2 1 5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算 1 向量共線如果向量的 則稱這些向量共線或平行 向量a與b平行 2 共線向量基本定理如果 則a b 反之 如果 則一定存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使得a b 基線互相平行或重合 a b a b b 0 3 單位向量給定一個(gè)非零向量a 與a的向量 叫做向量a的單位向量 記作a0 且a0 4 軸上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算 軸 規(guī)定了和的直線叫做軸 軸與我們學(xué)過的數(shù)軸不同 在軸上確定了原點(diǎn) 則該軸就成了數(shù)軸 同方向且長(zhǎng)度為1 方向 長(zhǎng)度單位 軸上的坐標(biāo) 已知軸l 取單位向量e 使e與l的方向相同 對(duì)于軸上任意向量a 一定存在唯一實(shí)數(shù) x使a 反過來 任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x 總能作出一個(gè)向量a xe 即實(shí)數(shù)與這條軸上的向量建立了關(guān)系 x叫做a在軸l上的 x的絕對(duì)值等于a的長(zhǎng) 當(dāng)a與e的方向相同時(shí) 當(dāng)a與e的方向相反時(shí) xe 一一對(duì)應(yīng) 坐標(biāo) 或數(shù)量 x 0 x 0 軸上向量坐標(biāo)化 奠定了向量數(shù)量化的基礎(chǔ) 軸上向量的運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算 軸上兩向量的和 設(shè)a x1e b x2e 則a b 向量的坐標(biāo)常用ab來表示 即 abe 軸上向量的坐標(biāo) 在數(shù)軸x上 已知a點(diǎn)的坐標(biāo)為x1 b點(diǎn)的坐標(biāo)為x2 則ab 軸上向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式 ab x1 x2 e x2 x1 x2 x1 重點(diǎn) 軸上向量的坐標(biāo)表示和軸上兩點(diǎn)間距離公式 難點(diǎn) 應(yīng)用共線向量定理定義軸上向量的坐標(biāo)表示及軸上兩點(diǎn)間距離公式 學(xué)習(xí)時(shí)要注意以下幾方面問題 1 向量的平行與幾何中直線的平行不同 向量平行包含所在直線重合的情況 零向量與任一向量平行 2 共線向量基本定理有兩方面的應(yīng)用 一是一個(gè)向量可以由另一個(gè)向量線性表示 則可以判定兩向量平行 二是若兩向量平行 則一個(gè)向量可以由另一非零向量線性表示 可以用來求參數(shù) 它是軸上向量坐標(biāo)化的依據(jù) 點(diǎn)評(píng) 在解題過程中 利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它們滿足的交換律 結(jié)合律 再根據(jù)兩向量共線的充要條件 從而得證 已知軸l上a b c d四點(diǎn)坐標(biāo)分別為2 3 1 4求ab bd da的坐標(biāo)和長(zhǎng)度 例3 已知非零向量e1和e2不共線 欲使ke1 e2和e1 ke2共線 試確定實(shí)數(shù)k值 點(diǎn)評(píng) 本題從正反兩方面運(yùn)用了向量共線的充要條件 即a與b共線 存在 使b a 答案 b 例4 判斷向量a 2e與b 2e是否共線 誤解 a 2e b 2e b a a與b共線 辨析 錯(cuò)解的原因是沒有考慮到 e 0 這種情況 原題已知中對(duì)向量e并無(wú)任何限制 正解 當(dāng)e 0時(shí) 則a 2e 0 零向量與任一向量平行 且 平行向量也是共線向量 此時(shí)a與b共線 當(dāng)e 0時(shí) a 2e 0 b 2e 0 b a 這時(shí)滿足定理中的a 0 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 1 使得b 成立 a與b共線 綜合 可知a與b共線 答