2016 年高考數(shù)學理試題分類匯編 立體幾何 一、選擇題 1、（ 2016 年北京高考） 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 （ ） 【答案】 A 2、（ 2016 年山東高考） 有一個半球和四棱錐組成的幾何體，其三 視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為 （ A） 32+31（ B） 32+31（ C） 62+31（ D） 62+1【答案】 C 3、（ 2016 年全國 I 高考） 如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑 83 ，則它的表面積是 （ A） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28 【答案】 A 4、（ 2016 年全國 I 高考） 平面 過正方體 1頂點 A， /平面 I 平面 m，I 平面 1=n，則 m， n 所成角的正弦值為 （ A） 32（ B） 22（ C） 33（ D） 13【答案】 A 5、（ 2016 年全國 考） 右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 （ A） 20 （ B） 24 （ C） 28 （ D） 32 【答案】 C 6、（ 2016 年全國 考） 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的 邊長 為 1，粗實現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為 （ A） 18 36 5 （ B） 54 18 5 （ C） 90 （ D） 81 【答案】 B 7、（ 2016 年全國 考） 在封閉的直 三棱柱1 1 1A B C A B C內有一個體積為 V 的球，若 C ， 6，8， 1 3，則 V 的最大值是 （ A） 4 （ B） 92（ C） 6 （ D） 323【答案】 B 二、填空題 1、（ 2016 年上海高考） 如圖，在正四棱柱 1111 中，底面 邊長為 3，1該正四棱柱的高等于 _ 【答案】 22 2、（ 2016年四川高考） 已知三棱錐的四個面都是腰長為 2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 _ 【答案】 333、（ 2016 年天津高考） 已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位： m），則該四棱錐的體積為 _【答案】 2 4、（ 2016 年全國 考） ,是兩個平面， ,下列四個 命題： （ 1）如果 , , / /m n m n ，那么 . （ 2）如果 , / / ，那么 . （ 3）如果 / / , m ，那么 /m . （ 4）如果 / / , / /，那么 m 與 所成的角和 n 與 所成的角相等 . 其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號） 【答案】 5、（ 2016 年浙江高考） 某幾何體的三視圖如圖所示（單位： 則該幾何體的表面積是 積是 【答案】 72 32 6、（ 2016 年浙江高考） 如圖，在 ， C=2， 20 的點 P 和線段 的點 D，滿足 A， A，則四面體 體積的最大值是 . 【答案】 12三、解答題 1、（ 2016 年北京高考） 如圖，在四棱錐 P 中，平面 平面 D ， D ，D ， 1， 2， 5A C C D. （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線 平面 成角的正弦值； （ 3）在棱 是否存在點 M ，使得 /面 若存在，求 不存在，說明理由 . 【解】 面 D面 面面 D 又 面 取 結O5C D ，如圖建系 易知(001)， ，(110)B， ，(0 10)D ， ，200)C ， ， 則( 1 1)， ，(0 1 1) ， ，2 0 1) ，( 0) ， ，設00( , )n x y ，0 1 1,120n P D C ，則 1 1132c 31 1 1 34n P B 假設存在 M面， 0, , y 2）知 0,1,0A， 0,0,1， 0, 1,1， 1 ,0B， 0, 1, AM y z有 0 ,1 ,M A P M 1, , 0BM n即1 02 1=4 綜上，存在 即當14， 2、（ 2016 年山東高考） 在如圖所示的圓臺中， 下底面圓 O 的直徑， 上底面圓 O 的直徑， 圓臺的一條母線 . （ I）已知 G,H 分別為 中點，求證： 平面 （ 知 B=123， 的余弦值 . 解】 ( )連結 取 中點 M ，連結 ， 因為 上底面內， 在上底面內， 所以 上底面，所以 平面 又因為 面 面 所以 平面 所以平面 平面 由 面 所以 平面 ( ) 連結 原點，分別以 A, 為 zy,x, 軸， 建立空間直角坐標系 2 ， 3)( 22 于是有 )0,0,3A(2 ， )0,0,3C( )0,3B(0,2 ， )3,3F(0, ， 可得平面 的向量 )3,( 30, ， )0,( 3232 , 于是得平面 一個法向量為 )1,3,3(1 n ， 又平面 一個法向量為 )1,0,0(2 n ， 設二面角 ， 則7771c o 二面角 余弦值為77 E F B A C G H E F B A C O， O x y z 3、（ 2016 年上海高考） 將邊長為 1 的正方形11其內部）繞的1圖， 3，11其中1 在平面11 （ 1）求三棱錐111C O A B的體積； （ 2）求異面直線1 【解析】 試題分析：（ 1）由題意可知，圓柱的高 1h ，底面半徑 1r 確定1 1 1 3 計算1 1 1S后即得 . （ 2）設過點1的母線與下底面交于點 ，根據(jù)11/ ，知1C 或其補角為直線1C與1所成的角確定 ， 得出1C 4 試題解析：（ 1）由題意可知，圓柱的高 1h ，底面半徑 1r 由11的長為3，可知1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113s i ， 1 1 1 1 1 1 1 2 （ 2）設過點1的母線與下底面交于點 ，則11/ ， 所以1C 或其補角為直線1C與1所成的角 C 1A A 1B 由 C 長為 23，可知 2 ， 又1 1 1 3 ，所以 ， 從而 C 為等邊三角形，得 因為1平面 C ，所以1 C 在1C 中，因為1 C 2 ， ，1 1，所以1C 4 ， 從而直線1C與1所成的角的大小為4 4、（ 2016年四川高考） 如圖，在四棱錐 P 中， /C ， 90A D C P A B ， 12B C C D A D，面直線 0 . （ I）在平面 ，使得直線 /面 并說明理由； （ 二面角 P 的大小為 45 ，求直線 平面 【解】 （ I） 延長 交直線 點 M ， E 為 點， 1=2A E E D A D， 1=2B C C D A D， C ， /C 即 /C ， 四邊形 平行四邊形， /D ， D M ， M ， /E ， 面 / M ， 面 M 面 故在面 可找到一點 M 使得 / （ 過 A 作 C 交 點 F ，連結 過 A 作 F 交 點 G ， 90 ， 成角為 90 ， B ， D ， =D M ， ， 面 C ， F 且 P A ， 面 面 E ， F 且 F A ， 面 為所求 面 成的角， 面 =90即 C . 為二面角 P 所成的平面角 , 由題意可得 =45，而 =90, D , D ,四邊形 平行四邊形， =90， 四邊形 正方形， 45 ， = 4 5A E F B E C ， 90 ， 2=2E， 2 24t a n = =4 P A P ， 13 5、（ 2016 年天津高考） 如圖，正方形 中心為 O，四邊形 矩形，平面 面 G 為 中點， E=2. （ I）求證： 面 （ 二面角 正弦值； （ H 為線段 的點，且 3直線 平面 成角的正弦值 . 【解析】（ ）證明：找到 點 I ，連結 矩形 B G 、 I 是中點， 的中位線 D 且 12D O 是正方形 心 12D I 且 I= 四邊形 平行四邊形 I 面 面 （ ） O 正弦值 解：如圖所示建立空間直角坐標系 O 0 2 0B ， ， ， 2 0 0C ， ， ， 0 2 2E ， ， ， 0 0 2F ， ， 設面 法向量 1n x y z ， ， 110 2 0 2 02 0 2 2 2 0n E F x y z F x y z x z ， ， ， ， ， ， ，得： 201 1 2 0 1n ， ， 面 面 法向量 2 1 0 0n ， ，1212122 6c o ，21263s i n 133 ，（ ） 23F 2 2 2 2 42 0 2 05 5 5 5A H A F ， ， ， ，設 H x y z， ， 2 2 42055A H x y z ， ， ， ，得：325045 3 2 4255， ，12164755c o n ， 6、（ 2016 年全國 I 高考） 如圖，在 以 A， B， C， D， E， F 為頂點的五面體中，面 正方形， 0，且二面角 與二面角 都是 60 （ I）證明 ： 平面 平面 （ 二面角 的余弦值 【解析】 正方形 F 90 F =F F 面 面 平面 平面 由 知 60D F E C E F F 平面 平面 平面 平面 面 D D , F 四邊形 等腰梯形 以 E 為原點，如圖建立坐標系，設 FD a 0 0 0 0 2 0E B a， ， ， ， 30 2 2 022aC a A a a， ， ， ， 0 2 0E B a ， ， ， 3222 a a， ， 2 0 0A B a ， ， 設面 向量為 m x y z ， ， . 00m C ，即 11 1 12032022x a y a z 1 1 13 0 1x y z ， ， 3 0 1m ， ， 設面 向量為 2 2 2n x y z ， ，=00n B 223202220a x a y a 2 2 20 3 4x y z ， ， 0 3 4n ， ， 設二面角 E 的大小為 . 4 2 1 9c o 3 1 6 二面角 E 的余弦值為 2 19197、（ 2016 年全國 考） 如圖，菱形 對角線 于點 O ， 5, 6A B A C，點 ,D 上， 54A E C F， 點 H 將 沿 到 位置， 10 （ ）證明： 平面 （ ）求二面角 B D A C的正弦值 【解析】 證明： 54E A D， C 四邊形D， D， ， 6 3 又5O 4 1 ， 3 H， 2 2 2O D O H D H ， D H 又 O I， 建立如圖坐標系H 5 0 0B ， ，1 3C ， ， 3D ， ，1 3 0A ， ， 4 0 ， 1 3 3 ，060u ， ， 設面 1n x y z ， ， 由1100n 得4 3 03 3 0y z ，取345， 1 3 4 5n ， 同理可得面2 3 0 1n ， 121295 75c 10 ur 2 955 8、（ 2016 年全國 考） 如圖，四棱錐 P 中， 地面 C ， 3A B A D A C ，4C， M 為線段 一點， 2D ， N 為 中點 （ I）證明 面 （ 直線 平面 成角的正弦值 . 設 ),( 為平面 法向量，則00即0225042可取)1,2,0(n ， 于是2558|,c 9、（ 2016 年浙江高考） 如圖 ,在三棱臺 中 ,平面 平面 =90,F=,. (I)求證： 面 (二面角 平面角的余弦值 . （ 法一： 過點 F 作 ，連結 Q 因為 F平面 C，所以 F ，則 平面 ，所以 Q 所以， 是二面角 的平面角 在 中， ， ，得 3 13 在 F 中， 3 13 ，得 3c o s Q 所以，二面角 的平面角的余弦值為 34 10、 (2016 江蘇省高考 )如圖，在直三棱柱 ， D， E 分別為 中點，點 F 在側棱 ，且11B 1 1 1B. 求證：（ 1）直線 平面 （ 2）平面 平面 證明：（ 1）在直三棱柱 1 1 1， 11/，因為 D,E 分別為 C 的中點 . 所以/C，于是 11/E E平面 1 1 1 1,C F 平面 11E/平面