則運(yùn)動(dòng)方程可表為 補(bǔ)充題一 證明在由兩種不同質(zhì)量M m M m 的原子所組成的一維復(fù)式格子中 如果波矢q取邊界值 a為相鄰原子間距 則在聲學(xué)支上質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動(dòng) 在光學(xué)支上質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng) 解 如圖所示 令為近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù) 01 34 設(shè)試探解 將試探解代入方程得到 由線性齊次方程組有非零解的條件得到 02 34 當(dāng) 代入原方程組得到 光學(xué)支 聲學(xué)支 當(dāng) 光學(xué)支 B 0 聲學(xué)支 A 0 03 34 解 格波總能量為 04 34 求和遍及鏈上所有原子 總能量對時(shí)間的平均值為 將 代入 得到 05 34 每個(gè)原子對時(shí)間的平均能量為 根據(jù)一維單原子鏈的色散關(guān)系 可以得到 06 34 補(bǔ)充例題三 求一維復(fù)式格子晶格振動(dòng)的總動(dòng)量 解 由 可以得到晶格振動(dòng)的總動(dòng)量 由 07 34 當(dāng) 當(dāng) 對于長光學(xué)支 對于長聲學(xué)支 08 34 解 在德拜模型下 晶體中的晶格振動(dòng)被看成彈性波 假定某支彈性波的方程為 補(bǔ)充例題四 利用德拜模型估算 1 在絕對零度下晶體中原子的均方位移 2 在非零溫度下原子均方位移和溫度的關(guān)系 則由該支格波引起的對時(shí)間的均方位移為 09 34 假定晶體的體積為V 密度為D 則相應(yīng)這支格波的平均動(dòng)能為 1 由于絕對零度下相應(yīng)于頻率為的零點(diǎn)能為 相應(yīng)于頻率為的那支格波引起的原子均方位移為 10 34 考慮到晶體中存在有許多不同頻率 不同模式的格波 因此總的均方位移應(yīng)對所有不同格波進(jìn)行求和 又由于各振動(dòng)模式間是相互獨(dú)立的 因此有 當(dāng)N足夠大時(shí) 振動(dòng)頻率趨于連續(xù) 求和可以用積分代替 11 34 將德拜模型的頻率分布函數(shù)及最大頻率代入得 2 非零溫度下相應(yīng)于某頻率的格波的平均能量應(yīng)為格波能量和該溫度下該格波的平均聲子數(shù)之積 即 12 34 則在該溫度下相應(yīng)于該頻率的原子均方位移為 于是對應(yīng)該溫度下的原子均方位移為 則相應(yīng)該格波的平均動(dòng)能為 13 34 3 2討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈 相鄰原子間距為a 其2N個(gè)格波解 當(dāng)M m時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng) 解 質(zhì)量為M的原子位于2n 1 2n 1 2n 3 質(zhì)量為m的原子位于2n 2n 2 2n 4 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 N個(gè)原胞 有2N個(gè)獨(dú)立的方程 14 34 方程的解 代回到運(yùn)動(dòng)方程 A B有非零解 15 34 兩種不同的格波的色散關(guān)系 對應(yīng)一個(gè)q有兩支格波 一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波 總的格波數(shù)目為2N 16 34 兩種色散關(guān)系如圖所示 17 34 長波極限情況下 與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致 18 34 3 3質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈 最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)等于和 并且最近鄰的間距1 求出色散關(guān)系和分析計(jì)算處格波的頻率值2 大致畫出色散關(guān)系圖 解 綠色標(biāo)記的原子位于2n 1 2n 1 2n 3 紅色標(biāo)記原子位于2n 2n 2 2n 4 19 34 第2n個(gè)原子和第2n 1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程 體系N個(gè)原胞 有2N個(gè)獨(dú)立的方程 方程的解 令 20 34 A B有非零的解 系數(shù)行列式滿足 21 34 兩種色散關(guān)系 22 34 色散關(guān)系圖 兩種色散關(guān)系 23 34 解 1 以表示位于l列m行 l m 的原子在垂直所在平面方向離開平衡位置的位移 僅考慮近鄰原子的作用有 24 34 補(bǔ)充例題五 設(shè)有由相同原子組成的二維正方格子點(diǎn)陣 原子的質(zhì)量為M 晶格常數(shù)為a 近鄰原子的恢復(fù)力常數(shù)為 1 假定原子只作垂直表面的橫向振動(dòng) 求橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系 2 假定原子只在表面內(nèi)振動(dòng) 求其晶格振動(dòng)的色散關(guān)系 3 在長波情況下 求出橫向晶格振動(dòng)的頻率分布函數(shù) 令試探解為 得到 2 在平面內(nèi)的原子位移為矢量 表為 所受的力為 則有 25 34 令試探解為 可以得到 于是得到頻譜關(guān)系 26 34 3 在長波情況下 橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系為 相應(yīng)的頻率分布函數(shù)為 則 27 34 3 6計(jì)算一維單原子鏈的頻率分布函數(shù) 設(shè)單原子鏈長度 波矢取值 每個(gè)波矢的寬度 狀態(tài)密度 dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù) 對應(yīng) q 取值相同 d 間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目 28 34 一維單原子鏈色散關(guān)系 令 兩邊微分得到 d 間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目 29 34 代入 頻率分布函數(shù) 30 34 三維晶格振動(dòng)的態(tài)密度 dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù) 對兩邊微分得到 31 34 將dq和代入 得