2 1 1簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 呼市十八中高一年級(jí)組 某校有高中學(xué)生900人 校醫(yī)務(wù)室想對(duì)全校高中學(xué)生的身高作一次調(diào)查 為不影響正常的教學(xué)準(zhǔn)備抽取50名學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象 應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)方案 我們知道 工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品必須經(jīng)過(guò)檢驗(yàn) 只有合格產(chǎn)品才能進(jìn)入市場(chǎng)流通 而有些檢驗(yàn)帶有極大的破壞性 那么我們應(yīng)該如何解決既要確保出廠的產(chǎn)品必須合格 又不能對(duì)其造成大面積破壞的矛盾呢 每年高考過(guò)后 考試中心的工作人員需要對(duì)考生的答卷進(jìn)行分析 總結(jié)經(jīng)驗(yàn) 找出問(wèn)題 以利于下一年度的高考命題 指導(dǎo)下一屆考生備考 而調(diào)研每位考生答卷的工作量太大 那么應(yīng)如何科學(xué)地進(jìn)行調(diào)研呢 總之 無(wú)論是生活 工作 學(xué)習(xí) 我們每時(shí)每刻都要同數(shù)據(jù)打交道 那么如何從眾多的數(shù)據(jù)中科學(xué)地提取有效數(shù)據(jù) 又如何科學(xué)地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 從而使我們能夠作出科學(xué)的決策 這正是統(tǒng)計(jì)的內(nèi)涵 本章先介紹了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣這三種常用的抽樣方法 接著介紹如何用樣本估計(jì)總體 一是如何用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 二是如何用樣本的某種特征數(shù)去估計(jì)總體的相應(yīng)的特征數(shù) 最后介紹了兩個(gè)變量之間的關(guān)系 除了函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系以外 還存在因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系 相關(guān)性 統(tǒng)計(jì)是研究如何合理地收集 整理 分析數(shù)據(jù)的學(xué)科 它可以為人們制定決策提供依據(jù) 在日常生活中 人們常常需要收集數(shù)據(jù) 根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息 作出合理的決策 在本章中通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集 整理和分析 可以增強(qiáng)我們的社會(huì)實(shí)踐能力 培養(yǎng)我們解決問(wèn)題的能力 增強(qiáng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 一 統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念及統(tǒng)計(jì)的基本思想 1 總體 個(gè)體 樣本 1 總體 一般把所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合看作是總體 2 個(gè)體 構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體 3 樣本 從總體中抽出的若干個(gè)個(gè)體所組成的集合叫做樣本 4 樣本容量 樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)叫做樣本容量 2 隨機(jī)抽樣抽樣時(shí)保證每一個(gè)個(gè)體都可能被抽到 并且每一個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的 滿(mǎn)足這樣的條件的抽樣就是隨機(jī)抽樣 3 統(tǒng)計(jì)的基本思想方法統(tǒng)計(jì)的基本思想方法就是用樣本估計(jì)總體 即通常不直接去研究總體 而是通過(guò)從總體中抽取一個(gè)樣本 根據(jù)樣本的情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況 在1936年的美國(guó)總統(tǒng)選舉前 一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意測(cè)驗(yàn) 調(diào)查蘭頓 當(dāng)時(shí)任堪薩斯州州長(zhǎng) 和羅斯福 當(dāng)時(shí)的總統(tǒng) 誰(shuí)將當(dāng)選下一屆總統(tǒng) 為了了解公眾意向 調(diào)查者根據(jù)電話(huà)簿和俱樂(lè)部的車(chē)輛登記簿上的名單 統(tǒng)一給大批人發(fā)了調(diào)查表 通過(guò)分析收回的調(diào)查表 顯示蘭頓非常受歡迎 于是此雜志預(yù)測(cè)蘭頓將在選舉中獲勝 實(shí)際選舉結(jié)果正好相反 最后羅斯福在選舉中獲勝 其數(shù)據(jù)如下 你認(rèn)為預(yù)測(cè)結(jié)果出錯(cuò)的原因是什么 分析 當(dāng)時(shí)的訪(fǎng)問(wèn)對(duì)象是從電話(huà)號(hào)碼簿和俱樂(lè)部會(huì)員名冊(cè)上選取的 但在1936年 美國(guó)家庭電話(huà)尚未普及 只有100萬(wàn)部左右 尤其是有條件參加俱樂(lè)部的人 大多數(shù)是經(jīng)濟(jì)上富有 政治上保守 傾向于共和黨的選民 這就造成了顯著的系統(tǒng)誤差 本例說(shuō)明了抽樣方法的重要性 只有正確的抽樣方法才能使其樣本代表總體 也就是 一個(gè)好的抽樣調(diào)查勝過(guò)一次蹩腳的普查 盡管普查耗費(fèi)了大量的人力 物力 財(cái)力 因此 我們必須掌握科學(xué)的抽樣方法 首先在抽樣時(shí) 必須將總體 攪拌均勻 其次還要掌握幾個(gè)常用的抽樣方法 如本章所學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 二 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 一般地 從元素個(gè)數(shù)為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本 如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到 這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 這樣抽取的樣本 叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn) 1 它要求被抽取的樣本的個(gè)數(shù)有限 這樣 便于通過(guò)隨機(jī)抽取的樣本對(duì)總體進(jìn)行分析 2 它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取 這樣 便于在抽樣實(shí)踐中進(jìn)行操作 3 它是一種不放回抽樣 由于抽樣實(shí)踐中多采用不放回抽樣 使其具有較廣泛的實(shí)用性 而且由于所抽取的樣本中沒(méi)有被重復(fù)抽取的個(gè)體 便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算 4 它每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到 從而保證了這種抽樣方法的公平性 問(wèn)題 下面的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣嗎 為什么 1 某班45名同學(xué) 指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的某項(xiàng)活動(dòng) 2 從20個(gè)零件中一次性抽出3個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn) 3 一兒童從玩具箱中的20件玩具中隨意拿出一件來(lái)玩 玩后放回再拿下一件 連續(xù)玩了5件 三 抽簽法 抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào) 把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上 將號(hào)簽放在一個(gè)容器中 攪拌均勻后 每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽 連續(xù)抽取n次 記下號(hào)簽上的號(hào)碼 就得到一個(gè)容量為n的樣本 抽簽法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn) 抽簽法能夠保證每個(gè)個(gè)體入選樣本的機(jī)會(huì)都相等 得到的樣本是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 缺點(diǎn) 1 當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí) 制作號(hào)簽的成本將會(huì)增加 使得抽簽法成本高 費(fèi)時(shí) 費(fèi)力 2 號(hào)簽很多時(shí) 把它們 攪拌均勻 就比較困難 結(jié)果很難保證每個(gè)個(gè)體入選樣本的可能性相等 從而使產(chǎn)生壞樣本 即代表性差的樣本 的可能性增加 某班有學(xué)生40人 為了了解學(xué)生各方面的情況 需要從中抽取一個(gè)容量為10的樣本 用抽簽法確定要抽取的學(xué)生 解 注意抽簽法的要求 S1將這40名學(xué)生按學(xué)號(hào)編號(hào) 分別為1 2 40 S2將這40個(gè)號(hào)碼分別寫(xiě)在相同的40張紙片上 S3將這40張紙片放在一個(gè)盒子里攪拌均勻 抽出一張紙片 記下上面的號(hào)碼 然后再攪拌均勻 繼續(xù)抽取第2張紙片 記下號(hào)碼 重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到取到第10個(gè)號(hào)碼時(shí)終止 于是 和這10個(gè)號(hào)碼對(duì)應(yīng)的10個(gè)學(xué)生就構(gòu)成了一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 四 隨機(jī)數(shù)表法 隨機(jī)數(shù)表由數(shù)字0 1 2 3 9這10個(gè)數(shù)字組成 并且每個(gè)數(shù)字在表中各個(gè)位置上出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一樣 通過(guò)隨機(jī)數(shù)生成器 例如計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能 可以生成一張隨機(jī)數(shù)表 通過(guò)隨機(jī)數(shù)表 根據(jù)實(shí)際需要和方便使用的原則 將幾個(gè)數(shù)組合成一組 然后抽取樣本 例如要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率 從中抽取50顆種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn) 用隨機(jī)數(shù)表抽取的步驟如下 1 對(duì)850顆種子進(jìn)行編號(hào) 可以編為001 002 850 2 給出的隨機(jī)數(shù)表是5個(gè)數(shù)一組 使用各個(gè)5位數(shù)組的前3位 從各組數(shù)中任選一個(gè)前3位小于或等于850的數(shù)作為起始號(hào)碼 例如從第1行第7組開(kāi)始 取出530作為抽取的第1個(gè)代號(hào) 3 繼續(xù)向右讀 由于987 850 跳過(guò)這組數(shù)不取 繼續(xù)向右讀 得到415作為第2個(gè)代號(hào) 數(shù)組的前3位數(shù)不大于850且不與前面取出的數(shù)重復(fù) 就把它取出 否則跳過(guò)不取 取到一行末尾時(shí)轉(zhuǎn)到下一行從左到右繼續(xù)讀 如此下去 直到得到在001 850之間的50個(gè)三位數(shù) 上面我們是從左到右讀數(shù) 也可以從上到下讀數(shù)或其它有規(guī)則的讀數(shù)方法 用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟 S1將總體中的所有個(gè)體編號(hào) 每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致 S2在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始 S3從選定的數(shù)開(kāi)始按一定的方向讀下去 得到的號(hào)碼若不在編號(hào)中 則跳過(guò) 若在編號(hào)中 則取出 得到的號(hào)碼若在前面已經(jīng)取出 也跳過(guò) 如此進(jìn)行下去 直到取滿(mǎn)為止 S4根據(jù)選定的號(hào)碼抽取樣本 用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn) 簡(jiǎn)單易行 它很好地解決了用抽簽法時(shí) 當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)制簽難的問(wèn)題 缺點(diǎn) 當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)很多 需要的樣本容量也很大時(shí) 用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本仍不方便 例1 從30個(gè)燈泡中抽取10個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè) 說(shuō)明利用隨機(jī)數(shù)表法抽取這個(gè)樣本的步驟 隨機(jī)數(shù)表見(jiàn)本章末第87頁(yè)附表 解 S1將30個(gè)燈泡編號(hào) 00 01 02 03 30 S2在隨機(jī)數(shù)表中任取一組數(shù)作為開(kāi)始 如從第5行第5組的數(shù)12開(kāi)始 S3從12開(kāi)始向右讀 依次選出12 22 13 09 26 25 21 20 30 19這10個(gè)編號(hào)的燈泡 例2 要從某汽車(chē)廠生產(chǎn)的30輛汽車(chē)中隨機(jī)抽取3輛進(jìn)行測(cè)試 請(qǐng)選擇合適的抽樣方法 寫(xiě)出抽樣過(guò)程 解 本題總