幾何概型 第一課時 復(fù)習(xí) 古典概型的兩個基本特點 1 所有的基本事件只有有限個 2 每個基本事件發(fā)生都是等可能的 那么對于有無限多個試驗結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如果求呢 1 取一根長度為30cm的繩子 拉直后在任意位置剪斷 那么剪得兩段的長度都不小于10cm的概率有多大 從30cm的繩子上的任意一點剪斷 基本事件 問題情境 2 射箭比賽的箭靶是涂有五個彩色的分環(huán) 從外向內(nèi)為白色 黑色 藍(lán)色 紅色 靶心是金色 金色靶心叫 黃心 奧運會的比賽靶面直徑為122cm 靶心直徑為12 2cm 運動員在70m外射箭 假設(shè)每箭都能中靶 且射中靶面內(nèi)任一點都是等可能的 那么射中黃心的概率是多少 射中靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點 這兩個問題能否用古典概型的方法來求解呢 怎么辦呢 基本事件 下圖是臥室和書房地板的示意圖 圖中每一塊方磚除顏色外完全相同 小貓分別在臥室和書房中自由地走來走去 并隨意停留在某塊方磚上 在哪個房間里 小貓停留在黑磚上的概率大 臥室 書房 情境3 對于問題1 記剪得兩段繩長都不小于10cm 為事件A 把繩子三 等分 于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時 事件A發(fā)生 由于中間一段的長度等于繩長的1 3 對于一個隨機試驗 我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點 該區(qū)域中的每一個點被取到的機會都一樣 而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點 這里的區(qū)域可以是線段 平面圖形 立體圖形等 用這種方法處理隨機試驗 稱為幾何概型 幾何概型的特點 1 基本事件有無限多個 2 基本事件發(fā)生是等可能的 一般地 在幾何區(qū)域D中隨機地取一點 記 該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi) 為事件A 則事件A發(fā)生的概率 注 2 D的測度不為0 當(dāng)D分別是線段 平面圖形 立體圖形時 相應(yīng)的 測度 分別是長度 面積和體積 1 古典概型與幾何概型的區(qū)別在于 幾何概型是無限多個等可能事件的情況 而古典概型中的等可能事件只有有限多個 3 區(qū)域應(yīng)指 開區(qū)域 不包含邊界點 在區(qū)域內(nèi)隨機取點是指 該點落在內(nèi)任何一處都是等可能的 落在任何部分的可能性只與該部分的測度成正比而與其性狀位置無關(guān) 例1 取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓 隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子 求豆子落入圓內(nèi)的概率 數(shù)學(xué)應(yīng)用 例2 兩根相距8m的木桿上系一根拉直繩子 并在繩子上掛一盞燈 求燈與兩端距離都大于3m的概率 解 記 燈與兩端距離都大于3m 為事件A 由于繩長8m 當(dāng)掛燈位置介于中間2m時 事件A發(fā)生 于是 1 某人午休醒來 發(fā)覺表停了 他打開收音機想聽電臺整點報時 求他等待的時間短于10分鐘的概率 2 已知地鐵列車每10min一班 在車站停1min 求乘客到達站臺立即乘上車的概率 打開收音機的時刻位于 50 60 時間段內(nèi)則事件A發(fā)生 由幾何概型的求概率公式得P A 60 50 60 1 6即 等待報時的時間不超過10分鐘 的概率為1 6 練一練 解 記 等待的時間小于10分鐘 為事件A 練習(xí) 假設(shè)你家訂了一份報紙 送報人可能在早上6 30 7 30之間把報紙送到你家 你父親離開家去工作的時間在早上7 00 8 00之間 問你父親在離開家前能得到報紙 稱為事件A 的概率是多少 解 以橫坐標(biāo)X表示報紙送到時間 以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時間建立平面直角坐標(biāo)系 由于隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的 所以符合幾何概型的條件 根據(jù)題意 只要點落到陰影部分 就表示父親在離開家前能得到報紙 即時間A發(fā)生 所以 P A 1 1 2 1 2 1 2 7 8 3 在1萬平方公里的海域中有40平方公里的大陸貯藏著石油 假如在海域中任意一點鉆探 鉆到油層面的概率是多少 練一練 4 如右圖 假設(shè)你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆 分別計算它落到陰影部分的概率 例3 在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子 從中隨機取出10mL 含有麥銹病種子的概率是多少 5 有一杯1升的水 其中含有1個大腸桿菌 用一個小杯從這杯水中取出0 1升 求小杯水中含有這個細(xì)菌的概率 練一練 課堂小結(jié) 1 古典概型與幾何概型的區(qū)別 相同 兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限個 幾何概型要求基本事件有無限多個 2 幾何概型的概率公式 3 幾何概型問題的概率的求解 Goodbye 作業(yè) P103習(xí)題3 3ex2 3 4 2 危害 小麥感病后 由于養(yǎng)料被病菌奪取 葉綠素遭受破壞 光合作用面積減少 葉片表皮破裂 水分蒸騰量增加 呼吸作用加強 至使麥株生長發(fā)育受阻 感病輕的 麥粒不飽滿 影響產(chǎn)量 出粉率差 感病重的 麥粒不能灌漿 造成大幅度減產(chǎn) 1964年4 5月間 小麥銹病在全國麥區(qū)流行 華北 西北冬麥區(qū)大流行 據(jù)統(tǒng)計 全國發(fā)生面積800萬公頃 損失小麥約32億公斤 發(fā)病大都以條銹病為主 發(fā)病后蔓延快 危害重 小麥感病后 由