2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何檢測(cè)卷（立體幾何中的三角函數(shù)應(yīng)用）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1B垂直于平面ABC，那么A1D與平面ABC所成角的余弦值是（）A.B.C.D.2.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，E是PC的中點(diǎn)，那么直線PE與平面PAB所成角的正弦值是（）A.B.C.D.3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，那么二面角A-PB-C的正切值是（）A.B.C.D.14.在三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，那么二面角B-OC-A的正弦值是（）A.B.C.D.5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線DF與平面A1B1CD所成角的正切值是（）A.B.C.D.6.在圓錐P-AB中，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，O是底面圓的圓心，C是底面圓上一點(diǎn)，∠ACO=30°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（）A.B.C.D.7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，E是A1B1的中點(diǎn)，那么直線DE與平面ABC所成角的正弦值是（）A.B.C.D.8.在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1，那么二面角B-B1CD-A的余弦值是（）A.B.C.D.9.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=2，BC=，那么二面角P-BC-A的正切值是（）A.B.C.D.10.在直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA1=1，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，那么直線DF與平面A1ABB1所成角的正弦值是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)，那么直線DF與直線A1B所成角的余弦值是________。12.在圓錐P-AB中，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，O是底面圓的圓心，C是底面圓上一點(diǎn)，∠ACO=60°，那么二面角A-PC-B的正切值是________。13.在三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，那么二面角B-OC-A的正弦值是________。14.在正四棱錐P-ABCD中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，E是PC的中點(diǎn)，那么直線PE與平面PBC所成角的正弦值是________。15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，A1B垂直于平面ABC，那么A1D與平面ABC所成角的正弦值是________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中點(diǎn)。求二面角A-PB-C的余弦值。17.（本小題滿分15分）在正三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=2，D是BC的中點(diǎn)。求直線PD與平面PAC所成角的正弦值。18.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)。求直線DF與平面A1ABB1所成角的正切值。19.（本小題滿分15分）在圓錐P-AB中，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為，O是底面圓的圓心，C是底面圓上一點(diǎn)，∠ACO=45°。求二面角A-PC-B的正切值。20.（本小題滿分15分）在三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，D是BC的中點(diǎn)。求直線OD與平面OAC所成角的余弦值。四、解答題（本大題共4小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1。求二面角B-B1CD-A的正弦值。22.（本小題滿分15分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，E是B1C1的中點(diǎn)。求直線DE與平面ABB1A1所成角的余弦值。23.（本小題滿分15分）在圓錐P-AB中，底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，O是底面圓的圓心，C是底面圓上一點(diǎn)，∠ACO=30°。求直線PC與平面PAB所成角的正弦值。24.（本小題滿分15分）在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=3，AB=AC=2，BC=。求二面角P-BC-A的正切值。五、解答題（本大題共2小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）25.（本小題滿分20分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱AA1的中點(diǎn)，G是棱BB1的中點(diǎn)。求直線EF與平面A1ABB1所成角的正弦值。26.（本小題滿分25分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱PB的中點(diǎn)。求二面角E-BC-D的正切值。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.D解析：連結(jié)A1D，作A1H垂直于平面ABC于H，則∠A1DH為A1D與平面ABC所成角。因?yàn)镈是AC中點(diǎn)，所以H也是BC中點(diǎn)。在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為2，所以AH=√3。A1B垂直于平面ABC，所以A1B垂直于AH。因?yàn)锳1D=√(A1B^2+AD^2)=√(2^2+1^2)=√5，所以cos∠A1DH=AH/A1D=√3/√5=√15/5。2.B解析：連結(jié)PE，過E作EF垂直于PB于F，則∠PEF為PE與平面PAB所成角。因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以EF也是PC中點(diǎn)連線。在正四棱錐中，PA=PB=PC，所以PE=√(PA^2+AE^2)=√(2^2+(√2/2)^2)=√(4+1/2)=√(9/2)=3√2/2。EF=PE*sin∠PEF=3√2/2*sin(∠PEF)。因?yàn)镻E=PC/2=√2，所以sin∠PEF=√2/(3√2/2)=2/3。所以cos∠PEF=√(1-(2/3)^2)=√(1-4/9)=√5/3。3.A解析：作AD垂直于PB于D，連結(jié)CD，則∠ADC為二面角A-PB-C的平面角。在矩形ABCD中，AD=AB*tan∠BAD=1*tan30°=√3/3。因?yàn)镻A垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AD。所以tan∠ADC=AD/PB=√3/3/2=√3/6。4.C解析：取OC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，BM，則∠AMB為二面角B-OC-A的平面角。因?yàn)镺A=OB=OC=2，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，所以三角形AOB，AOC，BOC都是等邊三角形。所以AM=BM=√3。所以tan∠AMB=AM/AB=√3/2。5.D解析：連結(jié)DF，過D作DN垂直于平面A1B1CD于N，則∠DFN為DF與平面A1B1CD所成角。因?yàn)镋是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1中點(diǎn)，所以DF平行于CE。CE垂直于平面A1B1CD，所以DF垂直于平面A1B1CD。所以tan∠DFN=DN/DF。因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，所以DF=√2。DN=DF*sin45°=√2*(√2/2)=1。所以tan∠DFN=1/√2=√2/2。6.A解析：連結(jié)PC，過C作CH垂直于PO于H，則∠CHP為PC與平面PAB所成角。在圓錐中，底面半徑r=1，母線l=2，所以高h(yuǎn)=√(l^2-r^2)=√(4-1)=√3。因?yàn)椤螦CO=30°，所以CH=OC*sin30°=1*sin30°=1/2。PH=√(PC^2-CH^2)=√(4-(1/2)^2)=√(16-1/4)=√(63/4)=√63/2。所以cos∠CHP=CH/PC=1/2/√63/2=1/√63=√63/63。7.B解析：連結(jié)DE，過E作EF垂直于平面ABC于F，則∠DEF為DE與平面ABC所成角。因?yàn)镈是AC中點(diǎn)，E是A1B1中點(diǎn)，所以DE平行于A1C1。A1B垂直于平面ABC，所以A1C1垂直于平面ABC。所以DE垂直于平面ABC。所以sin∠DEF=EF/DE。因?yàn)榈冗吶切蜛BC邊長(zhǎng)為2，所以AC=2。DE=AC/2=1。EF=DE*sin30°=1*sin30°=1/2。所以sin∠DEF=1/2/1=1/2。8.C解析：連結(jié)B1D，過D作DN垂直于B1C于N，則∠DNC為二面角B-B1CD-A的平面角。在正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1。所以CN=(2-1)/2=1/2。DN=CN*tan∠B1CN=1/2*tan45°=1/2。所以cos∠DNC=DN/CN=1/2/1/2=1。9.D解析：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，PM，則∠PMA為二面角P-BC-A的平面角。在等腰三角形PBC中，PB=PC=2，BC=√3，所以PM=√(PB^2-(BM)^2)=√(4-(3/4))=√(16/4-3/4)=√(13/4)=√13/2。AM=PB/2=2/2=1。所以tan∠PMA=PM/AM=√13/2/1=√13/2。10.B解析：連結(jié)DF，過D作DN垂直于平面A1ABB1于N，則∠DFN為DF與平面A1ABB1所成角。因?yàn)镋是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以DF平行于BE。BE垂直于平面A1ABB1，所以DF垂直于平面A1ABB1。所以sin∠DFN=DN/DF。因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以DF=√(2^2+1^2)=√5。DN=DF*sin30°=√5*sin30°=√5/2。所以sin∠DFN=√5/2/√5=1/2。二、填空題答案及解析11.√2/2解析：連結(jié)DF，過D作DN垂直于平面A1B1C1D1于N，則∠DFN為DF與直線A1B所成角。因?yàn)镋是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1中點(diǎn)，所以DF平行于CE。CE垂直于平面A1B1C1D1，所以DF垂直于平面A1B1C1D1。所以cos∠DFN=DN/DF。因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以DF=√(2^2+1^2)=√5。DN=DF*sin45°=√2。所以cos∠DFN=√2/√5=√10/5=√2/2。12.√2/2解析：連結(jié)PC，過C作CH垂直于PO于H，則∠CHP為PC與平面PAB所成角。在圓錐中，底面半徑r=1，母線l=2，所以高h(yuǎn)=√(l^2-r^2)=√(4-1)=√3。因?yàn)椤螦CO=60°，所以CH=OC*sin60°=1*sin60°=√3/2。PH=√(PC^2-CH^2)=√(4-(√3/2)^2)=√(16-3/4)=√(61/4)=√61/2。所以tan∠CHP=CH/PH=√3/2/√61/2=√3/√61=√3*√61/61=√183/61≈√2/2。13.1/2解析：取OC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，BM，則∠AMB為二面角B-OC-A的平面角。因?yàn)镺A=OB=OC=1，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，所以三角形AOB，AOC，BOC都是等腰直角三角形。所以AM=BM=√2/2。所以tan∠AMB=AM/AB=√2/2/1=√2/2≈1/2。14.√3/3解析：連結(jié)PE，過E作EF垂直于PB于F，則∠PEF為PE與平面PBC所成角。在正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)√3，所以高h(yuǎn)=√(√3^2-1^2)=√(3-1)=√2。因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以PE=PC/2=√2/2。EF=PE*sin∠PEF=√2/2*sin(∠PEF)。因?yàn)镻E=PC/2=√2，所以sin∠PEF=√2/(√2/2)=2。所以cos∠PEF=√(1-(2/3)^2)=√(1-4/9)=√5/3。15.√3/2解析：連結(jié)A1D，作A1H垂直于平面ABC于H，則∠A1DH為A1D與平面ABC所成角。因?yàn)镈是AC中點(diǎn)，所以H也是BC中點(diǎn)。在等邊三角形ABC中，邊長(zhǎng)為2，所以AH=√3。A1B垂直于平面ABC，所以A1B垂直于AH。因?yàn)锳1D=√(A1B^2+AD^2)=√(2^2+1^2)=√5，所以cos∠A1DH=AH/A1D=√3/√5=√15/5。三、解答題答案及解析16.√2/2解析：作AD垂直于PB于D，連結(jié)CD，則∠ADC為二面角A-PB-C的平面角。在矩形ABCD中，AD=AB*tan∠BAD=1*tan30°=√3/3。因?yàn)镻A垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AD。所以tan∠ADC=AD/PB=√3/3/2=√3/6。所以cos∠ADC=1/tan∠ADC=6/√3=√2/2。17.√3/2解析：連結(jié)PD，過D作DH垂直于平面PAC于H，則∠PDH為PD與平面PAC所成角。在等邊三角形PBC中，PD=√(PB^2-(BD)^2)=√(4-(1)^2)=√3。DH=PD*sin∠PDH=√3*sin(∠PDH)。因?yàn)镻D=PC/2=√3，所以sin∠PDH=√3/(√3/2)=2。所以cos∠PDH=√(1-(2/3)^2)=√(1-4/9)=√5/3。18.√2/2解析：連結(jié)DF，過D作DN垂直于平面A1ABB1于N，則∠DFN為DF與平面A1ABB1所成角。因?yàn)镋是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是AA1中點(diǎn)，所以DF平行于CE。CE垂直于平面A1ABB1，所以DF垂直于平面A1ABB1。所以sin∠DFN=DN/DF。因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，所以DF=√(1^2+1^2)=√2。DN=DF*sin45°=√2*sin45°=1。所以sin∠DFN=1/√2=√2/2。19.√3/3解析：連結(jié)PC，過C作CH垂直于PO于H，則∠CHP為PC與平面PAB所成角。在圓錐中，底面半徑r=1，母線l=√2，所以高h(yuǎn)=√(l^2-r^2)=√(2-1)=1。因?yàn)椤螦CO=45°，所以CH=OC*sin45°=1*sin45°=√2/2。PH=√(PC^2-CH^2)=√(2-(√2/2)^2)=√(8-1/4)=√(31/4)=√31/2。所以tan∠CHP=CH/PH=√2/2/√31/2=√2/√31=√2*√31/31=√62/31≈√3/3。20.√3/2解析：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，OM，則∠AMO為OD與平面OAC所成角。在等邊三角形OAC中，AM=AO=OC=√2。OM=AM/2=√2/2。所以sin∠AMO=OM/AM=√2/2/√2=1/2。所以cos∠AMO=√(1-(1/2)^2)=√(1-1/4)=√3/2。四、解答題答案及解析21.√2/2解析：連結(jié)B1D，過D作DN垂直于B1C于N，則∠DNC為二面角B-B1CD-A的平面角。在正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為1。所以CN=(2-1)/2=1/2。DN=CN*tan∠B1CN=1/2*tan45°=1/2。所以cos∠DNC=DN/CN=1/2/1/2=1。22.√2/2解析：連結(jié)DE，過E作EF垂直于平面ABB1A1于F，則∠DEF為DE與平面ABB1A1所成角。因?yàn)镈是AC中點(diǎn)，E是B1C1中點(diǎn)，所以DE平行于A1C1。A1B垂直于平面ABB1A1，所以A1C1垂直于平面ABB1A1。所以DE垂直于平面ABB1A1。所以sin∠DEF=EF/DE。因?yàn)榈冗吶切蜛BC邊長(zhǎng)為2，所以AC=2。DE=AC/2=1。EF=DE*sin30°=1*sin30°=1/2。所以sin∠DEF=1/2/1=1/2。23.√3/3解析：連結(jié)PC，過C作CH垂直于PO于H，則∠CHP為PC與平面PAB所成角。在圓錐中，底面半徑r=2，母線l=