第 1 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 2016 年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（四） 一、選擇題（本大題共 12個(gè)小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1+z=（ 1 z） i，則 |z|=（ ） A B 1 C D 2 2設(shè)全集為 R，集合 A=x|9 0， B=x| 1 x5，則 A（ =（ ） A（ 3， 0） B（ 3， 1） C（ 3， 1 D（ 3， 3） 3已知 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是（ ） A a c b B c a b C a b c D c b a 4閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 6 C 14 D 18 5以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 x， y 的值分別為（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 第 2 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 6已知等差數(shù)列 四項(xiàng)中第二項(xiàng)為 606，前四項(xiàng)和 834，則該數(shù)列第 4 項(xiàng)為（ ） A 2004 B 3005 C 2424 D 2016 7圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為 r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為 16+20，則 r=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 8已知向量 滿足 ， ， ，則 與 的夾角為（ ） A B C D 9已知圓 C： x2+4x 4y=0 與 x 軸相交于 A， B 兩點(diǎn)，則弦 對(duì)的圓心角的大小（ ） A B C D 10將 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半， 縱坐標(biāo)不變，再將圖象上所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為（ ） A B C D 11已知四面體 P 外接球的球心 O 在 ，且 平面 2四面體P 體積為 ，則該球的體積為（ ） A B 2 C D 12已知雙曲線 =1 （ a 0， b 0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（ 2， ），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 第 3 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分，把答案填在答題卷的橫線上 . 13曲線 y=e x+1 在點(diǎn)（ 0， 2）處的切線與直線 y=0 和 x=0 圍成三角形的面積為 14已知等比數(shù)列 ， a3+， ，則 = 15若不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于 ，則 m 的值為 16已知函數(shù) ，若 |f（ x） | a 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 5小題，滿分 60分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， a= （ ）證明： （ ）若 ，且 B 為鈍角，求 A， B， C 18某城市 100 戶居民的月平均用電量（單位：度）以 160， 180）， 180， 200）， 200， 220），220， 240） 240， 260）， 260， 280）， 280， 300分組的頻率分布直方圖如圖 （ 1）求直方圖中 x 的值； （ 2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； （ 3）在月平均用電量 240， 260）， 260， 280）， 280， 300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取 11 戶居民，則越平均用電量在 220， 240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ 19在邊長(zhǎng)為 5 的菱形 ， ，現(xiàn)沿對(duì)角線 起，折起后使 余弦值為 第 4 頁(yè)（共 25 頁(yè)） （ 1）求證：平面 平面 （ 2）若 M 是 中點(diǎn)，求三棱錐 A 體積 20已知拋物線 y 的焦點(diǎn) F 也是橢圓 + =1（ a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)， 2的公共弦的長(zhǎng)為 2 ，過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 與 交于 A， B 兩點(diǎn)，與 交于 C， D 兩點(diǎn)，且 與同向 （ ）求 方程； （ ）若 |求直線 l 的斜率 21已知函數(shù) f（ x） = （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ ）證明；當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） x 1； （ ）確定實(shí)數(shù) k 的所有可能取值，使得存在 1，當(dāng) x（ 1， ，恒有 f（ x） k（ x 1） 四 22）、（ 23）（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)用 2答案填在答題卡上 選修 4 22如圖所示，已知 交于 A、 B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 ，過(guò)點(diǎn) 別交 、 E， 交于點(diǎn) P （ ）求證： （ ）若 切線，且 ， ， ，求 長(zhǎng) 第 5 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 選修 4 23在平面直角坐標(biāo)系 ，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn) ， ），直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ） =a，且 點(diǎn) A 在直線 l 上 （ 1）求 a 的值及直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若圓 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），試判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系 選修 4 24已知函數(shù) f（ x） =|x 1|+|x 3|+|x a| （ ）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ ）設(shè)函數(shù) f（ x）的最小值為 g（ a），求 g（ a）的最小值 第 6 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 2016 年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（四） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12個(gè)小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1+z=（ 1 z） i，則 |z|=（ ） A B 1 C D 2 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 【分析】 由 1+z=（ 1 z） i，可得 z= ，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式即可得出 【解答】 解： 1+z=（ 1 z） i， z= = = =i， 則 |z|=1 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題 2設(shè)全集為 R，集合 A=x|9 0， B=x| 1 x5，則 A（ =（ ） A（ 3， 0） B（ 3， 1） C（ 3， 1 D（ 3， 3） 【 考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【專題】 集合 【分析】 根據(jù)補(bǔ)集的定義求得 根據(jù)兩個(gè)集合的交集的定義，求得 A（ 【解答】 解： 集合 A=x|9 0=x| 3 x 3， B=x| 1 x5， x|x 1，或 x 5， 則 A（ =x| 3 x 1， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查集合的表示方法、集合的補(bǔ)集，兩個(gè)集合的交集的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題 第 7 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 3已知 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是（ ） A a c b B c a b C a b c D c b a 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算求出 a 的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到 b， c 的范圍，比較即可 【解答】 解： = = 2， 0， 0 1， 即 a 2， b 0， 0 c 1， 即 a c b， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題 4閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 6 C 14 D 18 【考點(diǎn)】 程序框圖 【專題】 圖表型；算法和程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的 i， S 的值，當(dāng) i=8 時(shí)滿足條件 i 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 6 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 第 8 頁(yè)（共 25 頁(yè)） S=20， i=1 i=2， S=18 不滿足 條件 i 5， i=4， S=14 不滿足條件 i 5， i=8， S=6 滿足條件 i 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 6 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫(xiě)出每次循環(huán)得到的 i， S 的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 5以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 x， y 的值分別為（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 【考點(diǎn)】 莖葉圖 【專題】 概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 求乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是把所有乙組數(shù)據(jù)加起來(lái)，再除以 5找甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)要把甲組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)為中位數(shù)據(jù)此列式求解即可 【解答】 解：乙組數(shù)據(jù)平均數(shù) =（ 9+15+18+24+10+y） 5= y=8； 甲組數(shù)據(jù)可排列成： 9， 12， 10+x， 24， 27所以中位數(shù)為： 10+x=15， x=5 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù) 據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù) 6已知等差數(shù)列 四項(xiàng)中第二項(xiàng)為 606，前四項(xiàng)和 834，則該數(shù)列第 4 項(xiàng)為（ ） A 2004 B 3005 C 2424 D 2016 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 第 9 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)即可 【解答】 解：已知 06， 834， 則 S3=a1+a2+818 即 4 834 1818=2016， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題 主要考查等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，比較基礎(chǔ) 7圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為 r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為 16+20，則 r=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專題】 立體幾何 【分析】 通過(guò)三視圖可知該幾何體是一個(gè)半球拼接半個(gè)圓柱，計(jì)算即可 【解答】 解：由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知， 截圓柱的平面過(guò)圓柱的軸線， 該幾 何體是一個(gè)半球拼接半個(gè)圓柱， 其表面積為： 4r2r+2r2r+ 又 該幾何體的表面積為 16+20， 56+20，解得 r=2， 故選： B 第 10 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題 考查由三視圖求表面積問(wèn)題，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 8已知向量 滿足 ， ， ，則 與 的夾角為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角 【專題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 設(shè) 與 的夾角為 ，由數(shù)量積的定義代入已知可得 而可得 【解答】 解：設(shè) 與 的夾角為 ， ， ， ， =| | |2， ， = 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查數(shù)量積與向量的夾角，屬基礎(chǔ)題 9已知圓 C： x2+4x 4y=0 與 x 軸相交于 A， B 兩點(diǎn)，則弦 對(duì)的圓心角的大小（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【專題】 綜合題；直線與圓 【分析】 根據(jù)條件令 x=0，求出 長(zhǎng)度，結(jié)合三角形的勾股定理求出三角形 直角三角形即可得到結(jié)論 【解答】 解：當(dāng) y=0 時(shí)，得 4x=0，解得 x=0 或 x=4， 則 0=4， 半徑 R=2 ， 2 ） 2+（ 2 ） 2=8+8=16=（ 2， 直角三角形， 0， 即弦 對(duì)的圓心角的大小為 90， 故選： C 第 11 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查圓心角的求解，根據(jù)條件求出先 長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵 10將 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將圖象上所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由條件利用 y=x+）的圖象變換規(guī)律，可得所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸 【解答】 解：將 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變， 可得函數(shù) y=2x+ ）的圖象； 再把所得圖象象左平移 個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為 y=（ x+ ） + =2x+ ）， 令 2x+ =，求得 x= ， kz，故所得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為 x= ， kz 結(jié)合所給的選項(xiàng)， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查 y=x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題 11已知四面體 P 外接球的球心 O 在 ，且 平面 2四面體P 體積為 ，則該球的體積為（ ） A B 2 C D 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【專題】 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 設(shè)該球的半徑為 R，則 R， 2，故 R，由于 球的直徑，所以 大圓所在平面內(nèi)且有 此能求出球的體積 【解答】 解：設(shè)該球的半徑為 R， 則 R， 2， 第 12 頁(yè)（共 25 頁(yè)） R， 由于 球的直徑， 所以 大圓所在平面內(nèi)且有 在 ，由勾股定理，得： 2， 所以 積 S= C= ， 又 平面 ，四面體 P 體積為 ， = ， 即 ， ， 所以：球的體積 V 球 = 3 =4 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查四面體的外接球的體積的求法，解 題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題 12已知雙曲線 =1 （ a 0， b 0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（ 2， ），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考點(diǎn)】 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專題】 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易 得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的左焦點(diǎn)，再根據(jù)焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的漸近線方程漸近線方程，得 a、 b 的另一個(gè)方程，求出 a、 b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【解答】 解：由題意， = ， 拋物線 x 的準(zhǔn)線方程為 x= ，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 x 的準(zhǔn)線上， c= ， 第 13 頁(yè)（共 25 頁(yè)） a2+b2=， a=2， b= ， 雙曲線的方程為 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分，把答案填在答題卷的橫線上 . 13曲線 y=e x+1 在點(diǎn)（ 0， 2）處的切線與直線 y=0 和 x=0 圍成三角形的面積為 2 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【專題】 計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的切線方程，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可 【解答】 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f（ x） = e x， 則 f（ 0） = 1，則切線方程為 y 2= x，即 y= x+2， 切線與 x 軸的交點(diǎn)為（ 2， 0），與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0， 2）， 切線與直線 y=0 和 x=0 圍成三角形的面積 S= ， 故答案為： 2 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查三角形面積的計(jì)算，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程是解決本題的關(guān)鍵 14已知等比數(shù)列 ， a3+， ，則 = 9 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的性質(zhì) 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 ，解出 別可得 =入可得答案 【解答】 解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 ， 解得 ，或 2， 第 14 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 當(dāng) 時(shí)，可得 ， =3 當(dāng) 2，可得 0， = 5，（舍去） =2=9 故答案為： 9 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題 15若不等式組 表 示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于 ，則 m 的值為 1 【考點(diǎn)】 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 【專題】 數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 若表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危?由 ，得 ，即 A（ 2， 0）， 則 A（ 2， 0）在直線 x y+2m=0 的下方， 即 2+2m 0， 則 m 1， 則 A（ 2， 0）， D（ 2m， 0）， 由 ，解得 ，即 B（ 1 m， 1+m）， 由 ，解得 ，即 C（ ， ） 則三 角形 面積 S S 第 15 頁(yè)（共 25 頁(yè)） = |= （ 2+2m）（ 1+m ） =（ 1+m）（ 1+m ） = ， 即（ 1+m） = ， 即（ 1+m） 2=4 解得 m=1 或 m= 3（舍） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃以及三角形面積的計(jì)算，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵 16已知函數(shù) ，若 |f（ x） | a 的取值范圍是 2， 0 【考點(diǎn)】 絕對(duì)值不等式的解法；指、對(duì)數(shù)不等式的解法 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 由題意可得，當(dāng) x 0 時(shí)， x+1） 0 恒成立，則此時(shí)應(yīng)有 a0當(dāng) x0 時(shí)， |f（ x） |=2x分 x=0、 x 0 兩種情況，分別求得 a 的范圍， 綜合可得結(jié)論 【解答】 解：由于函數(shù) ，且 |f（ x） | 當(dāng) x 0 時(shí)， x+1） 0 恒成立，不等式即 x+1） 此時(shí)應(yīng)有 a0 當(dāng) x0 時(shí)，由于 x 的取值為（ ， 0，故不等式即 |f（ x） |=2x 若 x=0 時(shí)， |f（ x） |=a 取任意值 第 16 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 若 x 0 時(shí)，有 ax 2，即 a 2 綜上， a 的取值為 2， 0， 故答案為 2， 0 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 5小題，滿分 60分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， a= （ ）證明： （ ）若 ，且 B 為鈍角，求 A， B， C 【考點(diǎn)】 正弦定理 【專題】 解三角形 【分析】 （ ）由正弦定理及已知可得 = ，由 ，即可證明 （ ）由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得 ，由（ 1） 得 ，結(jié)合范圍可求 B，由 A 的范圍可求 A，由三 角形內(nèi)角和定理可求 C 【解答】 解：（ ）證明： a= = 由正弦定理： ，又 ， = ， ， 證 （ ） （ A+B） =A+B） = ，由（ 1） ， 0 B ， ， 第 17 頁(yè)（共 25 頁(yè)） B 為鈍角， B= ， 又 ， A= ， C= A B= ， 綜上， A=C= ， B= 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 18某城市 100 戶居民的月平均用電量（單位：度）以 160， 180）， 180， 200）， 200， 220），220， 240） 240， 260）， 260， 280）， 280， 300分組的頻率分布直方圖如圖 （ 1）求直方圖中 x 的值； （ 2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； （ 3）在月平均用電量 240， 260）， 260， 280）， 280， 300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取 11 戶居民，則越平均用電量在 220， 240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ 【考點(diǎn)】 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 【專題】 計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 （ 1）由直方圖的性質(zhì)可得（ x+20=1，解方程可得； （ 2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點(diǎn)可得，可得中位數(shù)在 220， 240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為 a，解方程（ 20+ a 220） =得； （ 3）可得各段的用戶分別為 25， 15， 10， 5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù) 第 18 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【解答】 解：（ 1）由直方圖的性質(zhì)可得（ x+20=1， 解方程可得 x= 直方圖中 x 的值為 （ 2）月平均用電量的眾數(shù)是 =230， （ 20= 月平均用電量的中位數(shù)在 220， 240）內(nèi)， 設(shè)中位數(shù)為 a，由（ 20+ a 220） =得 a=224， 月平均用電量的中位數(shù)為 224； （ 3）月平均用電量為 220， 240）的用戶有 0100=25， 月平均用電量為 240， 260）的用戶有 0100=15， 月平均用電量為 260， 280）的用戶有 0100=10， 月平均用電量為 280， 300）的用戶有 0100=5， 抽取比例為 = ， 月平均用電量在 220， 240）的用戶中應(yīng)抽取 25 =5 戶 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查頻率分布直方圖，涉及眾數(shù) 和中位數(shù)以及分層抽樣，屬基礎(chǔ)題 19在邊長(zhǎng)為 5 的菱形 ， ，現(xiàn)沿對(duì)角線 起，折起后使 余弦值為 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）若 M 是 中點(diǎn)，求三棱錐 A 體積 【考點(diǎn)】 平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【專題】 空間位置關(guān)系與距離 【分析】 （ ）由已知條件推導(dǎo)出 平面 此能證明平面 平面 （ ）分別以 在直線為坐標(biāo)軸建系，利用向量法能求出三棱錐 A 體積 【解答】 （ ）證明：菱形 ，記 點(diǎn)為 O， ， ， ， 第 19 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 翻折后變成三棱椎 A ， 2D25+25 2 ， 在 ， 2= 0，即 D=O， 平面 又 面 平面 平面 （ ）解：由（ ）知 兩互相垂直，分別以 在直線為坐標(biāo)軸建系， 則 A （ 0， 0， 4）， B（ 0， 3， 0）， C（ 4， 0， 0）， D（ 0， 3， 0）， M（ 0， ， 2）， =（ 4， ， 2）， =（ 4， 0， 4）， =（ 4， 3， 0）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量 =（ x， y， z）， 則由 ，得 ， 令 y=4，得 =（ 3， 4， 3）， =（ ）， A 到平面 距離 d= = = 在邊長(zhǎng)為 5 的菱形 ， ， S =12， 三棱錐 A 體積 V= = = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用 20已知拋物線 y 的焦點(diǎn) F 也是橢圓 + =1（ a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)， 2的公共弦的長(zhǎng)為 2 ，過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 與 交于 A， B 兩點(diǎn)，與 交于 C， D 兩點(diǎn)，且 與同向 （ ）求 方程； 第 20 頁(yè)（共 25 頁(yè)） （ ）若 |求直線 l 的斜率 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專題】 開(kāi)放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 （ ）通過(guò) ，通過(guò) 2的公共弦的長(zhǎng)為 2 且 圖象都關(guān)于 y 軸對(duì)稱可得 ，計(jì)算即得結(jié)論； （ ）設(shè) A（ B（ C（ D（ 通過(guò) = 可得（ x1+24 x3+2 4直線 l 方程為 y=，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可 【解答】 解：（ ）由 （ 0， 1）， F 也是橢圓 一個(gè)焦點(diǎn)， ， 又 公共弦的長(zhǎng)為 2 ， 2 的圖象都關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 易得 2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）， ， 又 ， ， ， =1； （ ）如圖，設(shè) A（ B（ C（ D（ 與 同向，且 | = ， x2= （ x1+2 4 x3+2 4 第 21 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 設(shè)直線 l 的斜率為 k，則 l 方程： y=， 由 ，可得 44=0， 由韋達(dá)定理可得 x1+k， 4， 由 ，得（ 9+8664=0， 由韋達(dá)定理可得 x3+ ， ， 又 （ x1+2 4 x3+2 4 16（ ） = + ， 化簡(jiǎn)得 16（ ） = ， （ 9+82=169，解得 k= ， 即直線 l 的斜率為 【點(diǎn)評(píng)】 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達(dá)定理等知識(shí)，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 21已知函數(shù) f（ x） = （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ ）證明；當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） x 1； （ ）確定實(shí)數(shù) k 的所有可能取值，使得存在 1，當(dāng) x（ 1， ，恒有 f（ x） k（ x 1） 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 綜合題；開(kāi)放型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 （ ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于 0，可求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ ）令 F（ x） =f（ x）（ x 1），證明 F（ x）在 1， +）上單調(diào)遞減，可得結(jié)論； 第 22 頁(yè)（共 25 頁(yè)） （ ）分類討論，令 G（ x） =f（ x） k（ x 1）（ x 0），利用函數(shù)的單調(diào)性，可得實(shí)數(shù) k 的所有可能取值 【解答】 解：（ ） f（ x） =， f（ x） = 0（ x 0）， 0 x ， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間是（ 0， ）； （ ）令 F（ x） =f（ x）（ x 1），則 F（ x） = 當(dāng) x 1 時(shí)， F（ x） 0， F（ x）在 1， +）上單調(diào)遞減， x 1 時(shí)， F（ x） F（ 1） =0， 即當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） x 1； （ ）由（ ）知， k=1 時(shí)，不存在 1 滿足題意； 當(dāng) k 1 時(shí)，對(duì)于 x 1，有 f（ x） x 1 k（ x 1），則 f（ x） k（ x 1）， 從而不存在 1 滿足題意； 當(dāng) k 1 時(shí)，令 G（ x） =f（ x） k（ x 1）（ x 0），則 G（ x） = =0，可得 0， 1， 當(dāng) x（ 1， ， G（ x） 0，故 G（ x）在（ 1， 單調(diào)遞增， 從而 x（ 1， ， G（ x） G（ 1） =0，即 f（ x） k（ x 1）， 綜上， k 的取值范圍為（ ， 1） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵 四 22）、（ 23）（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)用 2卡上把所選題目的題號(hào)涂黑，把答案填在答題卡上 選修 4 第 23 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 22如圖所示，已知 交于 A、 B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 ，過(guò)點(diǎn) 別交 、 E， 交于點(diǎn) P （ ）求證： （ ）若 切線，且 ， ， ，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 圓的切線的性質(zhì)定理的證明；直線與圓相交的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的比例線段 【專題】 計(jì)算題；證明題 【分析】 （ I）連接 據(jù)弦切角等于所夾弧所 對(duì)的圓周角得到 D，又根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到 E，等量代換得到 D= E，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩直線平行即可； （ 據(jù)切割線定理得到 B