珠穆朗瑪教育：讓學(xué)生達(dá)到自己人生的珠峰！珠穆朗瑪數(shù)學(xué)教案2014-07 數(shù)學(xué)高三函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 1.函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義 (2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. (3) 若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),當(dāng)f(x)0時(shí),f(x)為增函數(shù);當(dāng)f(x)0時(shí),f(x)為減函數(shù). 2. 函數(shù)的最值1.(2010福建)下列函數(shù)f(x)中,滿(mǎn)足“對(duì)任意x1,x2(0,+),當(dāng)x1f(x2)”的是( ) A. f(x)=1/x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)= D.f(x)=ln(x+1) 答案:A 答案:B 類(lèi)型一 函數(shù)單調(diào)性的判定與證明 解題準(zhǔn)備:判斷函數(shù)的單調(diào)性的常見(jiàn)方法有三種:定義法直接法圖象法. 1.用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟: (1)取值:設(shè)x1,x2為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)值,且x10; (2)作差變形:作差y=f(x2)-f(x1),并通過(guò)因式分解配方有理化等方法,向有利于判斷差值符號(hào)的方向變形; (3)定號(hào):確定差值y的符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí),可考慮分類(lèi)討論; (4)判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論. 2.直接法:運(yùn)用已知的結(jié)論,直接得到函數(shù)的單調(diào)性.如一次函數(shù)二次函數(shù)反比例函數(shù)的單調(diào)性均可直接說(shuō)出. 3.圖象法:是根據(jù)函數(shù)的圖象直觀(guān)判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法. 例1.判斷函數(shù)f（x)= （a不為零）在區(qū)間（-1,1）上的單調(diào)性.類(lèi)型二 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 解題準(zhǔn)備:因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以結(jié)合圖象可得奇函數(shù)在(a,b)與(-b,-a)上的單調(diào)性相同.因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以偶函數(shù)在(a,b)與(-b,-a)上的單調(diào)性相反. 例2.已知f(x)=是奇函數(shù)，（1） 求a,b的值（2） 求f(x)的單調(diào)區(qū)間（3） 求f(x)（x0)的最值 x21+10,x22+10,x2-x10, 而x1,x20,1時(shí),x1x2-10, 當(dāng)x1,x20,1時(shí),f(x1)-f(x2)0, 函數(shù)y=f(x)是減函數(shù). 又f(x)是奇函數(shù), f(x)在-1,0上是增函數(shù),在(-,-1上是減函數(shù). 又x0,1,u-1,0時(shí),恒有f(x)f(u),等號(hào)只在x=u=0時(shí)取到,故f(x)在-1,1上是增函數(shù). (3)由(2)知函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增,在1,+)上遞減,則f(x)在x=1處可取得最大值. f(1)=1/2y， 函數(shù)的最大值為1/2,無(wú)最小值. 類(lèi)型三 求函數(shù)的最值 解題準(zhǔn)備:(1)若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù),常用配方法. (2)利用函數(shù)的單調(diào)性求最值:先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,然后利用單調(diào)性求最值. (3)基本不等式法:當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時(shí)常用此法. (4)導(dǎo)數(shù)法:當(dāng)函數(shù)較復(fù)雜(如指對(duì)數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式結(jié)合)時(shí),一般采用此法. (5)數(shù)形結(jié)合法:畫(huà)出函數(shù)圖象,找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義,在圖上找其變化范圍. 例3.已知函數(shù)f(x）= 定義域?yàn)?,+)（1） 當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)的最小值（2） 當(dāng)a=0.5時(shí)，求f(x)的最小值（3） 當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，求f(x)的最小值類(lèi)型四 抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值 解題準(zhǔn)備:抽象函數(shù)是近幾年高考的熱點(diǎn),研究這類(lèi)函數(shù)性質(zhì)的根本方法是“賦值”,解題中要靈活應(yīng)用題目條件賦值轉(zhuǎn)化或配湊. 【典例4】 函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bR,都有f(a+b