第二講函數(shù)的概念和性質 一 基礎知識整合 1 函數(shù)的概念一般地 設a b是兩個非空的數(shù)集 如果按照某種確定的對應關系f 使對于集合a中的任意一個數(shù)x 在集合b中都有f x 和它對應 那么就稱f a b為從集合a到集合b的一個 記作y f x x a 其中 x叫做 x的取值范圍a叫做函數(shù)的 與x的值相對應的y值叫做 其集合 f x x a 叫做函數(shù)的 唯一確定的數(shù) 函數(shù) 自變量 定義域 函數(shù)值 值域 2 函數(shù)的表示方法 1 解析法 就是用 表示兩個變量之間的對應關系的方法 2 圖象法 就是用 表示兩個變量之間的對應關系的方法 3 列表法 就是 來表示兩個變量之間的對應關系的方法 3 構成函數(shù)的三要素 1 函數(shù)的三要素是 2 兩個函數(shù)相等 如果兩個函數(shù)的 相同 并且 完全一致 則稱這兩個函數(shù)相等 數(shù)學表達式 圖象 列出表格 定義域 對應關系 值域 定義域 對應關系 4 分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應關系也不同 這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù) 它是一類重要的函數(shù) 5 映射的概念一般地 設a b是兩個非空的集合 如果按某一個確定的對應關系f 使對于集合a中的 元素x 在集合b中都有 元素y與之對應 那么就稱對應f a b為從集合a到集合b的一個映射 任意一個 唯一確定的 6 映射與函數(shù)的關系 1 聯(lián)系 映射的定義是在函數(shù)的現(xiàn)代定義 集合語言定義 的基礎上引申 拓展而來的 函數(shù)是一種特殊的 2 區(qū)別 函數(shù)是從非空數(shù)集a到非空數(shù)集b的映射 對于映射而言 a和b不一定是數(shù)集 7 復合函數(shù)一般地 對于兩個函數(shù)y f u 和u g x 如果通過變量u y可以表示成x的函數(shù) 那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y f u 和u g x 的復合函數(shù) 記作y f g x 其中y f u 叫做復合函數(shù)y f g x 的外層函數(shù) u g x 叫做y f g x 的內層函數(shù) 映射 8 函數(shù)的單調性 1 增函數(shù)與減函數(shù)一般地 設函數(shù)f x 的定義域為i 如果對于定義域i內某個區(qū)間d上的自變量的值x1 x2 當x1 x2時 都有f x1 f x2 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間d上是 如果對于定義域i內某個區(qū)間d上的自變量的值x1 x2 當x1 x2時 都有f x1 f x2 那么就說函數(shù)f x 在區(qū)間d上是 2 單調性與單調區(qū)間如果函數(shù)y f x 在區(qū)間d上是增函數(shù)或減函數(shù) 那么就說函數(shù)y f x 在這一區(qū)間具有 嚴格的 區(qū)間d叫做y f x 的 任意兩個 增函數(shù) 任意兩個 減函數(shù) 單調性 單調區(qū)間 9 奇 偶函數(shù)的概念 1 偶函數(shù)一般地 如果對于函數(shù)f x 的定義域內任意一個x 都有 那么函數(shù)f x 就叫做偶函數(shù) 2 奇函數(shù)一般地 如果對于函數(shù)f x 的定義域內任意一個x 都有 那么函數(shù)f x 就叫做奇函數(shù) 10 奇 偶函數(shù)的圖象特征偶函數(shù)的圖象關于對稱 奇函數(shù)的圖象關于對稱 f x f x f x f x y軸 原點 11 具有奇偶性函數(shù)的定義域的特點具有奇偶性函數(shù)的定義域關于 即 定義域關于 是 一個函數(shù)具有奇偶性 的條件 12 周期函數(shù)的概念 1 周期 周期函數(shù)對于函數(shù)f x 如果存在一個t 使得當x取定義域內的值時 都有 那么函數(shù)f x 就叫做周期函數(shù) t叫做這個函數(shù)的周期 2 最小正周期如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個的正數(shù) 那么這個最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 非零常數(shù) 每一個 f x t f x 最小 13 函數(shù)奇偶性與單調性之間的關系 1 若函數(shù)f x 為奇函數(shù) 且在 a b 上為增 減 函數(shù) 則f x 在 b a 上為 2 若函數(shù)f x 為偶函數(shù) 且在 a b 上為增 減 函數(shù) 則f x 在 b a 上為 14 奇 偶函數(shù)的 運算 共同定義域上 奇 奇 偶 偶 奇 奇 偶 偶 奇 偶 增 減 函數(shù) 減 增 函數(shù) 奇 偶 偶 偶 奇 15 函數(shù)的對稱性如果函數(shù)f x x d 滿足 x d 恒有f a x f b x 那么函數(shù)的圖象有對稱軸 如果函數(shù)f x x d 滿足 x d 恒有f a x f b x 那么函數(shù)的圖象有對稱中心 16 函數(shù)的對稱性與周期性的關系 1 如果函數(shù)f x x d 在定義域內有兩條對稱軸x a x b a b 則函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期t 2 b a 不一定是最小正周期 下同 2 如果函數(shù)f x x d 在定義域內有兩個對稱中心a a 0 b b 0 a b 那么函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期t 2 b a 3 如果函數(shù)f x x d在定義域內有一條對稱軸x a和一個對稱中心b b 0 a b 那么函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期t 4 b a 17 函數(shù)的零點 1 定義對于函數(shù)y f x x d 把使成立的實數(shù)x叫作函數(shù)y f x x d 的零點 2 函數(shù)的零點與相應方程的根 函數(shù)的圖象與x軸交點間的關系 方程f x 0有實數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與有交點 函數(shù)y f x 有 3 函數(shù)零點的判定 零點存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 內有零點 即存在c a b 使得 這個c也就是方程f x 0的根 f x 0 x軸 零點 f a f b 0 a b f c 0 二 熱點題型展示 類型一函數(shù)和映射的概念下列對應是集合p上的函數(shù)的是 p z q n 對應關系f 對集合p中的元素取絕對值與集合q中的元素相對應 p 1 1 2 2 q 1 4 對應關系f x y x2 x p y q p 三角形 q x x 0 對應關系f 對p中三角形求面積與集合q中元素對應 答案 解析 由于 中集合p中元素0在集合q中沒有對應元素 而 中集合p不是數(shù)集 所以 和 都不是集合p上的函數(shù) 由題意知 正確 故填 名師點睛 1 函數(shù)是一種特殊的對應 要檢驗給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關系 只需要檢驗 定義域和對應關系是否給出 根據(jù)給出的對應關系 自變量x在其定義域內的每一個值是否都有唯一確定的函數(shù)值y與之對應 集合p q是否為非空數(shù)集 2 兩個函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對應關系完全一致 與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無關 在對函數(shù)解析式進行化簡變形時應注意定義域是否發(fā)生改變 即是否是等價變形 對于含絕對值的函數(shù)式可以展開為分段函數(shù)后再判斷 1 若函數(shù)y f x 的定義域為m x 2 x 2 值域為n y 0 y 2 則函數(shù)y f x 的圖象可能是 解析a中函數(shù)定義域不是 2 2 c中圖象不表示函數(shù) d中函數(shù)值域不是 0 2 答案b 二 自主小測 答案d 答案c 答案b 答案c 答案2 三 熱點題型展示 類型一求函數(shù)的定義域 名師點睛 求函數(shù)定義域的類型及求法 1 已知函數(shù)的解析式 則構造使解析式有意義的不等式 組 求解 2 對實際問題 由實際意義及使解析式有意義構成的不等式 組 求解 3 若已知f x 的定義域為 a b 則f g x 的定義域可由a g x b求出 若已知f g x 的定義域為 a b 則f x 的定義域為g x 在x a b 時的值域 類型二求函數(shù)的解析式 名師點睛 求函數(shù)解析式的常用方法 1 待定系數(shù)法 若已知函數(shù)的類型 可用待定系數(shù)法 2 換元法 已知復合函數(shù)f g x 的解析式 可用換元法 此時要注意新元的取值范圍 解析根據(jù)分段函數(shù)的意義 f 2 1 log2 2 2 1 2 3 又log212 1 f log212 2 log212 1 2log26 6 因此f 2 f log212 3 6 9 答案c 類型三分段函數(shù) 名師點睛 1 根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間 其次選定相應的解析式代入求解 2 已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時 應根據(jù)每一段的解析式分別求解 但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍 提醒當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時 應分類討論 類型四函數(shù)的單調性 奇偶性與周期性 答案d 解析 1 因為f x 是偶函數(shù) g x 是奇函數(shù) 所以f 1 g 1 f 1 g 1 1 3 1 2 1 1 答案 2 名師點睛 1 求函數(shù)的單調區(qū)間和判斷函數(shù)的單調性方法一致 1 定義法 先求定義域 再利用單調性定義 取值 作差 變形 定號 下結論 求解 2 圖象法 可由函數(shù)圖象的直觀性寫出它的單調區(qū)間 3 復合函數(shù)法 同增異減 即內外層函數(shù)的單調性相同時 為增函數(shù) 不同時為減函數(shù) 2 特別注意 單調區(qū)間必為定義域的子集 單調區(qū)間只能用區(qū)間表示 不能用集合或不等式表示 如有多個單調區(qū)間應分別寫 不能用并集符號 聯(lián)結 也不能用 或 聯(lián)結 4 對于分段函數(shù)的奇偶性應分段驗證 但比較繁瑣 且容易判斷錯誤 通常是用圖象法來判斷 5 對于含有x的對數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)通常用 f x f x 0 來判斷 6 判斷周期函數(shù)的一般方法 1 定義法 應用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā) 充分挖掘隱含條件 合理賦值 巧妙轉化 2 公式法 若函數(shù)f x 是周期函數(shù) 且周期為t 則函數(shù)f ax b a 0 也為周期函數(shù) 且周期 1 設f x lnx x 2 則函數(shù)f x 的零點所在的區(qū)間為 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 法一函數(shù)f x 的零點所在的區(qū)間可轉化為函數(shù)g x lnx h x x 2圖象交點的橫坐標所在的取值范圍 作圖如下 可知f x 的零點所在的區(qū)間為 1 2 法二易知f x lnx x 2在 0 上為增函數(shù) 且f 1 1 2 10 所以根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可知在區(qū)間 1 2 內函數(shù)存在零點 類型五函數(shù)與方程 2 函數(shù)f x ax 1 2a在區(qū)間 1 1 上存在一個零點 則實數(shù)a的取值范圍是 名師點睛 1 函數(shù)y f x 的零點即方程f x 0的實根 易誤為函數(shù)點 2 由函數(shù)y f x 在閉區(qū)間 a b 上有零點不一定能推出f a f b 0 如圖所示 所以f a f b 0是y f x 在閉區(qū)間 a b 上有零點的充分不必要條件 3 有關函數(shù)零點的結論 1 若連續(xù)不斷的函數(shù)f x 在定義域上是單調函數(shù) 則f x 至多有一個零點 2 連續(xù)不斷的函數(shù) 其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號 3 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時 函數(shù)值可能變號 也可能不變號 三 易錯易混辨析 正解 據(jù)題意使原函數(shù)在定義域r上為減函數(shù) 只需滿足 故選c 名師點睛 函數(shù)最值的重要結論 1 設f x 在某個集合d上有最小值 m為常數(shù) 則f x m在d上恒成立的充要條件是f