專題突破 (六 ) 圓中有關(guān)計(jì)算 圓的中檔解答題分值為 5 分 ， 難度中等偏上 ， 是每一位考生力爭(zhēng)滿分的題型之一 ， 所考查知識(shí)點(diǎn)相對(duì)穩(wěn)定 ， 主要考查學(xué)生對(duì) 圓、相似、解直角三角形等內(nèi)容的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力 從題目本身來(lái)看 ， 一般都采取標(biāo)準(zhǔn)的兩問(wèn)式子 隨著考試改革 ， 本題的位置調(diào)整為 23 題 ， 難度等同于去年 年份 2011 2012 2013 2014 2015 題號(hào) 20 21 23 考點(diǎn) 圓周角 定理； 切線的 判定； 相似三 角形的 性質(zhì)與 判定； 解直角 三角形 垂徑 定理； 切線的 判定與 性質(zhì)； 相似三 角形的 性質(zhì)與 判定； 解直角 三角形 切線長(zhǎng) 定理； 相似三 角形的 性質(zhì)和 判定； 勾股 定理的 應(yīng)用 切線的 性質(zhì)； 等腰三 角形的 判定； 全等三 角形的 性質(zhì)與 判定； 勾股 定理的 應(yīng)用 切線 的性 質(zhì)； 等邊 三角形 的判定 和性質(zhì)； 勾股 定理的 應(yīng)用 1 2015北京 如 圖 1， O 的直徑 ， 過(guò)點(diǎn) B 作 O 的切線 弦 點(diǎn) F， 且 ， 連接 延長(zhǎng) 點(diǎn) E. (1)求證： 等邊三角形； (2)連接 若 2， 求 長(zhǎng) 圖 1 2 2014北京 如 圖 2， O 的直徑 ， C 是 的中點(diǎn) ， O 的切線 ， E 是 中點(diǎn) ， 延長(zhǎng)線交切線 點(diǎn) F， O 于點(diǎn) H， 連接 (1)求證： (2)若 2， 求 長(zhǎng) 圖 2 3 2013北京 如 圖 3， O 的直徑 ， 別與 O 相切于點(diǎn) A， C， 延長(zhǎng)線于點(diǎn) D， 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. (1)求證： (2)若 6， 34， 求 長(zhǎng) 圖 3 4 2012北京 如 圖 4， 已知 O 的直徑 ， C 是 O 上的一點(diǎn) ， 點(diǎn) D， 過(guò)點(diǎn) C 作 O 的切線 ， 交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E， 連接 (1)求證： O 相切； (2)連接 延長(zhǎng)交 點(diǎn) F， 若 9， 23， 求 長(zhǎng) 圖 4 5 2011北京 如 圖 5， 在 ， 以 直徑的 O 分別交 C 于點(diǎn) D， E， 點(diǎn) F 在 延長(zhǎng)線上 ， 且 12 (1)求證：直線 O 的切線； (2)若 5， 55 ， 求 長(zhǎng) 圖 5 1 2014東城一模 如 圖 6， 點(diǎn) D 上的一點(diǎn) ， (1)求證： O 的切線； (2)若點(diǎn) E 是 的中點(diǎn) ， 連接 點(diǎn) F， 當(dāng) 5， 4 時(shí) ， 求 值 圖 6 2 2014海淀一模 如 圖 7， 在 ， 以 直 徑的 O 與邊 C 分別交于 D， E 兩點(diǎn) ， 點(diǎn) F. (1)求證： O 的切線； (2)若 35， 9， 求 長(zhǎng) 圖 7 3 2014西城一摸 如 圖 8， 在 ， 以 直徑作 O， 交 ， 連接 過(guò)點(diǎn) D 作 O 的切線 ， 交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E， 交 點(diǎn) F. (1)求證： (2)當(dāng) 10， 55 時(shí) ， 求 長(zhǎng) 圖 8 4 2015東城一模 如 圖 9， 在 O 中 ， 直徑 ， 弦 于點(diǎn) F， 過(guò)點(diǎn) D， A 分別作 O 的切線交于點(diǎn) G， 且 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E. (1)求證： 1 2； (2)已知 1 3， O 的半徑為 3， 求 長(zhǎng) 圖 9 5 2015海淀二模 如 圖 10， O 的直徑 ， C， D 為 O 上不同于 A， B 的兩點(diǎn) ， 2 連接 作 垂足為 E， 直線 交于點(diǎn)F. (1)求證： O 的切線； (2)當(dāng) 5， 35時(shí) ， 求 長(zhǎng) 圖 10 6 2015青山區(qū)一模 如 圖 11， O 的直徑 ， O 于點(diǎn) D， E 是 的中點(diǎn) ， 連接 點(diǎn) F， 2 (1)求證： O 的切線； (2)若 23， 6， 求 長(zhǎng) 圖 11 7 2015朝陽(yáng)一模 如 圖 12， 接于 O， 直徑 ， 點(diǎn) D 在 O 上 ，過(guò)點(diǎn) D 作 O 的切線與 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E， 連接 點(diǎn) F. (1)求證： (2)若 6， 5， 求 長(zhǎng) 圖 12 8 2015豐臺(tái)一模 如 圖 13， O 的直徑 直于弦 垂足為 E， 過(guò)點(diǎn) C 作 O 的切線 ， 交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) P， 連接 (1)判斷直線 O 的位置關(guān)系 ， 并加以證明； (2)連接 延長(zhǎng)交 O 于點(diǎn) F， 連接 點(diǎn) F 10， 45，求 長(zhǎng) 圖 13 9 2015海淀一模 如 圖 14， 在 ， 點(diǎn) D， 過(guò)點(diǎn) O 與邊 切于點(diǎn) E， 交 點(diǎn) F， O 的直徑 (1)求證： (2)若 1， 3， 求 長(zhǎng) 圖 14 10 2015西城一模 如 圖 15， O 的直徑 ， M 為 O 外一點(diǎn) ， 連接 O 交于點(diǎn) C， 連接 延長(zhǎng)交 O 于點(diǎn) D， 經(jīng)過(guò)點(diǎn) M 的直線 l 與 在直線關(guān)于直線稱 作 l 于點(diǎn) E， 連接 (1)依題意補(bǔ)全圖形； (2)在不添加新的線段的條件下 ， 寫出圖中與 等的角 ， 并加以證明 圖 15 參考答案 北京真題體驗(yàn) (1)證明： O 的切線 ， O 的直徑 ， ， ， 等邊三角形 (2) 等邊三角形 ， 30 . 連接 O 的直徑 ， 30 . 2， 4， 2 3， 4 3， 2 3. 在 ， 12 16 2 7. (1)證明：如圖 ， 連接 C 是 的中點(diǎn) ， O 的直徑 ， O 的切線 ， (2) E 是 中點(diǎn) ， 在 ， 2， 2， 42 22 2 5. O 的直徑 ， H， 4 22 5 4 55 . 3 解： (1)證明： O 分別相切于點(diǎn) A， C， 即 90 . E 90 ， (2)連接 6， 34， 在 ， 8， 10， 4. 34， 在 ， 3， 5. 105 21， 2在 ， 52， 5. 4 解： (1)證明：連接 O 相切 ， C 為切點(diǎn) ， 90 . 直線 線段 垂直平分線 ， 即 90 . O 的直徑 ， O 相切 (2)過(guò)點(diǎn) D 作 點(diǎn) M， 則 在 ， 90 ， 9， 23， OB6. 由勾股定 理 ， 得 3 5. 在 ， 同理得 BD2 5， 5. O 是 中點(diǎn) ， 18， 13. 36 513 . 5 解： (1)證明：如圖 ， 連接 O 的直徑 ， 90 ， 1 2 90 . 1 12 12 1 2 90 ， 即 90 . O 的直徑 ， 直線 O 的切線 (2)如圖 ， 過(guò)點(diǎn) C 作 點(diǎn) G. 55 ， 1 1 55 . 90 ， 5， AB1 5. 90 ， 22 5. 在 ， 由勾股定理 ， 得 2 5， 2 2 55 ， 2 55 . 在 ， 可求得 4， 2， 3. 203 . 北京專題訓(xùn)練 (1)證明： O 的直徑 ， 90 . B C C， C C B 90 ， 90 . 又 O 的直徑 ， O 的切線 (2)可證 即 D 36. 解得 6. E 是 的中點(diǎn) ， 6， 2. 2 解： (1)證明：如圖 ， 連接 O 的直徑 ， 90 . 又 D 為 中點(diǎn) 又 O 為 中點(diǎn) ， 又 O 的半徑 ， O 的切線 (2)如圖 ， 連接 9， 935 15. 90 ， 90 ， 1535 25. O 的直徑 ， 90 . 又 1， 9， 25 9 9 7. 3 解： (1)證明：如圖 ， 連接 O 的直徑 ， 90 ， 1 2. 又 1 2 (2) O 的切線 ， 90 . 由 (1)知 1 2， 90 ， 90 ， 在 ， 10， 55 ， 4 5， 2 5， 5. 在 ， 55 ， 4， 8. 即 58 510， 103 . 4 解： (1)證明：如圖 ， 連接 O 的切線 ， O 的半徑 ， 90 ， 即 2 90 . C 2 C 90 . 而 3 C 90 ， 2 3. 1 3， 1 2. (2) 1 3， O 的半徑為 3， 1. 1 2， 在 ， 3， 設(shè) x， 則 x， 1 x. 32 ( )x 12， 解得 x 4， 4， 5. O 的切線 ， O 的半徑 ， O 的切線 ， 90 . 在 ， 設(shè) t， 則 t 4. 82 ( )t 42， 解得 t 6， 6. 5. 解： (1)證明：如圖 ， 連接 1 2. 又 3 1 2， 3 2 1. 又 4 2 1， 4 3， 又 O 的半徑 ， O 的切線 (2)如圖 ， 連接 在 ， 90 ， 5， 35， 3. 設(shè) O 的半徑為 r， 55 r 3r， 解得 r 152 . O 的直徑 ， 15， 90 . 4 F 35， 35， 9. 6 解： (1)證明：如圖 ， 連接 E 是 的中點(diǎn) ， ， 2 O 的直徑 ， 90 ， 90 ， 90 ， 即 90 ， 又 O 的直徑 ， O 的切線 (2)如圖 ， 過(guò)點(diǎn) F 作 點(diǎn) H. 在 ， 23， 6， 23 6 4. 在 ， 23， 32 6 9， 9 4 5. 即 分 而 設(shè) x， 則 5 x. C. 在 ， 23 5 23， 解得 x 3， 即 長(zhǎng)為 3. 7 解： (1)如圖 ， 連接 O 的切線 ， O 的直徑 ， 90 . E 90 ， (2)如圖 ， 連接 O 的直徑 ， 90 . 6， 5， 11. 115 . 在 ， BD115 . 8 解： (1) O 相切 證明：如圖 ， 連接 在 O 中 ， 點(diǎn) E， 1 又 O 于點(diǎn) C， O 的半徑 ， 90 ， 90 ， 又 點(diǎn) D 在 O 上 ， O 相切于點(diǎn) D. (2)如圖 ， 過(guò)點(diǎn) F 作 點(diǎn) M. 90 ， 點(diǎn) E， 3 4 90 ， 4 90， 3 45， ， 3 45. 10， 125， 4， 3. 又 90 . 5 1， 4， 3. 在 ， 45， 設(shè) 4k， 5k， 3k. 3k 5， 解得 k 53. 253 . 163 ， 343 . 又 90 ， 即 163343， 3217. 9 解： (1)證明： O 與邊 切于點(diǎn) E， 且 O 的直徑 ， 又 (2)如圖 ， 連接 O 的直徑 ， 且點(diǎn)