4 1 2圓的一般方程 1 正確理解圓的一般方程及其特點 2 能進行圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 3 會求圓的一般方程以及簡單的軌跡方程 1 2 3 用 待定系數(shù)法 求圓的方程的大致步驟 根據(jù)題意 選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程 根據(jù)條件列出關(guān)于a b r或d e f的方程組 解出a b r或d e f 代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程 1 2 歸納總結(jié)1 圓的一般方程的特點 1 x2 y2項的系數(shù)相等且不為零 如果x2 y2項的系數(shù)為不是1的非零常數(shù) 只需在方程兩邊同時除以這個數(shù) 系數(shù)就可變?yōu)? 2 沒有xy項 3 d2 e2 4f 0 2 關(guān)于x y的二元二次方程ax2 by2 cxy dx ey f 0表示圓的條件是 1 a b 0 2 c 0 3 d2 e2 4af 0 1 2 做一做1 1 圓x2 y2 2x 4y 0的圓心坐標(biāo)是 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 1 2 做一做1 2 圓x2 y2 6x 8y 0的半徑等于 a 3b 4c 5d 25 1 2 2 軌跡方程點m的坐標(biāo) x y 滿足的關(guān)系式稱為點m的軌跡方程 知識拓展當(dāng)動點m的變化是由點p的變化引起的 并且點p在某一曲線c上運動時 常用中間量法 又稱為相關(guān)點法 來求動點m的軌跡方程 其步驟是 1 設(shè)動點m x y 2 用點m的坐標(biāo)來表示點p的坐標(biāo) 3 將所得點p的坐標(biāo)代入曲線c的方程 即得動點m的軌跡方程 1 2 做一做2 已知點p x0 y0 是圓x2 y2 4上的動點 點m是op o是原點 的中點 則動點m的軌跡方程是 答案 x2 y2 1 1 2 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的對比剖析 1 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 可以直接看出圓心坐標(biāo) a b 和半徑r 圓的幾何特征明顯 2 由圓的一般方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程 圓的代數(shù)特征明顯 3 相互轉(zhuǎn)化 如圖所示 1 2 2 由圓的一般方程判斷點與圓的位置關(guān)系剖析 已知點m x0 y0 和圓的方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 則其位置關(guān)系如下表 題型一 題型二 題型三 例1 判斷關(guān)于x y的方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0能否表示圓 若能表示圓 求出圓心坐標(biāo)和半徑 解法一 由方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0 可知d 4m e 2m f 20m 20 則d2 e2 4f 16m2 4m2 80m 80 20 m 2 2 當(dāng)m 2時 d2 e2 4f 0 原方程表示一個點 當(dāng)m 2時 d2 e2 4f 0 原方程表示圓的方程 此時 圓的圓心坐標(biāo)為 2m m 半徑為r 題型一 題型二 題型三 解法二 原方程可化為 x 2m 2 y m 2 5 m 2 2 當(dāng)m 2時 原方程表示一個點 當(dāng)m 2時 原方程表示圓的方程 此時 圓的圓心坐標(biāo)為 2m m 半徑為 反思形如x2 y2 dx ey f 0的二元二次方程 判定其是否表示圓時有如下兩種方法 1 由圓的一般方程的定義判斷d2 e2 4f是否為正 若d2 e2 4f 0 則方程表示圓 否則不表示圓 2 將方程配方變形成 標(biāo)準(zhǔn) 形式后 根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征 觀察是否可以表示圓 題型一 題型二 題型三 變式訓(xùn)練1 若關(guān)于x y的方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圓 求 1 實數(shù)m的取值范圍 2 圓心坐標(biāo)和半徑 解 1 根據(jù)題意知d2 e2 4f 2m 2 2 2 4 m2 5m 0 即4m2 4 4m2 20m 0 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 反思當(dāng)給出的條件與圓心坐標(biāo) 半徑有關(guān) 或者由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和半徑時 一般用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較方便 否則 用圓的一般方程較好 特別是當(dāng)給出圓上的三點坐標(biāo)時 用一般方程可以得到關(guān)于d e f的三元一次方程組 這比用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡便得多 題型一 題型二 題型三 題型一 題型二 題型三 例3 等腰三角形的頂點是a 4 2 底邊一個端點是b 3 5 求另一個端點c的軌跡方程 并說明它的軌跡是什么 解 設(shè)另一端點c的坐標(biāo)為 x y 依題意 得 ac ab 由兩點間的距離公式 得 這是以點a 4 2 為圓心如圖所示 又因為a b c為三角形的三個頂點 所以a b c三點不共線 即點b c不能重合且b c不能為圓a的一條直徑的兩個端點 題型一 題型二 題型三 因為點b c不能重合 所以點c不能為 3 5 又因為點b c不能為一條直徑的兩個端點 題型一 題型二 題型三 反思1 求軌跡方程的三種常用方法 1 直接法 根據(jù)題目條件 建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)出動點坐標(biāo) 找出動點滿足的條件 然后化簡 證明 2 定義法 動點的運動軌跡符合圓的定義時 可利用圓的定義寫出動點的軌跡方程 3 代入法 若動點p x y 依賴于某圓上的一個動點q x1 y1 而運動 先把x1 y1用x y表示 再將點q的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中 得出點p的軌跡方程 題型一 題型二 題型三 2 求曲線的軌跡方程要注意以下三點 1 根據(jù)題目條件 選用適當(dāng)?shù)那筌壽E方程的方法 2 看準(zhǔn)是求軌跡 還是求軌跡方程 軌跡是軌跡方程所表示的曲線 圖形 3 檢