求點到空間直線距離的八種方法 張玉婷 20091105757 數學科學學院 信息與計算科學專業(yè) 2009 級信息一班 指導教師 郭芳 摘 要 本文主要研究解析幾何中點到空間直線的距離求法 此文主要介紹了其中八 種解題方法 關鍵詞 點 直線 距離 向量 解法 八種方法的論述及例題求解 解法一 公式法 如圖 1 在空間直角坐標系下給定空間一點 M1 x1 y1 z1 與直線 l 這里 M0 x0 y0 z0 為直線 l 上的一點 X Y Z 為 Z zz Y yy X xx000 v 直線 l 的方向矢量 我們考慮以和失量為兩邊構成的平行四邊形 這v 10MM 個平行四邊形的面積等于 顯然點 M1到 l 的距離 d 就是這平 01MMV 行四邊形的對應于以為底的高因此我們有v d V V MM01 222 2 0101 2 0101 2 0101 XZ z ZYX YYX yyxxxxz ZY zzyy 2 1 例題 求點 M1 3 1 2 到直線 042 01 zyx zyx 解法 一 例解 如圖 1 已知直線一般方程化為直線的對稱式方程 0 1 x 3 2 y 3 z 所以點 M1 3 1 2 M0 1 2 0 0 3 3 v 2 1 2 利用公式 01MM d V V MM01 222 2 0101 2 0101 2 011 ZYX YX yyxx XZ xxzz ZY zzyyo 222 222 3 3 0 30 12 03 22 33 21 2 2 3 解法二 勾股定理法 如圖 2 已知點 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 可求出 10MM 已知 X Y Z 利用三角函數中的余弦 cos 2 10 10 2 10 2 zzyyxx v 求出最后利用勾股定理 01 01 MM MM V V BM0 BM1 3 d 2 0 2 10 BMMM 2 解法 二 例解 如圖 2 已知直線方程 M0 1 1 1 在已知直線上且 0 1 x 3 2 y 3 z 2 0 1 01MM 10MM 5 直線的方向向量為 3 3 0 v v 112 111 kj i j k 3 3 由于 cos 01 01 MM MM V V 18 5 3 3 0 1 0 2 10 1 cos 10 0 MM BM 10 1 cos BM0 10MM 10 1 5 2 1 從而點 3 1 2 到已知直線的距離為 BM1 即 d 2 0 2 10 BMMM 22 2 1 5 2 2 3 2 2 3 解法三 構造平面法 4 構造平面 已知的法向量 0 21nn 1n 2n 求 p 點到兩平面的距離 d1 d2 最后 d 22 21dd 3 解法 三 例解 如圖 3 已知直線的兩個相交平面法向量分別為 1 1 1 1n 2 1 1 0 2n 21nn 1n 2n 即兩平面相互垂直而點 M1到兩平面的距離分別為 d1 d2 222 1 11 12 1 131 3 1 222 1 1 2 421 1 1 32 6 5 從而 M1到已知直線的距離為 d 22 21dd 22 6 5 3 1 2 2 3 解法四 三角函數法 見圖 2 已知 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 X Y Z v 10MM cos 2 10 10 2 10 2 zzyyxx 01 01 MM MM V V Sin 則 d Sin 2 cos1 10MM 解法 四 例解 5 見圖 2 已知直線方程 M1 3 1 2 M0 1 2 0 0 1 x 3 2 y 3 z 2 1 2 0 3 3 cos 01MM v 01 01 MM MM V V 220222 3 3 0212 3 3 0 2 1 2 2 1 Sin d Sin 3 2 cos1 2 2 1 1 2 1 10MM 2 1 2 2 3 解法五 中點法 如圖 4 設 M2坐標 x0 Xt y0 Yt z0 Zt 已知點 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 則 因為 10MM 2 10 10 2 10 2 zzyyxx 21MM 01MM 求出 M2坐標利用中點公式求 B 點 則 d BM1 4 解法 五 例解 如圖 4 已知直線方程 M1 3 1 2 M0 1 0 1 x 3 2 y 3 z 2 0 2 1 2 設 M2 1 2 3t 3t 01MM 21MM 2 1 3t 2 3t 21MM 01MM 22 23 31 4 tt 6 222 2 1 2 18 18 9 9 2 tt t1 0 舍 t2 10 2 tt 代入式子得 M2 1 1 3 利用中點公式 B 1 2 03 2 12 2 11 2 3 2 1 即 d BM1 222 2 3 2 2 1 1 13 2 2 3 2 2 3 解法六 垂直法 見圖 2 已知 M1 x1 y1 z1 M0 x0 y0 z0 X Y Z v 設 B 點坐標 x0 Xt y0 Yt z0 Zt O 可求出 B 點坐標 最后 BM1 v 利用兩點間距離公式則 d BM1 解法 六 例解 見圖 2 已知直線方程 M1 3 1 2 M0 1 2 0 0 1 x 3 2 y 3 z 0 3 3 設 B 點坐標 1 2 3t 3t 2 1 v BM1 3t 2 3t O 1 1 3t 3t 2 0 3 3 0 BM1 v 解得 t B 1 利用兩點間距離公式得 d 2 1 2 3 2 1 BM1 即 d 222 2 3 2 2 1 1 13 2 2 3 2 2 3 解法七 求點法 見圖 2 過 M1點作直線 l 的垂線 則垂足 B 為 x0 y0 z0 代入已知直線 得等式方程 a 又已知直線的方向向量 X Y Z M1 x1 y1 z1 v 而 x1 x0 y1 y0 z1 z0 得式子與 a 1BM v 1BM 聯(lián)立求出 即 d 1BM BM1 解法 七 例解 見圖 2 過 M1點作直線 l 的垂線 設其垂足 B 為 x0 y0 z0 已知直線 7 有 1 042 01 zyx zyx 042 01 000 000 zyx zyx 又已知直線 l 的方向向量 0 3 3 M1 3 1 2 v 而 3 x0 1 y0 2 z0 1BM v 1BM 即 3 1 y0 3 2 z0 0 將與 1 聯(lián)立解得 x0 y0 z0 1 2 3 2 1 2 即 d 1BM 2 1 2 1 BM1 222 2 1 2 1 2 2 2 3 解法八 最短距離法 見圖 2 設 B 點坐標 x0 Xt y0 Yt z0 Zt 已知 M1 x1 y1 z1 則 化簡后 t 取得等式的最 BM1 22 10 2 10 10 zZtzyYtyxXtx 小值即為 d 解法 八 例解 見圖 2 已知直線方程 M1 3 1 2 0 1 x 3 2 y 3 z 設 B 點坐標 1 2 3t 3t BM1 2