初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué) 經(jīng)典教材系列 老人教版初中幾何第一冊(cè)第一章 線段、角一、教法建議拋磚引玉 學(xué)生初次接觸到幾何這一獨(dú)立的的課程.不少學(xué)習(xí)過(guò)幾何的人感到幾何難學(xué),其實(shí)幾何不難學(xué). 從內(nèi)容上看, 幾何學(xué)習(xí)不單純停留在數(shù)量關(guān)系方面，而要兼顧數(shù)量和圖形兩個(gè)方面，重點(diǎn)研究圖形的性質(zhì)；就思維方法而言，要求較高的邏輯思維能力，所以一開始就要指導(dǎo)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)方法，從生活實(shí)際抽象出幾何圖形，掌握?qǐng)D形性質(zhì)，建立幾何語(yǔ)言，培養(yǎng)邏輯思維能力.指點(diǎn)迷津 直線、射線、線段是平面幾何最基本的圖形，要嚴(yán)格區(qū)分這三個(gè)概念. 畫圖，表示的應(yīng)該準(zhǔn)確無(wú)誤，學(xué)習(xí)時(shí)要先理解后畫圖，并熟悉畫圖工具的使用.角和角的有關(guān)概念，是平面幾何中最重要的基本概念. 課本上用兩種方法講述了角的概念. 首先要搞清角的定義，它指出了角的兩個(gè)基本屬性：（1）兩條射線；（2）兩條射線必須有公共點(diǎn). 由此可知，角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，且為正確表示角提供了基礎(chǔ). 課本上還利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，根據(jù)角的形成講述了另一個(gè)定義，為平角和周角的形成提供了條件. 關(guān)于定義、公理的教學(xué). 平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的學(xué)科. 圖形性質(zhì)是用定義、公理和定理的形式描述的. 定義是從原始概念（不定義的概念）開始的，定理是以公理為基礎(chǔ)推銜的. 定理是需要推理論證的，但由于知識(shí)的限制，不能過(guò)早的出現(xiàn)，因而先出現(xiàn)定義和公理，以便學(xué)生即早的了解學(xué)習(xí)幾何的基本內(nèi)容. 學(xué)習(xí)開始就要注意把概念的文字語(yǔ)言、幾何圖形和字母符號(hào)表達(dá)結(jié)合起來(lái)，從這三方面來(lái)理解概念訓(xùn)練學(xué)生（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出相應(yīng)的圖形來(lái)，（2）依據(jù)圖形的字母寫出幾何符號(hào)表示的數(shù)量關(guān)系；（3）能依據(jù)圖形和幾何符號(hào)表達(dá)式的關(guān)系，翻譯成文字語(yǔ)言. 二、學(xué)海導(dǎo)航入門導(dǎo)引 學(xué)會(huì)幾何語(yǔ)言. 幾何的文字語(yǔ)言有它的獨(dú)立風(fēng)格，如“點(diǎn)在直線上”，“延長(zhǎng)至，使”“反向延長(zhǎng)”“順次截取”“有且只有”等等. 這些語(yǔ)言可分兩類，一類是從學(xué)習(xí)幾何圖形的定義和性質(zhì)中來(lái)；一類是從畫幾何圖形的動(dòng)作中來(lái)，因而對(duì)幾何圖形性質(zhì)的描述詞句，要一一認(rèn)真理解其定義，并學(xué)會(huì)應(yīng)用；對(duì)動(dòng)作語(yǔ)言，要在畫圖中學(xué)習(xí)，邊想、邊畫、邊敘述. 學(xué)會(huì)畫圖和認(rèn)圖. 畫圖要力求正確、整潔、美觀. 首先要學(xué)會(huì)使用畫圖工具，如直尺、圓規(guī)和量角器. 畫直線要直，畫直角要成90，這是學(xué)好幾何的基本功，作業(yè)要認(rèn)真仔細(xì)，不能涂涂抹抹. 學(xué)會(huì)看圖也很重要. 辨認(rèn)圖形要根據(jù)圖形的定義，不能想當(dāng)然. 如下圖. （1） 哪條線是直線？（2）哪個(gè)角是鈍角？l1、l2、l 3都是是直線，l1是標(biāo)準(zhǔn)位置下的直線，相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)位置的直線，可稱作“變式”圖形. l1、l2、l3都是鈍角，l1是標(biāo)準(zhǔn)位置下的圖形，l2、l3是相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)位置下的“變式”圖形. 經(jīng)?？偨Y(jié)對(duì)比. 總結(jié)、比較是學(xué)好知識(shí)的重要方法，學(xué)習(xí)幾何也不例外. 開始學(xué)習(xí)幾何概念比較多，且有相似或相近的概念，這樣用比較法區(qū)分它們的異同，有助于學(xué)好幾何知識(shí). 如：直線、射線、線段；周角、平角、鈍角、直角、銳角；互為余角、互為補(bǔ)角；兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離等等. 掌握幾何圖形的文字?jǐn)⑹稣Z(yǔ)言、圖形和符號(hào)表示的三位一體. 如：角的定義敘述為，有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角. 圖形 表示：AOB或1 思維基礎(chǔ)I 直線、射線、線段概念直線射線線段AB aOALA BL圖形畫法及表示法過(guò)A、B兩點(diǎn)畫直線AB或直線L，直線AB或直線L畫射線OA射線OA射線L連結(jié)AB線段AB或線段a端點(diǎn)無(wú)一個(gè)兩個(gè)延長(zhǎng)線無(wú)可向一方延長(zhǎng)可向兩方延長(zhǎng)基本性質(zhì)兩點(diǎn)確定一條直線，兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)兩點(diǎn)之間線段最短II 角精典解題思維訓(xùn)練: 選擇填空?qǐng)D中，圓周上有5個(gè)點(diǎn)，過(guò)每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，共可以畫_條直線，這些直線在圓中有_個(gè)交點(diǎn). 揭示思路：過(guò)兩點(diǎn)可以畫幾條直線？?jī)蓷l直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)？根據(jù)公理“過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”，又根據(jù)直線的性質(zhì)，每?jī)蓷l直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，所以圖中可以畫. AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE；CD、CE；DE共10條. 交點(diǎn)有A、B、C、D、E；F、G、H、M、N共10個(gè). 思維訓(xùn)線練3 選擇填空一個(gè)銳角的余角，是這個(gè)銳角的補(bǔ)角的，這個(gè)銳角是（ ）（A）22.5 （B）67.5 （C）36 （D）72揭示思路：題目中說(shuō)了幾種角？題目中敘述了幾個(gè)角的關(guān)系？什么是銳角？什么是互余的角？什么是互補(bǔ)的角？題目中說(shuō)了三個(gè)角，一個(gè)銳角和它的余角，這個(gè)余角的補(bǔ)角. 為了說(shuō)明它們的相互關(guān)系，可設(shè)這個(gè)銳角為，它的余角為，這個(gè)余角的補(bǔ)角為. 則有下述關(guān)系：+=90+=180= 解得 =67.5故應(yīng)選擇（B）思維訓(xùn)練4 選擇填空畫一個(gè)鈍角AOB，然后以O(shè)為頂點(diǎn)，以O(shè)A為一邊，在角的內(nèi)部畫一條射線OC，使AOC=90.根據(jù)上述題目要求，畫出了下列四個(gè)圖形. 請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)圖形符合題目的要求. 正確答案是（ ） 揭示思路：什么是角？什么是鈍角？什么是角的頂點(diǎn)？什么是角的邊？90的角是什么角？明確上述概念后，逐一用題目要求的條件去衡量.（A）射線OC作到了AOB的外部了.（B）90角作成了以O(shè)B為一邊了，則AOC90.（C）射線OC作到AOB的外部了，又90角以O(shè)B為一邊了.（D）符合條件.應(yīng)選擇（D）錯(cuò)例研究思維訓(xùn)練1 下列說(shuō)法錯(cuò)在什么地方.（1）延長(zhǎng)射線OP；（2）畫一條長(zhǎng)5cm的直線；（3）一條直線上從左至右依次有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，則射線AC比射線BC長(zhǎng)；（4）直線可看成平角；（5）補(bǔ)角是余角的2倍.揭示思路：直線、射線、線段各有什么特征？什么是平角？什么是互余的角？什么是互補(bǔ)的角？上述5個(gè)說(shuō)法都是錯(cuò)誤的.根據(jù)直線、射線、線段的特征和屬性，可以規(guī)納為：直線沒(méi)有端點(diǎn)，向兩方無(wú)限延伸；射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無(wú)限延伸，它們的長(zhǎng)度都不能度量，不能比較長(zhǎng)短，直線不能延長(zhǎng). 所以（1）（2）（3）都不正確.只有線段可以延長(zhǎng)，可以度量，可以比較長(zhǎng)短，射線只能向一方延長(zhǎng).角與直線、射線的意義不同. 一條直線不是一個(gè)平角，平角是有公共端的兩條射線組成的，兩條射線恰好在一條直線上，直線不是兩條射線，它也沒(méi)有端點(diǎn).單獨(dú)說(shuō)一個(gè)角是余角，是補(bǔ)角是沒(méi)有意義的. 互余的角和互補(bǔ)的角說(shuō)的是兩個(gè)角的關(guān)系.如果兩個(gè)角互為余角時(shí)，一個(gè)角是另一個(gè)角的余角. 兩個(gè)角互為補(bǔ)角時(shí)，一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角. 所以說(shuō)“補(bǔ)角是余角的兩倍”是錯(cuò)誤的.思維訓(xùn)練2 下面畫圖是錯(cuò)誤的，正確的應(yīng)該怎么畫.已知線段a、b、c（a b）畫一條線段等于a - b + c.揭示思路： 畫一條線段等于已知線段 a，怎樣畫？畫一條線段等于兩條已知線段a，b的和，怎么畫？畫一條第線段等于兩條已知線段 a、b（a b ）的差，怎樣畫？畫一條線段等于已知線段a. 畫一條射線AC，在射線AC上用圓規(guī)截取AB= a . AB就是所要求畫的線段. 已知線段a 畫一條線段等于兩條已知線段a、b的和.畫一條直線，在直線上畫一條線段AB= a，再在AB的延長(zhǎng)線上畫線段BC= b，線段AC= a + b. 畫一條線段等于兩條已知線段a、b（ a b）的差.在直線上畫線段AB = a , 再在線段AB上畫線段AC或BC等b. BC或AC就是所要求的線段. BC= a - b AC = c - b 本例 a - b + c正確的畫圖是 a + c - b 即CD = a + c - b = a - b + c . 為所要求的線段.減去的線段要從整體線段的一端去減，不能從中間去減.創(chuàng)新園地 將兩塊直角三角板疊在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于O（如圖）（1）AOB + DOC 是多少度？能確定嗎？ （2）AOD與COB 是什么關(guān)系？ （3）AOB與DOC 是什么關(guān)系？三、智能顯示心中有數(shù) 本章概念多，它又是以后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，要注意培養(yǎng)概括、閱讀和表達(dá)能力，需要注意檢查的概念有：有關(guān)直線的公理和性質(zhì)，有關(guān)線段的公理，角和角的分類，線段中點(diǎn)和角平分線等.動(dòng)手動(dòng)腦 1. 下列關(guān)系式與圖形所表示的條件，不相符的是（ ）.（A）AB + CB = AD - BC （B）AC + CD = AB - BD（D）AB - CD = AC + BD（D）AD - AC = CB - DB2. 平面內(nèi)有兩兩相交的三條直線，如果說(shuō)最多有m個(gè)交點(diǎn)，最少有n個(gè)交點(diǎn).那么m-n的值是（ ）.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3. 從點(diǎn)O發(fā)出的5條射線，可以組成的角最多有（ ）.（A）4個(gè) （B）5個(gè) （C）7個(gè) （D）10個(gè)4. C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段BC的中點(diǎn)，下列式子不正確的是（ ）. （A）CD = CB （B）AB = 2AC （C）BD = AB （D）CD = AB - BD 5. 已知線段a、b、c（ a b），畫一條線段等于： （1）2 a - b （2）2 ( a - b ) 6. 已知線段AB = 18 cm，M是AB中點(diǎn)，C是AB上一點(diǎn)，且AC = 5BC， 求MC的長(zhǎng). 7. 若A與B互為補(bǔ)角，且A：B = 1：2，求A - B的度數(shù). 8. AOC = 30，BOC = 120，OD平分AOC， OE平分BOC， 求EOD的度數(shù).參考答案：1. A 2. B 3. D 4. D 5. 略 6. 6 cm 7. 20 8. 75 四、同 步 題 庫(kù) 一、填空題 1. 長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)間距離. 2. 和 都是直線的一部分. 3.已知AB=a厘米，CD=b厘米，若a=b，則AB CD,若ab，則AB CD，若CDAB，a b. 4.已知線段AB=8，延長(zhǎng)AB到C，使AC=3AB，M、N為AB、BC的中點(diǎn)，則NM= . 5.角可以看成一條 繞著一個(gè)端點(diǎn)從一個(gè)位置 另一個(gè)位置所成的圖形. 6.兩角的 這兩個(gè)角叫互為補(bǔ)角， 的補(bǔ)角相等. 7.如圖1-10，用三種方法分別表示角 ， ， . 圖1-10 圖1-11 8.比較兩個(gè)角的大小可能有 、 、 . 9.如圖1-11，AOC和BOD都是直角，則角 =角 . 10.38.32= 度 分 秒. 11.若=1730，則它的余角是 ，補(bǔ)角是 . 12.如圖1-12，BOC= - = - = - - . 圖1-12 圖1-13 13.如圖1-13中有 個(gè)角，把它們表示出來(lái) . 14.下列各角中57、3512、125、90、13729、35612、52135、120、17542是銳角 個(gè)，鈍角的有 個(gè). 15.若1和2互補(bǔ)，21-2=30，則1= ，2= . 二、選擇題 16.如圖1-14中共有線段 條. (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 圖1-14 圖1-15 17.下列說(shuō)法正確的是 . （A）由兩條射線組成的叫角 （B）射線就是周角，直線就是平角 （C）如圖1-5中AOB可以用O表示 （D）AOB和BOA是同一個(gè)角 18.下列說(shuō)法正確的是 . （A）如果=180-，則是補(bǔ)角 （B）如果+=90，則是余角 （C）40的角是50的角的余角 （D）余角是補(bǔ)角的一半 19.若一個(gè)角的余角等于它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)為 . （A）30 （B）45 （C）60 （D）90 20.下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是 . (A)B是線段AC的中點(diǎn)，則BC=AC （B）直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫射線 （C）一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫這個(gè)角的平分線 （D）同角的余角相等 21.如果一個(gè)角等于它的余角的3倍，那么這個(gè)角是它補(bǔ)角的 . (A) (B) (C) (D) 22.一個(gè)角比它的補(bǔ)角的一半少30，那么這個(gè)角等于 . (A)30 (B)45 (C)40 (D)90 23.互為補(bǔ)角的兩個(gè)角 . (A) 只和位置有關(guān) （B）只和數(shù)量有關(guān) （C）和位置、數(shù)量都有關(guān) （D）和位置、數(shù)量都無(wú)關(guān) 24.如圖1-16，AOB=COD=BOE，那么相等的角有 對(duì). (A)2 (B)3(C)4 (D)5 25.如果1和2是鄰補(bǔ)角，且12，那么2的余角是 . (A)(1+2)(B)1 (C)(1-)(D）1-2 圖 1-16 26在同一平面內(nèi)有4個(gè)不重合的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)每?jī)牲c(diǎn)作一直線，最多可作直線的條數(shù)是 . (A)4(B)5(C)6 (D)7 27.如圖1-17，把一個(gè)平角分成若干個(gè)角，其中銳角有 個(gè). (A)5(B)5(C)7(D)8 圖1-17 28.如果A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，A到B的距離是8厘米，B到C的距離是3厘米，那么A、C兩點(diǎn)的距離是 . （A）11厘米（B）5厘米 （C）5或11厘米（D）無(wú)法確定 29.從2時(shí)整到4時(shí)30分，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 . (A)25(B)65(C)75（D）135 30.點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離為20厘米，有一點(diǎn)Q，如果QM+QN=20厘米，那么下列結(jié)論正確的是 . （A）點(diǎn)Q必在線段MN的延長(zhǎng)線上 （B）點(diǎn)Q必在線段NM的延長(zhǎng)線上 （C）點(diǎn)Q必在線段MN外 （D）點(diǎn)Q必在線段MN上 31.已知線段AB，在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，使BC=3AB，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使DA=2AB，求 (1) 線段AC等于線段AB的幾倍？ （2）線段AB等于線段DB的幾分之幾？ （3）線段DB等于線段DC的幾分之幾？ 32.計(jì)算 180-1103735 33.計(jì)算 171435 34.一個(gè)角的補(bǔ)角與它的余角的2倍的差是平角的,求這個(gè)角. 35.一個(gè)銳角和它的鄰補(bǔ)角以及它的余角的和是直角的,求這個(gè)銳角? 36.如圖1-18,A、O、E三點(diǎn)在一條直線上，AOC=BOD=105，BOC=50，求DOE的度數(shù). 圖1-18 37.線段AB=54cm，C是AB的中點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn)，且CD=2AD，E是BC的中點(diǎn)，求線段DE的長(zhǎng). 38.如圖1-19，AC=BD，E為CD的中點(diǎn)，求證：E為AB的中點(diǎn). 39.如圖1-20，AOD=BOE，OC是DOE的平分線，求證：OC是AOB的平分線. 圖1-19 圖1-20 40.B、C兩點(diǎn)把線段AD分成2:3:4三部分，M是線段AD的中點(diǎn)，CD=12厘米，求（1）MC的長(zhǎng)；（2）AB:BM的值.參 考 答 案 同步題庫(kù) 一、填空題 1.連結(jié)兩點(diǎn)的線段 2.射線、線段 3.=， 4.12 5.射線，旋轉(zhuǎn)到 6.和為平角，同角或等角 7. ，AOB，O 8.大于、小于或等于 9.AOB、DOC 10.381912 11.7230、16230 12.AOC，AOB，BOD，COD，AOD，AOB，COD 13.8，D，A，B，C，DAC，BAC，DCA，ACB 14.4,4 15.70,110 二、選擇題 16.D 17.D 18.C 19.B 20.C 21.C 22.C 23.B 24.D 25.C 26.C 27.B 28.C 29.C 30.D 三、解答題 31.解：依題意得：（1） BC=3AB，AC=AB+BC AC=4AB（2） DA=2AB DB=DA+AB DB=2AB+AB =3AB因此，AB=DB（3） DB=DA+AB=3AB 又 DC=DA+AB+BC =2AB+AB+3AB =6AB DC=2DB DB=DC32.解：180-1103735=1795960-1103735 =6922253