難點 16 三角函數(shù)式的化簡與求值 三角函數(shù)式的化簡和求值是高考考查的重點內(nèi)容之一 別是要掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事半功倍 . 難點磁場 ( )已知2 43, )=1312, + )=53,求 值_. 案例探究 例 1不查表求 + 3 值 . 命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高 級題目 . 知識依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用 . 錯解分析：公式不熟，計算易出錯 . 技巧與方法：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡單更精妙，需認(rèn)真體會 . 解法一： + 3 =21(1 )+21(1+)+ 3 =121+21+ 3 0 +20 ) =121+21( )+ 3 ( ) =1214143+4323 =14343(1 )= 41解法二：設(shè) x=+ 3 y=+ 3 則 x+y=1+1 3 =21， x y= + 3 = 2+ 3 =0 x=y=41，即 x=+ 3 =41. 例 2設(shè)關(guān)于 x 的函數(shù) y=22(2a+1)的最小值為 f(a)，試確定滿足 f(a)=21的 a 值，并對此時的 a 值求 y 的最大值 . 命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力 級題目 知識依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 . 錯解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對區(qū)間的分類易出錯 . 技巧與方法：利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等 . 解：由 y=2(a)22 242 1， 1得： f(a)2( 41)22( 122)2( 12f(a)=21, 1 4a=21 a=81 2,+ ) 故22a 2a 1=21，解得： a= 1，此時， y=2(1)2+21，當(dāng) 時，即 x=2 k Z， . 例 3已知函數(shù) f(x)=2x+3) 3 1)求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最小值及取得最小值時相應(yīng)的 x 的值； (3)若當(dāng) x12，127時， f(x)的反函數(shù)為 f 1(x)，求 1(1)的值 . 命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識，還考查計算變形能力，綜合運用知識的能力，屬級題目 . 知識依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識 . 錯解分析：在求 1(1)的值時易走彎路 . 技巧與方法：等價轉(zhuǎn)化，逆向思維 . 解： (1)f(x)=2x+3) 3 2 3 23 x+3) f(x)的最小正周期 T= (2)當(dāng) 2x+3=22，即 x=125(k Z)時， f(x)取得最小值 2. (3)令 2x+3)=1，又 x27,2 , 2x+33,23 , 2x+3=65，則 x=4，故 1(1)= 4. 錦囊妙計 本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有： 1給角求值， 2給值求值， 3給式求值， 4求函數(shù)式的最值或值域， 5化簡求值 . 1要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式 . 2注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等 常規(guī)技巧的運用 . 3對于條件求值問題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法 . 4求最值問題，常用配方法、換元法來解決 . 殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.( )已知方程 a+1=0(a 1)的兩根均 且 ， (2,2)，則 的值是 ( ) 2 21或 2 二、填空題 2.( )已知 53， (2， )， )= 21，則 2 )=_. 3.( )設(shè) (43,4 )， (0，4)， 4)=53， 3+ )=135，則 + )=_. 三、解答題 o 7 0t a 0 0s 0s +x)=53， (1217 x47)，求x xx 的值 . 6.( )已知 =38 ，且 k Z)4(s s c)c o s (1 2 的最大值及最大值時的條件 . 7.( )如右圖，扇形 半徑為 1，中心角 60，四邊形 扇形的內(nèi)接矩形，當(dāng)其面積最大時，求點 P 的位置，并求此最大面積 . 8.( )已知 3 ， 取值范圍是D， x D，求函數(shù) y=10432最小值，并求取得最小值時 x 的值 . 參考答案 難點磁場 解法一：2 43, 0 4 + 43, )= s i n1)c o s (,135)(c o 2 ( )+( + ) = ) + )+ ) + ) 3(1312)54(135 解法二： )=135, + )=54, 2 + ) )=6572 2 + ) )=6540 6556)65406572(21 殲滅難點訓(xùn)練 一、 a 1， 4a 0. 3a+1 0,又 、 (2,2) 、 (2, ),則2 (2,0),又 + )=342t a a n2)t a n (,34)13(14t a nt a a nt a 又a a, 整理得 22ta = 2. 答案： B 53, (2, ), 54則 43,又 )=21可得 21, 247)34()43(1)34(432t a nt a a nt a n)2t a n (1(1)21(2t a a a 答案： (43,4 ), 4 (0, 2),又 4)=53. 6556)s i n (312(53)43s i n ()4s i n ()43c o s ()4c o s ()43()4c o s (2)43()4s i n ()s i n (3c o s (,135)43s i n ().,43(43)(,54)4s i n (即答案：6556三、 ： 2 752853)54(257)4c o s ()4s i n (2s i ns i nc o sc o s)c o s( s i ns i o ss i i o ss i a i i s i n (,2435,(2c o i n,53)4c o s (:又解 2)322s i n (22)21()322s i n (822c o i s i s i s i 2c o o i 2c o s (142s i n1)c o s i n)44(s i i s c)c o s (1:解 k （ k Z） ,322322 k（ k Z） 當(dāng) ,22322 k（ k Z）時 , )322的最小值為 1. x 軸 原點，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè) P 的坐標(biāo)為 (，則 =直線 方程為 y= 3 x，直線 方程為 y=聯(lián)立解之得 Q(33 ，所以 =33 于是 33=33( 3 =33(232 2)=33(232121)= 33 +6)63. 0 3,6 2 +665 .21 +6) 1. +6)=