坡面部分的塔高塔影DE長小明的身高小明的影長；塔影落在平地部分的塔高塔影BD長小華的身高小華的影長.設(shè)塔影留在坡面DE部分的塔高為h1、塔影留在平地BD部分的塔高為h2，則鐵塔的高為h1+h2. h118 m1.6m2m h26m1.6m1 m h114.4m h29.6m 塔高AB為24m. 應(yīng)選A. 變化12 如果物體的投影一部分落在平地上，另一部分落在臺階上：圖3（2008年紹興市）興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.4米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖3，若此時落在地面上的影長為4.4米，則樹高為（ ）(A)11.5米(B)11.75米 (C)11.8米 (D)12.25米圖4分析：由題意畫出圖4，可知樹的影長有三部分BE、DE和CD，延長CD交AB于F后，就將樹的這三部分影長轉(zhuǎn)化為兩部分高BF和影長CF因為由矩形的性質(zhì)得，BE=DF=4.4m，BF=DE=0.3 m，所以，圖4CF=4.4m+0.2 m=4.6 m，再利用高AF與影長CF的比1 m0.4 m，求出AF=11.5 m，最后求出樹高AB= AF + BF =11.8 m. 因此應(yīng)選C.變化13 如果將上題中的DE改為斜坡，再改變部分已知條件：圖5（2006年梅州市）梅華中學(xué)九年級數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組某下午實踐活動課時，測量朝西教學(xué)樓前的旗桿AB的高度如圖5，當(dāng)陽光從正西方向照射過來時，旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的坪地C處，測得影長CE=2 m, DE=4m ,BD=20m，DE與地面的夾角在同一時刻，測得一根長為1m的直立竹竿的影長恰為4m根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿的高度（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）圖6分析：根據(jù)題意畫出示意圖6，對照上題，只要過點E作EHBD，垂足為H，延長CE交AB于F，即可將問題轉(zhuǎn)化成了上題的形式，求出旗桿的高度約為8.4 m.探究二：三角函數(shù)求高 “投影”類題題型2 （2007年福建龍巖）如圖7，當(dāng)太陽光與地面成角時，直立于地面的玲玲測得自己的影長為1.16m，則玲玲的身高約為 m（精確到0.01m）圖8圖7分析：由已知條件構(gòu)建RtABC，如圖8所示，則 BC=1.16m, ACB=，由三角函數(shù)的定義得，AB=BC tan1.66 m，即玲玲的身高約為1.66 m.變化21如果將太陽光改為照明燈，再適當(dāng)改變已知條件和問題的形式：圖9（2007年南寧市）如圖9所示，點P表示廣場上的一盞照明燈若小麗到燈柱MO的距離為4.5米，照明燈P到燈柱的距離為1.5米，小麗目測照明燈P的仰角為，她的目高QB為1.6米，試求照明燈P到地面的距離（結(jié)果精確到0.1米）分析：解此題的突破點是如何將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形先由已知條件在這個圖形中構(gòu)建矩形和直角三角形，過點Q作QEMO于，過點P作PFOB于F，交QE于點D，則PFQE，如圖10所示，這樣將求照明燈P到地面的距離轉(zhuǎn)化為求PD與DF的和圖10在RtPDQ中，由于PQD=，DQ= EQED=3mPD=DQ tan=3tan4.3（m）DF=QB=1.6 PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（m）照明燈到地面的距離為5.9 m.探究三：相似三角形求高 “投影”類題圖11題型3 （2007年大連市）如圖11，為了測量學(xué)校旗桿的高度，小東用長為3.2 m的竹竿做測量工具。移動竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時，竹竿與這一點相距8m，與旗桿相距22m，則旗桿的高為_m分析：本題用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，容易求出旗桿的高為12 m變化31如果將上題的太陽光線的平行投影改為燈具的中心投影，再適當(dāng)改變已知條件和問題的形式：圖12（2008年聊城市）如圖12，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點 ）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？分析：解此題的基本思路是在讀懂題目的基礎(chǔ)上，把復(fù)式的幾何圖形拆分成單一的幾何圖形，弄清小明站在A點的影長是AM，站在B點的影長是BN，兩者的差即為問題的答案由MACMOP，即，解得同樣由可求得所以，小明的身影變短了3.5米由上述分析可知，