精品文檔 1歡迎下載 1 平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設點 P x y 是平面直角坐標系中的任意一點 在變換 的作用下 點 P x y 對應到點 稱為平面直角 坐標系中的坐標伸縮變換 簡稱伸縮變換 2 極坐標系的概念 1 極坐標系 如圖所示 在平面內取一個定點 叫做極點 自極點引 一條射線 叫做極軸 再選定一個長度單位 一個角度單位 通常取弧度 及其 正方向 通常取逆時針方向 這樣就建立了一個極坐標系 注注 極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景 而平面直角坐標系以互相垂直 的兩條數(shù)軸為幾何背景 平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系 而極坐標系則不可 但極坐標系和平面 直角坐標系都是平面坐標系 2 極坐標 設 M 是平面內一點 極點與點 M 的距離 OM 叫做點 M 的極徑 記為 以極 軸為始邊 射線為終邊的角叫做點 M 的極角 記為 有序數(shù)對 叫做點 M 的極坐標 記作 一般地 不作特殊說明時 我們認為可取任意實數(shù) 特別地 當點在極點時 它的極坐標為 0 R 和直角坐標不同 平面內一個點的極坐標有無數(shù)種表示 如果規(guī)定 那么除極點外 平面內的點可用唯一的極坐標 表示 同時 極坐標表示的點也是唯一確定的 3 極坐標和直角坐標的互化 精品文檔 2歡迎下載 1 互化背景 把直角坐標系的原點作為極點 x 軸的正半軸作為極軸 并在 兩種坐標系中取相同的長度單位 如圖所示 2 互化公式 設是坐標平面內任意一點 它的直角坐標是 極坐標 是 于是極坐標與直角坐標的互化公式如表 點 直角坐標極坐標 互化公式 在一般情況下 由確定角時 可根據(jù)點所在的象限最小正角 4 常見曲線的極坐標方程 曲線圖形極坐標方程 圓心在極點 半徑為的圓 精品文檔 3歡迎下載 圓心為 半徑為的圓 圓心為 半徑為的圓 過極點 傾斜角為的直線 1 2 過點 與極軸垂直的直線 過點 與極軸平行的直線 注注 由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一 即 都表示同一點的坐標 這與點的直角坐 標的唯一性明顯不同 所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式 只要求至 少有一個能滿足極坐標方程即可 例如對于極坐標方程點可以表 精品文檔 4歡迎下載 示為等多種形式 其中 只有的極坐 標滿足方程 二 參數(shù)方程二 參數(shù)方程 1 1 參數(shù)方程的概念參數(shù)方程的概念 一般地 在平面直角坐標系中 如果曲線上任意一點的坐標都是某個變 數(shù) 的函數(shù) 并且對于 的每一個允許值 由方程組 所確定的點 都在這條曲線上 那么方程 就叫做這條曲線的參數(shù)方程 聯(lián)系變數(shù) 的變數(shù) 叫做參變數(shù) 簡稱參數(shù) 相對于參數(shù)方程而言 直接給出點的坐標間 關系的方程叫做普通方程 2 2 參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化 1 曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式 一般地可以通過消 去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程 2 如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù) 的關系 例如 把它代入普通 方程 求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系 那么就是曲線的參數(shù)方程 在 參數(shù)方程與普通方程的互化中 必須使的取值范圍保持一致 注 注 普通方程化為參數(shù)方程 參數(shù)方程的形式不一定唯一 應用參數(shù)方程 解軌跡問題 關鍵在于適當?shù)卦O參數(shù) 如果選用的參數(shù)不同 那么所求得的曲 線的參數(shù)方程的形式也不同 3 3 圓的參數(shù) 圓的參數(shù) 如圖所示 設圓的半徑為 點從初始位置出發(fā) 按逆時針方向 在圓上作勻速圓周運動 設 則 這就是圓心在原點 半徑為 的圓的參數(shù)方程 其中的幾何意義是 轉過的角度 圓心為 半徑為 的圓的普通方程是 精品文檔 5歡迎下載 它的參數(shù)方程為 4 4 橢圓的參數(shù)方程 橢圓的參數(shù)方程 以坐標原點為中心 焦點在軸上的橢圓的標準方程為 其參數(shù)方程為 其中參數(shù)稱為離 心角 焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數(shù)方程為 其中參數(shù)仍為離心角 通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 0 2 注 注 橢圓的參數(shù)方程中 參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角 要 把它和這一點的旋轉角區(qū)分開來 除了在四個頂點處 離心角和旋轉角數(shù)值 可相等外 即在到的范圍內 在其他任何一點 兩個角的數(shù)值都不相等 但當時 相應地也有 在其他象限內類似 5 5 雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程 以坐標原點為中心 焦點在軸上的雙曲線的標準議程為 其參數(shù)方程為 其中 焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為 以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角 6 6 拋物線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程 精品文檔 6歡迎下載 以坐標原點為頂點 開口向右的拋物線的參數(shù)方程為 7 7 直線的參數(shù)方程 直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點 傾斜角為的直線 的普通方程是 而過 傾斜角為的直線 的參數(shù)方程為 注 注 直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 過定點 傾斜角為的直 線 的參數(shù)方程為 其中 表示直線 上以定點為起 點 任一點為終點的有向線段的數(shù)量 當點在上方時 0 當點在下方時 0 當點與重合時 0 我們也可以 把參數(shù) 理解為以為原點 直線 向上的方向為正方向的數(shù)