1 2 4 22 4 2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 基礎(chǔ)練習(xí) 1 直線y x 1 被拋物線y2 4x截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 a 1 2 b 2 1 c 2 3 d 3 2 答案 d 解析 將y x 1 代入y2 4x 整理 得x2 6x 1 0 由根與系數(shù)的關(guān)系 得 x1 x2 6 3 2 所求點(diǎn)的坐標(biāo)為 3 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 2 6 2 2 2 已知拋物線y2 2px p 0 的準(zhǔn)線與圓 x 3 2 y2 16 相切 則p的值為 a 2 b 4 c 6d 8 答案 a 解析 由已知可知拋物線的準(zhǔn)線x 與圓 x 3 2 y2 16 相切 圓心為 3 0 半 p 2 徑為 4 圓心到準(zhǔn)線的距離d 3 4 解得p 2 p 2 3 2019 年黑龍江哈爾濱九中模擬 已知拋物線c y2 8x的焦點(diǎn)為f 準(zhǔn)線為l p是 l上一點(diǎn) q是直線pf與c的一個(gè)交點(diǎn) 若 則 qf 等于 fp 4fq a b 3 7 2 c d 2 5 2 答案 b 解析 設(shè)點(diǎn)q到l的距離為d 則 qf d 4 pq 3d 不妨設(shè)直線pf的 fp fq 斜率為 2 f 2 0 直線pf的方程為y 2 x 2 與y2 8x聯(lián)立 得 2 2d d22 x 1 qf d 1 2 3 故選 b 4 已知直線y k x 2 k 0 與拋物線c y2 8x相交于a b兩點(diǎn) f為c的焦點(diǎn) 若 fa 2 fb 則k的值為 a b 1 3 2 3 2 c d 2 3 2 2 3 答案 d 解析 c的準(zhǔn)線為l x 2 直線y k x 2 過(guò)定點(diǎn)p 2 0 過(guò)點(diǎn)a b分別作 am l于點(diǎn)m bn l于點(diǎn)n 由 fa 2 fb 則 am 2 bn 點(diǎn)b為ap的中點(diǎn) 連接 ob 則 ob af ob bf 1 2 點(diǎn)b 1 2 k 故選 d 2 2 2 0 1 2 2 2 3 5 2019 年山西臨汾期末 已知拋物線c1 x2 2py p 0 的準(zhǔn)線與拋物線 c2 x2 2py p 0 交于a b兩點(diǎn) c1的焦點(diǎn)為f 若 fab的面積等于 1 則c1的方程是 答案 x2 2y 解析 由題意得f 不妨設(shè)a b s fab 2p p 1 0 p 2 p p 2 p p 2 1 2 則p 1 即拋物線c1的方程是x2 2y 6 邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形aob o為原點(diǎn) ab x軸 以o為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)a b的拋物線 方程是 答案 y2 x 3 6 解析 該等邊三角形的高為 點(diǎn)a的坐標(biāo)為或 可設(shè)拋物 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 線方程為y2 2px p 0 點(diǎn)a在拋物線上 因而p 因而所求拋物線方程為y2 x 3 12 3 6 7 斜率為 1 的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)且與拋物線相交于a b兩點(diǎn) 求線段ab 的長(zhǎng) 解 如圖 由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知焦點(diǎn)f 1 0 準(zhǔn)線方程為x 1 由題意 直線ab的方程為y x 1 代入拋物線方程y2 4x 整理得x2 6x 1 0 方法一 由x2 6x 1 0 得 x1 x2 6 x1 x2 1 3 ab x1 x2 2 2 x1 x2 2 4x x2 8 262 4 方法二 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 由拋物線的定義可知 af aa1 x1 1 bf bb1 x2 1 ab af bf x1 x2 2 6 2 8 8 設(shè)拋物線c y2 2px p 0 上有兩動(dòng)點(diǎn)a b ab不垂直于x軸 f為焦點(diǎn)且 af bf 8 線段ab的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)q 6 0 求拋物線c的方程 解 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 則x1 x2 8 p 又 qa qb x1 6 2 y x2 6 2 y 即 x1 x2 12 x1 x2 2p x2 x1 2 12 2 x1 x2 x1 x2 12 2p 12 2p 8 p 解得p 4 所求拋物線c的方程為y2 8x 能力提升 9 過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn) 作一條直線與拋物線交于a b兩點(diǎn) 若它們的橫坐標(biāo)之和 等于 5 則這樣的直線 a 有且僅有一條 b 有兩條 c 有無(wú)窮多條 d 不存在 答案 b 解析 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 由拋物線定義知 ab x1 x2 p 5 2 7 又直線 ab過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)最短 且 ab min 2p 4 這樣的直線 有兩條 故選 b 10 2019 年浙江杭州模擬 過(guò)拋物線x2 4y的焦點(diǎn)f作直線ab cd與拋物線交于 a b c d四點(diǎn) 且ab cd 則 的最大值等于 fa fb fc fd a 4 b 4 c 8 d 16 答案 d 解析 依題意得 又因?yàn)?ya 1 yb 1 所以 fa fb fa fb fa fb yayb ya yb 1 設(shè)直線ab的方程為y kx 1 k 0 聯(lián)立x2 4y 可得 fa fb x2 4kx 4 0 所以xa xb 4k xaxb 4 所以yayb 1 ya yb 4k2 2 所 以 4k2 4 同理 所 fa fb fc fd 4 k2 4 以 16 當(dāng)且僅當(dāng)k 1 時(shí)等號(hào)成立 fa fb fc fd 4k2 4 k2 8 4 11 如圖 從點(diǎn)m x0 4 發(fā)出的光線 沿平行于拋物線y2 8x的對(duì)稱軸方向射向此拋物 線上的點(diǎn)p 經(jīng)拋物線反射后 穿過(guò)焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)q 再經(jīng)拋物線反射后射向直線 l x y 10 0 上的點(diǎn)n 經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)m 則x0的值為 答案 6 解析 由題意可知p 4 f 2 0 p 2 4 q 2 4 直線qn y 4 直線 qn mn關(guān)于l x y 10 0 對(duì)稱 即直線l平分直線qn mn的夾角 直線mn垂直于x 軸 解error 得n 6 4 故x0 6 12 已知過(guò)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)的直線交拋物線于a b兩點(diǎn)且 ab p 求ab 5 2 所在的直線方程 解 焦點(diǎn)f 設(shè)a x1 y1 b x2 y2 若ab x軸 則 ab 2p p 不合題 p 2 0 5 2 意 所以直線ab的斜率存在 設(shè)為k 則直線ab的方程為y k k 0 由error 消去 x p 2 x 整