第一課時第一課時 3 1 二維形式的柯西不等式 一 2 練習(xí) 已知 a b c d 為實數(shù) 求證 22222 abcdacbd 提出定理 1 若 a b c d 為實數(shù) 則 22222 abcdacbd 證法一 比較法 22222 abcdacbd 2 0adbc 證法二 綜合法 222222222222 abcda ca db cb d 要點 展開 配方 222 acbdadbcacbd 證法三 向量法 設(shè)向量 則 ma b nc d 22 mab 22 ncd 且 則 m nacbd cos m nmnm n AAA m nmn AA 證法四 函數(shù)法 設(shè) 則 22222 2 f xabxacbd xcd 0 恒成立 22 f xaxcbxd 0 即 22222 2 4 acbdabcd 二維形式的柯西不等式的一些變式 或 或 2222 abcdacbd A 2222 abcdacbd A 2222 abcdacbd A 提出定理 2 設(shè)是兩個向量 則 A 即柯西不等式的向量形式 由向量法提出 討論 上面時候等號成立 是零向量 或者共線 練習(xí) 已知 a b c d 為實數(shù) 求證 222222 abcdacbd 證法 分析法 平方 應(yīng)用柯西不等式 討論 其幾何意義 構(gòu)造三角形 2 教學(xué)三角不等式 教學(xué)三角不等式 出示定理 3 設(shè) 則 1122 x y xyR 222222 11221212 xyxyxxyy 分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式 若 則結(jié)合以上幾何意義 可得到怎樣的三角不等式 112233 x y xyxyR 3 小結(jié) 小結(jié) 二維柯西不等式的代數(shù)形式 向量形式 三角不等式的兩種形式 兩點 三點 第二課時第二課時 3 1 二維形式的柯西不等式 二 教學(xué)過程教學(xué)過程 22222 abcdacbd 222222 11221212 xyxyxxyy 3 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值 12yxx 要點 利用變式 2222 acbdabcd A 二 講授新課 二 講授新課 1 教學(xué)最大 小 值 教學(xué)最大 小 值 出示例 1 求函數(shù)的最大值 31102yxx 分析 如何變形 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演 變式 推廣 31102yxx ya bxcd efx a b c d e fR 練習(xí) 已知 求的最小值 321xy 22 xy 解答要點 湊配法 2222222 111 32 32 131313 xyxyxy 2 教學(xué)不等式的證明 教學(xué)不等式的證明 出示例 2 若 求證 x yR 2xy 11 2 xy 分析 如何變形后利用柯西不等式 注意對比 構(gòu)造 要點 2222 11111111 22 xyxy xyxyxy 討論 其它證法 利用基本不等式 練習(xí) 已知 求證 abR 11 4ab ab 3 練習(xí)練習(xí) 已知 且 則的最小值 x y a bR 1 ab xy xy 要點 其它證法 ab xyxy xy 若 且 求的最小值 要點 利用三維柯西不等式 x y zR 1xyz 222 xyz 變式 若 且 求的最大值 x y zR 1xyz xyz 第三課時第三課時 3 2 一般形式的柯西不等式 2 提問 二維形式的柯西不等式 如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維 答案 22222 abcdacbd 2222222 abcdefadbecf 二 講授新課 二 講授新課 1 教學(xué)一般形式的柯西不等式 教學(xué)一般形式的柯西不等式 提問 由平面向量的柯西不等式 如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式 A 猜想 n 維向量的坐標(biāo) n 維向量的柯西不等式及代數(shù)形式 結(jié)論 設(shè) 則 1212 nn a aa b bbR 2222222 12121 122 nnnn aaabbba ba ba b 討論 什么時候取等號 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 假設(shè) 12 12 n n aaa bbb 0 i b 聯(lián)想 設(shè) 則有 可聯(lián)想到 1 122nn Ba ba ba b 222 12n Aaaa 222 12n Cbbb 2 0BAC 一些什么 討論 如何構(gòu)造二次函數(shù)證明 n 維形式的柯西不等式 注意分類 要點 令 則 2222 121 122 2 nnn f xaaaxa ba ba b x 222 12 n bbb 222 1122 0 nn f xa xba xba xb 又 從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知 222 12 0 n aaa 0 2 222 1 12212 2 4 nnn a ba ba baaa A 222 12 n bbb 即有要證明的結(jié)論成立 注意 分析什么時候等號成立 變式 討論如何證明 2222 1212 1 nn aaaaaa n 2 教學(xué)柯西不等式的應(yīng)用 教學(xué)柯西不等式的應(yīng)用 出示例 1 已知 求的最小值 321xyz 222 xyz 分析 如何變形后構(gòu)造柯西不等式 板演 變式 練習(xí) 若 且 求的最小值 x y zR 111 1 xyz 23 yz x 出示例 2 若 求證 abc cacbba 411 要點 2 1111 1 1 4acabbc abbcabbc 提出排序不等式 即排序原理 設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組 是 的任一 12 aa n a 12 bb n b 12 c c n c 12 b b n b 排列 則有 同序和 1 122 a ba b nn a b 亂序和 1 122 a ca c nn a c 反序和 121nn a ba b 1n a b 當(dāng)且僅當(dāng) 或 時 反序和等于同序和 12 aa n a 12 bb n b 要點 理解其思想 記住其形式 2 教學(xué)排序不等式的應(yīng)用 教學(xué)排序不等式的應(yīng)用 出示例 1 設(shè)是 n 個互不相同的正整數(shù) 求證 12 n a aa 32 1 222 111 1 2323 n aaa a nn 分析 如何構(gòu)造有序排列 如何運用套用排序不等式 證明過程 設(shè)是的一個排列 且 則 12 n b bb 12 n a aa 12n bbb 12 1 2 n bbbn 又 由排序不等式 得 222 111 1 23n 3322 11 222222 2323 nn aabbab ab nn 小結(jié) 分析目標(biāo) 構(gòu)